П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 77
Текст из файла (страница 77)
вий (7.5), получим ! д !и и 1 д ! Р— — +и= — — +Р. а дк| а дк| где 1 — некоторый характерный линейный размер, и новые не- зависимые переменные ЗАДАЧА О РАСТВОРЕНИИ И ВЫМЫВЕ СОЛЕЙ б2! Перепишем (7.7) в виде а' и"' — — — = а(г — п) а д или „1 =(! д „) =аг" (х,).
ехр (акр) ! — ехр (ак,] (хг = (7,2 и из (7.8) п(хи т) = ( Р) 79) Х вЂ” ! + ехр ( — аар (хр — х)) ' ' ДА где к, к=.*р( ) ро*!р,), о 1(7 (А2 С4 Щ РС 1д С рис. 307. а т= — С т! Функция С(хо, т) находится теперь из уравнений (7.6): С(х!, т)— К вЂ” ! Х вЂ” 1 + ехр ( — ат (кр — т)] ' (7.10) На рис. 307 графики функций л н С, построенные по уравнениям (7.9) и (7.10), представлены соответственно сплошными и пунктирными линиями. В вычислениях было принято т = 0,5, а = 1, г" (х,) = 5 ехр( — 4х!). Для определения скорости о при промывке в неполностью насыщенной пористой среде можно воспользоваться формулой С.
Ф. Аверьянова (см. $ 1О главы 1) й~ ре — рео)" (7.1 1) Интегрируя полученное уравнение по хо, получим к, — -е(ео *р( ~ РРРР* ) (7.8) е где Ф(хг) — произвольная функция. В первом нз уравнений (7.6) положим х! = 0 и с = 0; тогда, используя (7.5), найдем л(0, хг) = г" (О) ехр (ахг). От- 1 2 5 4 а а~ Если известна скорость промывки о -. й, то из (7.!1) можно опРеделить величинУ цур = ос — шо, хаРактеРизУюЩУю часть влаги, принима)ошую участие в движении: г охи» шр = ш — шо = (т — шо) 1 — ) ~ь) В уравнениях рассмотренной в этом параграфе задачи нужно при этом заменить т на шь Если еще сделать предположение, что концентрация поливной воды с, ~ О, то в формулах вместо с„- нужно взять с,— сро При указанных соглашениях можно, исходя из (7.9), написать уравнение для М(х, /): У )У вЂ” ! + охр(хоу~ (к — оо/оу,)) ' где к — у =.*р ( — 1 р р*р у*).
рр.урр о г" (х) — функция, через которую выражается начальная функция М(х, 0). В условиях промывок с„/с„является малой величиной. В. И. Пеньковский, разлагая правую часть (7.13) по степеням с„/с„и удерживая два члена ряда, получил приближенную формулу для М(х, /): М (х, () ж г" (х) ехр (Лш, (х — — ') ) Х к Х(р -р(р — р(к, (* — — '))) —,~руур»у), руру) о причем Л/с„ж ар/о. С помощью (7.16) можно вывести уравнение для величины промывной нормы (,) путем таких рассуждений. Для нижнего фронта погружающегося столба воды при заданной величине Я имеем (7.16) о! — ге!х = Я. Введем величину М,р — среднее, окончательное, допустимое солесодержание в слое мощности /: р М»Р ®»' ! М (х, Г) с(х.
1! (7,17) 622 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ, СВЯЗАН! уЫЕ С ОРОШЕНИЕМ !ГЛ, ХЧ Проинтегрируем (7.15) по х от О до ! и разделим на 1. Вводя () согласно (7.16), получим уравнение для Я: 1,е 'Ап — (1! + 1,) е-Ао + йг„= О, (7.18) где 1, = — з! Р (х) дх, 1, = — ~ Р (х) пх ~ Р ф !(й. (7.19) ! Г л Для !',! получается такое выражение: о — ! — '.! ! ! ( !!! .!.! .!. ~Я!, !-!,! 4!,и !). !7.20! Из двух корней уравнения (7.18) выбирается меньший, т, е.
отвечающий большему значению Я. В. И. Пеньковским (1969) дана приближенная формула ! /! 1 12 / А ср ~ 1) ж — (п — + — — ~1 — — ). !Уср !" 1! При больших с, выражение для 1о мало, 1, можно рассматривать как некоторое исходное солесодержание Л/„и вместо о (7.21) написать приближенную формулу л!о Я ж — 1п — ' (7.22) л А!„' Формула (7.22) известна в мелиоративной практике как эмпирическая формула Волобуева — Панина (Панин 1968). Для константы Л дается таблица значений применительно к различным видам засолении и различным почвам (Мариночкина и Пеньковский 1976).
9 8. Два случая точного решения задачи о рассоленин. Рассмотрим одномерное движение вдоль оси х, которую будем считать направленной вниз по вертикали. Если на входе, при х = О, подавать в сухой грунт (точнее— ие содержащий гравитационную воду) пресную воду или воду слабой концентрации со, то можно различать 1) область с подвижной границей О ( х ( х!(1), в которой происходит лишь перераспределение концентрации с(х, 1) за счет диффузии, и 2) область х! (1) ( х ( хо(1), в которой происходит полный переход солей из твердой фазы в рве~вор. Граница х,(1) перемещается вместе с частицами жидкое~и и определяется урав- нением хо(!) = — !.
оо (8.1) % о! ДВА СЛУЧАЯ ТОЧНОГО РЕШЕНИЯ О РАССОЛЕНИИ бои 524 некотОРые ВОпРОсы, связхнные с ОРОшением 1гл. ху С л у ч а й 1. Рассматривая эту задачу, Ю. И. Капранов (1972) принял, что в предположении о достаточно быстром растворении солей ширину второй зоны можно считать равной нулю, т. е. положить х1(1) = х,(1), а все влияние второй зоны внести в граничное условие в такой форме: дс о ~п0 — = Уоо, х= — 1, дх ' т (8.2) где й1о — коэффициент объемного засолеиия. Засоленность подаваемой воды можно принять равной нулю и считать с(0, 1) =О.
(8.3) и функцию ~ $, т) ехр( — — ). (8.5) Тогда задача может быть сформулирована так: найти функцию иЯ, т), удовлетворяющую следующему из (5.1) уравнению; и,=и — и (0(~(т), (8.6) граничному условию и(0, т)=0 при т>0 и условию (8.7) и =1 при В=т > О. (8.8) Функция и($, т) ищется в подвижной области, ограниченной линией $ = т, для т ) О. Если продолжить и(З, т) на весь квадрант в ) О, т ) 0 как решение уравнения (8.6) при начальном условии и($, 0) = ио Д), для которого ио(0) =О, (8.9) то решение при определенных ограничениях на рост иоЯ) будет единственным и может быть представлено в виде и (е, т) = ~ ехр( — — 4)!8(е — з, т) — 8($+ з,т)] по(з)сЬ.
(8.10) о В случае подвижной границы начальное условие не имеет смысла. Однако при специальном выборе в (8.10) функции ио(а) Ю. И. Капранов рассмотрел также другой вид граничного условия (с! дс/дх = оо при х = 0), но мы здесь ограничиваемси условием (8.3). Введем безразмерные переменные е= — х, т — 1, и($, т) = — с(х, 1) (8.4) Л'о 4 в1 двл слтчля точного ряшвиия о рхссолвиии 525 возможно удовлетворить условию (8.8). Для нахождения ио(Ц вычислим ит по уравнению (8.!0) и подставим в (8.8).
Получим интегральное уравнение ~ ад(з, т) !(з) с!з=2т, )(з) =и (з)(1+ а-т). (8.11) о Так как О~ =ч' ( ) (т г вот ад(з, т)сгз= — т1 — ехР1т — — ), '7 и ~ 4т)' о то нетрудно в (8.!1) произвести интегрирование по частям и по- лучить интегральное уравнение ~ л(з, т)7'(з)да=1, о (8.12) решение которого имеет вид !'Я) = 2.
Следовательно, 7(5) = 25+ С. Полагая С = О, так как ио(0) = О, найдем 2$ 1+ехр( — 1) ' (8.13) Теперь по уравнению (8.10) найдем иф, т): О н(ь «)=ехр(2 — 4) ~ —,(к(з — з, т) — й'Й+з, т)]сЬ. (8.14) о св— 2 дс две дс лв дв =0,р в " дх (0(х< хо(1)) (8.15) Полученное решение непрерывно вместе с ит в треугольной области 0 ( 5 ~ т. Уравнение (8.14) показывает, что при фиксированном х концентрация с ростом ! очень быстро стремится к нулю, но на фронте $ = т при больших т имеет место рост и(т, т) = 2 ~/т/~~ + О (1), что налагает ограничения на применимость предложенной схемы при больших й С л у ч а й 2.
Теперь предположим, что начальное объемное засоление почвы не постоянно, но определяется заданной функцией ф(х). Концентрацию с, промывной воды будем считать постоянной. В. И. Пеньковский и С. Т. Рыбакова (1975) рассмотрели такую задачу: дано уравнение (5.1) НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ОРОШЕНИЕМ !ГЛ. Хч 526 и граничные условия дс — 0 — +о(с — с)=О при х=О, (8.16) при х = х, (!).
0 д — — ~>(хо) дс дхс Как н выше, хс(!) = о!/и есть фронт продвижения воды. Вместо х н ! введем переменные В и т согласно равенствам (8А), вместо с(х, !) — новую функцию (В. )=(с — с.)ехр [,4 — ) (8.17) 9то приводит к простейшему уравнению теплопроводности — т=дк (О<В< ) (8. 18) и граничным условиям дс ! — — — о=О 2 при в =О, дс 1 l — + — о =1(т) ехр ~ — — ) при дВ 2 п,) ' р(~'). (8;19) Уравнение (8.18) имеет однопараметрическое решение вида В'(В, т, а) е ч" [А(а) в!П(а~)+ В(а) сов(ай)]. Первое из условий (8.19) удовлетворяется при В(а) =2аА(а).
Искомое решение о($, т) представляется в виде о (в, т) = ~ А (а) [в!п (ав) + 2а сов (ав)) е '" с!а. (8.26) о Удовлетворяя граничному условию при $ = т, для А (а) получаем интегральное уравнение Для некоторого упрощения уравнения проинтегрируем (8.21) по ~ А (а) [(4 — а~) в!п(ат)+ асов(ат)[ехр[( — — а ) т~ На= —,! (т). о (8.2!) З в1 ДВА СЛУЧАЯ ТОЧНОГО РВШВНИЯ О РАССОЛВНИИ Бзт т в пределах от 0 до т. Получим, изменяя порядок интегриро- вания (что законно в силу равномерной сходимости по 1), А(а) з(п(ат) ехр[( 4 — а) т ) вва — г(т), (822) 1 1 о где Считая А(а) непрерывной функцией в промежутке (О, со), причем А(О) = О, В. И.
Пеньковский находит А(и) путем применения двукратного прямого и одного обратного преобразования Лапласа, обозначаемых так: о+1-» 1.Р (Ь) = — ~ Е Овй (З) Г(З = Н (р), 1.в (Н) —. ~ аовН (р) ~~р=а (З). Теперь к обеим частям уравнения (8.22) применим преобразо- вание Ерч что приводит к уравнению (8.23) ар Умножая обе части уравнения (8.23) на р и применяя операцию Е,'> после ряда преобразований найдем Введем функцию вр(з) р (зп д) 1в (Р1.;(Р))~ з (з)Г-~) Г,в'(ГНУ)). (8.24) являющуюся синус-преобразованием функции А(а). По формуле А(а) —, — Ер (г).
аоа 1 о а + (Р + в 4 ) Разложение на простейшие дроби дает Ю ~ Тв'(РТр (Р)) (за ~з) ~ А(а)з!п(аз)да. о 1 828 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ С ОРОШЕНИЕМ [ГЛ. Х'. обращения найдем Ю А (а) = — ~ ф (в) 8!и (ав) дв. 2 Г О Подстановка этого выражения в (8.20) даст о($, т), Для вычислений удобно предварительно преобразовать (8.20) с помощью формулы (Градштейн и Рыжик 1982, стр. 494) е-'ив(п(ва) в(п(ка) с(а= — 6 $, в; т), (8.28) о где 6(в, в; т)= [ехр( — ) — ехр( — ' )~. Подставляя (8.25) в (8.20), изменяя порядок интегрирования и учитывая формулу (8.26), получим В качестве примера положим, что 1(ф) = ехр ( — (АЗ8) ((А = сопв().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
