П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 71
Текст из файла (страница 71)
и. Для описания того, что происходит на поверхности грунтовых вод, при наличии подстилающего грунт горизонтального 478 динамика ггхнтовых вод пои поливах )гл. хш водоупора служит выведенное ранее (см. $ 1 главы Х111) уравнение типа уравнения теплопроводности аь гав 88 — — а ! —, + — „, ) + ! (х, у, !), (1.1) где а = —, 1(х, у, !) = Здесь ш(х, у,' !) = е — с — разность между инфильтрацией и испарением, а глубина Ь отсчитывается от водоупо а.
Б ем у ра. на уд рассматривать безграничную область плоскости (х, ) д некоторой частью которой производится полив, при условии, что в то же время происходит растекание ранее об азоваве о разовавЕсли начальная форма поверхности грунтового потока есть болев 1966) Ь(х, у, О) = йо(х, у), то решение уравнения (1.1) имеет вид (Со- Ю Ь х 4 аг ~ ~ ехр ( 4 ~ ) йо(х1 У1)«х~ ~(У~+ М а~, го 4па 3 ! — й 3 3 Р( 4а(г — ~))~(1 У~ 1) ~ У~ о (1.2) 2 2. Растекание бугров. Прн поливе нли дожде дожде происходит просачивание воды в грунт, а после их прекращения происходит растекание образовавшегося бугра или столба грунтовых вод. Если не учитывается инфильтрация или испарение, то форма бугров, изменяющаяся со временем, определяется первыми слагаемыми формул (1.2) и (1.4).
где го=(х — х,)'+(у — у,)'. Для плоскопараллельного движения на плоскости (х, Ь) вместо (1.1) будем иметь уравнение дл д'Ь вЂ”, = а —, + ! (х, !), (1.3) а его решение для й(х, О) =й,(х) принимает вид Ь (х, !) = ) ехр( — ' ) йо (х,) дх, + — 00 ! С дб Г (х — х )' Растекание БУГРОВ 479 Одним из простейших случаев будет растекание бугра, в начальный момент представлявшего столб в виде прямоугольного параллелепипеда высотою ЛН над прямоугольником ( — )с < х < )х', — Р1 < у ( Н~).
Прн этом начальное положение свободной поверхности грунтовых вод записывается в виде Ьо(х, у)=Н,=сонэ( при (х)~ай, )у))Я, и Ьо(х, у)=Н, =Н,+ ЛН при )х)(~й, )у(~~йп По формуле (1.2) имеем (при ш =О) Ь(х, у 1)=Но+ 4па( ) Нх| ) ехр( — 4 ) о(у~ аи 1 1 ( (х — х,)'+ (у — у,)' ) Каждый из сомножителей правой части представляет разность значений функции ошибок ег1 г. С учетом нечетности этой функции имеем Ь(х, у, () = Н, + — (ег1, ' + ег1 + ' 1 Х 4 ~ 2ЗГа( 2 та( / (2.1) В центре прямоугольника (при х=у=О) формула (2.1) дает Ь (О, О, О = Но + Л Н ег( Л ег( Л, (2.2) Введем безразмерные величины 4а~ Ь(О, ΠΠ— Но т = —,, и(т)= ьн ' к' и= —, (2.3) Подстановка х,— х=2Л/и( и, у, — у 21/и( о приводит к равенству ч Ь(х,у,() Н,+ — ~ е-"'с(и (е о*до — $ -п ДИНАМИКА ГРУНТОВЫХ ВОД ПРИ ПОЛИВАХ !гл.
хш 480 Тогда получим и(т) = ег! =ег! =. 1 и з/т ъ'~ ' (2.4) Для больших значений т имеем и(т) = 4л!(Ит). При п = ао имеем случай плоского течения в плоскости (х, Ь), другими словами, случай растекания полосы: Ь (х, 1) = Н, + — ! ег! = + ег! =1. (2.6) 2 Х 2 т1аг 2 т/а1 / имеем А аг г рг г Ь (х, у, 1) = ехр!— лтт"чггФ4г") ( >~-~' ~.~ю ) (2.7) Простой результат получается для периодической функции Ьг(х) = А соз(ах) (Кочина 1951): Ь (х, 1) = А соз (ах) ехр ( — а'а1). (2.8) При растекании бугра наибольшие ординаты его снижаются, другие несколько приподнимаются, так, что общий объем в силу иесжимаемости жидкости все время остается постоянным. Поэтому один бугор действует иа другой всегда таким образом, что в каждый момент в той или иной мере повышает его ордииаты и замедляет растекание.
На рис. 284 представлены формы поперечных сечений бугров в координатах (и, $), где 5 = хЯ, при т = О, т = 1 и т = 4 (Муминов 1967): сплошные кривые отвечают значению п = ОО, а пунктирные — л = 1. Йа рис. 285 представлены графики понижения бугра в центре прямоугольника для различных значений а. Кривые зависимости максимальной ординаты от времени сначала круто спадают, затем растекание становится все более медленным. Заметим, что в формулах (2.1) и (2.5) любой момент времени 1 = 1~ может быть принят за начальный, тогда начальная форма бугра будет некоторой плавной поверхностью. Если начальная функция Ьа(х, у) представляется в виде суммы нескольких слагаемых, то и Ь(х, у, 1) будет суммой соответствующих слагаемых.
На рис. 286 представлена зависимость от т уровней грунтовых вод для середины бугра в случае растекания полосы, а также для точек 5 = хЯ = ! и 8 = 2. Отметим еще один случай, когда решение уравнения (1.!) получается в конечном виде; при ) — А ( азг Яг г) (2.6) 481 РАСТЕКАНИЕ БУГРОВ а1Ю Г 2 5 4 Рис. 284. 2 4 й 6 Рис.
285. 1 и Рис, 288. 1б П Я. Поаубарннава-Кочана 482 ДинАмиКА ГР«нтовьсх ВОД пРи пОлиВАХ (гл. х!сс 3 3. Некоторые случаи поливов. Будем считать, что полив производится с постоянной во времени интенсивностью, т. е. что в формуле (!.2) 1(х, у, 1) не зависит от й Тогда под знаком интеграла можно сделать замену переменной 1 — 1с на й Получим (считая Йа(х, у) = Но) Ь(х, у, 1)=Н,+ О О + 4 ~ с ~ ~ ехр ~ 4 с ) ( (хс ус)ссхс с(ус. (3.!) 1 Г сСС Г Г / (х — х )с.(-(« — «с)с Х о Ф Предположим, что полив производится по поверхности прямоугольника ( — ст < х < Н, — Нс < у < стс), над которым ю = = е = сопя(, причем вне прямоугольника ю = О. Тогда по формуле (3.1) будем иметь Ь(х, у, 1)= с а =На+ 4 ас ~ г ) ехР! — 4 с )схс ) ехР! — 4 с ) с(УО о -а Применяя те же подстановки, что и в задаче о растекании, найдем й (А, у, О = На + — ~ ~ег! = + ег1 =)~ ',к', СС+ Х А 4ас А, 2 АсаС 2А/аС ) о Х(ег1 ' " + ег1 ' «)Й.
(3.2) Случай полива бесконечной полосы — Я < х < Я может быть рассмотрен при помощи формулы (!.4) или получен чз (3.2) прн й~ — — со; Ь (х, 1) = Н, + — ' 1 ~ег1:х+ ег1 + х 1 с(1. (3.3) О 2са З С 2А/аС 2А/ С ) о Здесь интегрирование по частям приводит для и(~, т) = —,!'„[Ь(х, () — Но) (~ = Т т = — ~) (3 4) к такому выражению: иЯ, т) =Р($, т)+ У( — $, т)+ 6(й — 1)'-, (3.5) иякотовые слтчаи поливов 483 4з1 где 6 = 0 при 16'1 < 1, 6 = 1 при 161 > 1, рв, )= ( (1+ 1)'~ (1+ ВР 1+ $1 — 1 Гтег( +~+ л/-(1+8)ехр( ~ — ег16=1.
4т Г 2 2 т)' Интеграл в правой части формулы (З.З) можно представить в компактной форме (Аверьянов 1956, 1959): Ь(х, 1) =Н,+ — ') 1 — 21Рег1с — г=+ Рег1с=)~, (36) 2 З/аг / где Рег(сг= ~ дг, ~ ег1сг, Нгь ег1сг=1 — ег1г. (3.7) е, Функции 1"ег1сг протабулированы в книге А. В. Лыкова и Ю.
А.Михайлова (1963). Возвращаясь к формуле (3.2), рассмотрим подъем в центре прямоугольной площади при х = у = 0: Ь(О, О, 1) =Не+ — ~ ег(Лег(Л1е(1, о (3.8) где й 11~ 2 Ч'аГ 2 З/аг Для малых значений 1 аргументы сомножителей под знаком интеграла велики. Применим асимптотическую формулу ег1с х = =(1 — — + ...), х з(а 2х' где е" 2е' 21/аа ~(')- з + з + з ег(сп, е а Ле+дт ~~ (р) †. + е-а рЕ1(р) Это показывает, что для достаточно малых значений 1 подъем центра бугра происходит равномерно со скоростью е!лт. Продолжительность стадии равномерного подъема зависит от размеров поливного участка.
При заданном й она наибольшая для )г~ = ошибка которой не превосходит первого из отбрасываемых членов ряда. Мы отбросим 1/(2х'). Тогда будем иметь й (О, О, 1) = Н, + — '1 — ~/ —.' (~ (Л) + ~ (Л,)) — 21 1, Е), (3.9) ДИНАМИКА ГРУНТОВЫХ ВОД ПРИ ПОЛИВАХ [гл, хш 484 = со, т. е. для полосы. В этом случае точное равенство имеет простой вид и(0, т)=т — [(т+ — )ег1с — — А1 — ехр! — — )1. (3.10) 2) 2з/т и т, 4т) ! При т ) О, 1 линия и(0, т) отклоняется от прямой. На рис. 287 даны графики зависимости и($, т) от т для ряда значений 9; на рис. 288 — зависимость от $ для ряда значений т. 1Р 1Р 1 7 й 4 Рис. 288 Рис. 287.
Рис. 289. Формулы (!.2) и (1.4) позволяют решать задачи о сериях поливов, когда в разные промежутки времени происходят поливы разной интенсивности. Для таких задач решения приведены Чжан Вэй-цинем (1959). На рис. 289 представлены кривые подъема грунтовых вод и их дальнейшего опускания для натурных наблюдений на одном учат ИСПАРЕНИЯ И ТРАНСПИРАЦИИ ВОДЫ РАСТЕНИЯМИ 485 9 4. Учет испарения и транспирации воды растениями. В летнее время большую роль в режиме грунтовых вод играет испарение воды, причем оно может происходить или непосредственно с поверхности грунтовых вод, или через посредство растений, которые впитывают из почвы влагу, испаряющуюся затем с поверхности листьев (трвнспирация). На основании ряда наблюдений на орошаемых участках М.
М. Крыловым (1947) исследована зависимость интенсивности испарения и транспирации от глубины залегания свободной поверхности грунтовых вод. Эта зависимость оказалась близкой к линейной. Обозначив интенсивность испарения через с, можно написать эту зависимость в виде с = р — ау, где у — ордината, отсчитываемая от поверхности земли, которая считается горизонтальной плоскостью. Полагая у + й = 1, где 1 — расстояние от поверхности земли до водоупора, получим с = х(й — 1) + р.
Обращаясь теперь к уравнению (1.!), введем величину ш/ле в виде — = — — + — = — Ь(Ь вЂ” Н)+— т с е е т т т т (4.1) Здесь учтена также инфильтрация, интенсивность которой обозначена через е, и введены обозначения Ь = а/ле, Н = 1 — р/х. Вместо (1.3) получим уравнение да д2А е — =а — — Ь(Ь вЂ” Н)+ —. д~ дх' т' (4.2) Это же самое уравнение, лишь с другими значениями постоянных Ь и Н, получается при учете вертикальной скорости, которая имеет место на границе со слабо проницаемым прослоем. Приведем решение уравнения (4.2) для случая полосообразного дождя (или полива). Выпишем здесь без вывода соответствующие формулы, введя безразмерные величины — т =Ы, а= —. (4.3) х е ек яе ' и = — (Ь вЂ” Н), 4ат в из участков орошения (Крылов 1947) (по оси ординат отложены глубины в метрах, отсчитываемые от поверхности земли).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
