П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Иеех' ~ее еее„ее !'е."',"," е "",* =~.— е~е. ее ! (7.8) Здесь по-прежнему Не — ое о и,— н, и„= Н., — Н 1 х'. (7.9) Из (7.7) и (7.5) видно, что о (х') > ие(х ) (О < х < 1). При Т, = Тз = О функции ф(ТН Т,) и ф(ТН Т,) не являются непрерывными. Из Вида (7.8) функций )Г~ = ф(ТИ Тг) и )Гз = = ф(ТН Т,) легко показать, что паре значений 1'1 и )Гь удовлетворяющих неравенствам ш(х') — о(х') < Ъ", < О, О < )Гз < ( о(х') — ие(х'), е' — )Г1 ( о(х') — ш(х'), соответствует однозначным образом пара значений Т, и Тз, не обращающихся в нуль одновременно. Таким образом, каждой паре значений и, и и„„ удовлетворяющих неравенствам ш(х') < и„< и, < о(х'), соответствует одна пара значений Т, Ф О и Т, Ф О.
Рассматривая вместо периодического решения (7.7) периодическое решение, состоящее не из двух кусков ие(х,() и из(х, е), а из 2т кусков игьы(х, !) и изеиз(х, Г) (1 = 0,1,2, ..., т — 1), можно видеть, что все куски с нечетными и четными индексамн совпадают между собой (и,;+,(х, Г) = и,(х, Г), из!Иа(х, 1) = = и,(х, е), 1' = 1, 2,..., т — 1). Отсюда следует единственность периодического решения (7.7).
Величины Т, и Т,=Т вЂ” Т, находятся как наименьшие корни из системы двух уравнений иАЧАльио.кРАВВАВ зАдАЯА с пеРБтокАми 499 в в! / l ,)"Я<,,0= ° Ы-8 ЛО!'"К.*р( — 8)(8-Лт")) л.— ","* л / 0 и > | ~ | Н ~ ~ ! С ~ ! > 1 ~ ~ ~ ! г | | ~ ~ ~ 1 < М ~~ 8 Хт'"<)<Хт"'р-т)'+", )=0,),2,8,..., Т '=О), <-о <-о и<'+') (х, 1) = / Г <,) .р т 00"".«р! — 8! ! ) — т т" — т)"")) л —,* л ) ) О (. )+) лтц',т)'-чл)л Атр). )=о ) о (8.1) и<<)+')(х, 1)=8~<<Во(х, <) Н) (1= ! 2) 3десь С<,' — коэффициенты Фурье функции <р(х) — о(х), Т) и Т< + ) — наименьшие корни уравнений )+) '(*' лт''-)-т ) —, ',+ ~ ьт~')= . <82) 1 О / О Функции о(х) и ш(х) даются формулами (7.7) и (7.5). Из формул (8.1) и (8.2) следуют соотношения (1=0,1,2, ...), (8.3) (< = О, 1, 2, ...).
и — о (х') = ~~ С<'+))()и+)) з!и— л л < и,. — и) (х') = ~ 0<2 ы)уи+))э(п ~~~ л л л ) При этом 8<о =ехр( — ЛОТ<)), у<) = ехр(-Л)(Т<о — Т",))). В силу равенств ,)'" (,, Х т")=лч (*, Ьт"'). (8А) < о Г,, й 8. Начально-краевая задача для движения с перетоками. Обратимся к начально-краевой задаче (7.!) — (7.4)'. Если решение этой задачи существует, оно имеет вид динхмиха гпгнтовых вод ппи поливпх йоо <гл.
хш получаем зависимости С«+3 = — 9 + у«+ В«+и, л л а л О(„<>=9„+Р„с+<>С<+ >. (8.6) Здесь 9л — функции, определяемые из (7.7), Из формул (8.5) вытекают равенства С«+ = — 9 Г(с 3>+ у(с>Р(с>у«-<>Р«->> ... у«- Р«- С«- л л и и л л л ''' а л л (с) 1), П«+>>=9 В«+ + >+Р(с+ >у(с>Р«> ... у«- Р«- >С!- и л л я (с)~0), (8.6) где введены обозначения Г«3> =1 — у(о+ у<с>Р(с! — у«>Р«>~«-<>+ ...
п а и л л л а у«>Р«> Р«-3+<>у(с-и и и ''' и тк(.3> 1 Рж+Р(оу(с-с> Р(иу(с-<>Р(с-<>+ а а а л л и и + Р(с>у<с->> Р(с-3+ну(с-и и л ''' л л (8.7) СЮ Р«+и Р(о> 1 ~и А гР(с+<>Г(<,3>+Р«+<>у«>3>«,3>1+ >~,и~ил ! л п и 3 балх' + ~' гр(с+<> р«+<>1у<ор«>, , р«-3+<>у(с-3>С <'-'> з(п """ (8 8) и ! у(с+ =у< + ~'В (у(+ В«+ 3+ +у«+ Р«+ Г«.
)+ ! ! ~.~ а~ и в ! а л и 3 них' +,) (у«+<> — у«+<>) Р«+<>у«>Р«! Р(с-3>Си« ~> 3!п ~ и (89) и-! При атом в формулах (8.6) за й может быть принято любое число >с) 1. После некоторых преобразований уравнения (8.2) с учетом (8.1) и (8.6) для достаточно больших значений с приведутся к виду нАЧАлъно.кРАевАя зАдАчА с пеРетокАмн Здесь использованы обозначения (8.6) и положено также Во( вв1 рсп>, [л о(. )) . (о>, („ш(хп)) илх' А„= с)О„Е|п —. В = — рйизбп —, Саи А'=с)С(с А» Сли А'= рС('-'> ~и„— о(х')+ 6, з!п —" [- ' Т' их' 1 и„— ш (х') — 6, зш — 1 В рассматриваемом случае 4 5 6) выполняются неравенства и. — о (х') < О, и.. — ш (х') ) О.
(8.1 1) Из формул (8.8) — (8.11) можно видеть, что уравнения (8.8) — (8.9) при любых значениях р(в> и у',и' имеют хотя бы по одному решению. Если имеется несколько решений уравнений (8.8) — (8.9) рссс+с> и у('+", то берем наибольшие из этих значений. Можно показать, что имеют место следующие зависимости: 1!>п Д(с+» = ~ Цп> у(с+и = у (8.12) с -ам с.а где р, =ехр( — Л',Т,) и у, =ехр( — Лвс(Т вЂ” Т,)) — рассмотренные выше величины для периодического решения (7.7). Можно видеть, что величины ()ссп и у(с>, определяющиеся из уравнений (8.8) — (8.9), ограничены, если и, — и„, ) 6 > О (что всегда соответствует физическим условиям): ()т>п и> ~папа ' уап>п < у> упааа !фснп — р(п(<ЕЛ" ', ~у(с+и — у(п)<ЕЛ" ' (8.14) где (л — 1) и .
(и — 1) и ., и(л+!) . л (л+ 1) 1= с 2 ' 2 ''''' 2 1+1 с — 2 а с — 1 Э Пусть с достаточно велико. Константы раап, упал, ()шах, у~ах определяются методом последовательных приближений из уравнений, аналогичных (8.8) — (8.9). Пользуясь формулами (8.8) и (8.9) для величин рсс+о и у(,'+'> и оценками (8.13), можно показать, что существует такое число О ( Л ( 1, что для достаточно больших значений с выполняются неравенства динлмикх ггхнтовых вод пяи поливлх (гл. х(т 502 если при / = 1, 2,..., ( имеют место неравенства ) 6((/+о — 6((/) ! < е, ~ у(/+)) — у()/) ~ < е. (8.15) С помощью (8.!4) можно оценить разность )р()/+Р) — и((/+о ~ при любом р = 2, 3, ... Используя неравенство треугольника (()(/+Р) ф/ (1) ~ (! (!(/+Р) ф/+Р-О ! + ~ ()(/+Р-() Р(/+Р-Х) ~ + + ~ р(/+2) я(/+!) ~ 8 9. Случай переменных уровней воды в каналах.
Пусть теперь уровни воды в каналах или дренах зависят от времени: Ь( = й((/) (( = 1, 2). Тогда начально-краевая задача сводится к решению уравнения (7.1) — (7.2) с начальным условием (7.4) и граничными условиями (Кочина 1973, 1) й(О,/)=Н,(/), й(!,/)=Н (/), (9.!) В этом случае вместо (7.9) имеем следующие соотношения: и, (/) = Н, — Н, (/) — (Н, (/) — Н, (/)! —, (9.2) и„„(/) = Н вЂ” Н, (/) — (Н, (/) — Н( (/)] —. Предположим теперь, что выполнены условия 1!т — '=О ((=1,2). (9.3) (// Игл Н, (/) = Н, и устремляя в формуле (8.14) и к бесконечности, можно показать, что выполнен необходимый и достаточный признак существования предела (!) последовательности р((/). Аналогично до.
казывается и существование предела у, последовательности у(/'. Подстановка Р(/) =~ц у(/) =у, в (8.8) — (8.9) дает (7.8). Результаты, аналогичные изложенным выше для одномерного случая, получены также для задачи, описываемой уравнением (5.1) в случае прямоугольной области. Заметим, что периодическое решение (7.7), частным случаем которого прн Ь = О является решение (6.16), (6.!7), (6.19), определяет автоколебательный процесс, т.е. процесс, характер которого определяется свойствами самой системы, создающей эти незатухающие колебания. Действительно, продолжительность стадии полива Т) и период автоколебания Т находятся из уравнений (7.8) илн (6.20), т.
е, определяются параметрами нашей задачи. зи СЛУЧАЯ ПЕРЕМЕННЫХ УРОВНЕЯ ВОДЫ В КАНАЛАХ 503 Тогда из формул (9.2) получим 1пп и„(1) = Н, — Н~ — (Нз — Н1 ) — = и„ х' С+- (9.4) 1нп и,„Я = Н вЂ” Н, „— (Н, — Н, „) — ", = и„, „. С+- Можно показать, что тогда указанные выше четыре случая поведения решения соответствующих начально-краевых задач верны и для этой задачи, если в формулах (7.5) — (7.9) заменить величины Н» на Нг (! = 1, 2). При этом в четвертом случае, когда выполнены неравенства и,„— п (х') (О, и,„— ш (х') ) ) О, аналогичные (8.11), имеют место зависимости (8.12) и решение асимптотически стремится к периодическому решению (7.7) (соответствующему указанной выше замене).
Глава ХУ НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ОРОШЕНИЕМ л. о Фильтудции при неполном ндсыщцнии 9 1. Фильтрация в почве при неполном насыщении. Почва представляет собой трехфазную систему — твердые частицы, вода и воздух с парами воды. Насыщенность почвы влагой является переменной. В теории движения почвенной влаги при неполном насыщении считают, что давление и коэффициент водопроницаемости — заданные функции насыщенности, причем движением воздуха пренебрегают. Было сделано наблюдение, что почвенные агрегаты содержат два вида пор — «капиллярные» и «некапиллярные». Другими словами, имеются поры двух порядков крупности, причем «капиллярные» поры обусловливают водоудерживающую способность почв, «некапиллярные» определяют быстрое просачивание воды в почву. Считается, что для идеальной почвы суммарные объемы каждой из систем пор должны быть примерно одинаковыми (Вачег 1956).
Такая почва имеет достаточную аэрацию, хорошие проницаемость и водоудерживающую способность. В нефтяной гидродинамике исследуется фильтрация в пластах, содержащих систему трещин и капиллярных пор (Ьаренблатт, Желтов и Кочина 1960). В неустановившихся течениях могут оказаться существенными перетоки жидкости из одной системы пор в другую. Такую модель можно перенести на движения воды в почве. Теорию движений газо- и водонефтяных смесей можно было бы также использовать при изучении фильтрации воды в почве.
Мы ограничимся простейшим рассмотрением вопроса. При выводе уравнения для насыщенности ш грунта влагой (влажности) исходят из уравнения неразрывности, которое выражает тот факт, что изменение массы жидкости, вытекающей в единицу времени из элементарного объема, компенсируется Э 1] ФИЛЬТРАЦИЯ В ПОЧВЕ ПРИ НЕПОЛИОМ НАСЫщЕниИ 603 изменением насыщенности внутри этого объема: дРх дэу дох дгх — + — + — = —— дх ду дг д! (1.!) где О„, Оу, и, — компоненты скорости фильтрации. При неполной насыщенности грунта считают, что имеет место закон Дарси в форме О„= — я (в) —, Оу = — й (в) —, О, = — й (в) —, (1.2) дп дП да дх ' ду ' дх ' Для й(в) имеется, например, формула С.
Ф. Аверьянова (см. $10 главы 1) й(в)=й, ( ') (п=3,5), (1.4) где т — пористость, ве — количество связанной воды в единице объема грунта, й~ — коэффициент фильтрации при полном насыщении (когда в = т). На границе фаз вода — воздух действуют капиллярные силы, обусловливающие разность между давлениями в жидкости (р) и в воздухе (р,): р — р. = рх (в) (1.5) причем обычно р„(в) определяется с помощью полуэмпирических формул. Давление воздуха будем считать постоянным, полагая р, = О. Чем меньше в, тем больше р„(в): при очень малой насыщен~ности пор водой она адсорбируется на поверхности твердых частиц — образуется прочно связанная вода, которую трудно отделить даже при очень больших скоростях центрифугирования. При увеличении в появляются слои рыхло связанной влаги, при еще большей насыщенности она делается, наконец, способной двигаться под влиянием силы тяжести (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
