П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В частностн, прн г = !с' для слабо проннцаемого водоупора уровень й определится из равенства Н' — А', 2 и ВС откуда (9.12) ! — Ь!О ! — Ь'20 В,=, ", ЕЕ=,, ам а„ Ь~ Ь м— Н А2 йэю = —. Н Чем меньше проницаемость водоупора, а, следовательно, и и, тем больше Л* н тем меньше различие между й и Н, определяемое формулой (9.10). Поэтому прн малых В2 (порядка 1Π— '— 10-4 м-'), когда эта разница становится пренебрежимо малой, величину Н" = 1,!23/гз можно условно принять за радиус влияння скважнны. Предположим далее, чзо в условиях установившегося пригока к скважине в некоторых двух точках измерены (прн помощи наблюдательных скважин) уровня свободной поверхности, т.
е. имеем и = Н, прн г = г, и Ь = Н, при г = г,. Подставив эти условия в уравнение свободной поверхности (9.6), получим КВ (В2г1)(Н вЂ” й2) КВ(езг2) (Н вЂ” 61). (9.11) Из этого соотношения можно определить ьэ, а, следовательно, проводимость прослойки, подстилающей водоносный горизонт. При достаточно малых гэг! и В2г2 можно воспользоваться приближенным равенством (! 0.9) главы 1Х и преобразовать (9.11) следующим образом: Н2 А2 и — ь 1,!23 ь,', — «~ а', — а, плАст со слАВО пРО!зицАемым ОснОВАнием 491 Заметим, что судить о степени малости величин вг! и вгз до вычисления в можно, лишь имея предварительное представление о порядке в; после же подсчета в по формуле (9.12) станет ясным, насколько обосновано допущение о его малости. Если же заранее нет уверенности в том, что вг, и вгз достаточно малы, то для вычисления в следует пользоваться более точной зависимостью (9.11). Описанный способ определения коэффициента фильтрации слабо проницаемой прослойки был предложен м.
Н. Мятиевым (1948). Хотя уравнение (9.1), как зто отмечалось выше, не интегрируется в замкнутой форме, его решение, удовлетворяющее условиям (9.2), можно оценить, например, при помощи соответствующего (удовлетворяющего тем же граничным условиям) решения (9.6) уравнения (9.4). Сделаем в (9.1) и (9.4) замену: г = ев, й = гН. Тогда зги уравнения примут соответственно вид (Меламед !963) (гз) + 2езвв (1 — «) = О, (9.13) («1~т1)и + екав~ (1 — г' 1) О, (9.14) где в' = я/(й г(Н). Штрихами обозначены производные по р.
Граничные условия (9.2) преобразуются в следующие: йс г=га= при р=ро=)пгс г 1 при р з оз. (9!5) Н Вычитая (9.!3) из (994), получаем и = в е Р !и — (1 — г)з), и~аз — гз . (2) ' (9.16] Потребуем пока, чтобы решения г и гв! уравнений (9.13) и (914) удовлетворяли первому из условий (9.15), а вместо второго поставим следующее: г (ре) = г„(рс) = ге, т. е, для обоих уравнений ставигся задача Коши при одинаковых начальных условиях.
Тогда начальные данные задачи Коши для уравнения (9.16) таковы: и (ро) = и' (ро) = О. (9.11) В силу (9.!6) и" (ро) ( О и согласно (9,17) в окрестности рои'(р) ( О и убывает, а значит, и(р) ( О и также убывает. Так будет продолжаться и дальше, ибо превращению и из отрицательной величины в положительную должно предшествовать изменение знака с минуса на плюс у первой, а стало быть, и у второй производной; между тем последняя согласно (9.!3) не можег стать положительной раньше и.
Итак, и = «- — г 1< О для р, ( р ( со, т.е. интегральная кривая уравнения (9.14), выходящая из той же точки на стенке скважины и под тем же углом, что и кривая уравнения (9.13), оказывается выше последней, все больше отклоняясь от нее с ростом р (и'( О).
Если же решения уравнений (9.13) и (9.14) подчинить теперь условиям (9.15), то интегральная кривая уравнения (9Д4), линеаризованного по И', Расположится ниже соответствующей кривой нелинейного уравнения (9.13). Выше было выяснено, что соответствующая кривая уравнения (9.3), лииеаризованного по А, окажется еще ниже.
Такое расположение кривых было обнаружено и в результате непосредственного сравнения решений уравнений (9.1), (9Л) и (9.4) при условиях 492 ГидрлВлическля тгония устлноВившихся дВижений ггл. х (9.2), сделанного С. Т. Рыбаковой (1962) Интегрирование уравнения (9.1) осуществлялось на ЭВМ как решение задачи Коши, причем значение Ла задавалось, з значение 6 определялось с некотором интервале так, чтобы решение соответствующей задачи Коши удовлетворяло второму условию (9.2). Как указывалось в начале параграфа, это зяачение 6,' единственно. Если начальное значение производной выбрано ббльшнм Л (Л (ро) ) Л ), то 1!п! 6(р) оо при р э- ао, и прн численном интегрировании с некоторых пор оказывается 6(р) ) 1; если же Л (ро) ( Л, то Пш 6(р) = — се при р - се, и при интегрирования 6(р) начинает с некоторых пор убывать. Эти признаки и были использованы: при проявлении одного из них интегрирование с выбранным Л'(рэ) прекращалось и одновременно, в зависимости от того, какой признак проявлялся, делалось заключение о том, является ли вы- Р бранное Л'(рэ) ббльшим или меньшим истинного значения Л, (соответствующего условиям (92)).
В результате исходный интервал, в котором должно находиться Л„сужался до заданных 1() размеров, которые и определяют точдр ность вычисления Л,. Интегрирование велось по схеме Рунге — Кутта, гу Х л причем величина шага определенным образом увеличивалась с ростом г. Оказалось, что для указанной задачи линеаризация по ! Ьа дает хорошее приближение к численному решению нели! нейного уравнения (9.4), в то ! время как при линеаризации по Ь свободная поверхность и дебит сильно занижены, а для ь(б малых понижений формула с(л г для дебита оказывается соверлю шенно неверной. Рис. 2б1.
На рис. 261 представлены кривые депрессии при различных уровнях воды и скважине для нелинейного уравнения (9.1) (или, что то же, при линеаризации по Йз) — сплошные линии и при линеаризации по Л вЂ” пунктирная линия. 4)В $10. О некоторых движениях с начальными градиентами. В последнее время поднялся интерес к движениям с начальными градиентами (о иих говорилось в главе 1), причем даны решения ряда задач и в гидравлической постановке. В качестве примера рассмотрим задачу В И. Пеньковского и С. Т, Рыбаковой (1968) о фильтрации с учетом начальных градиентов пласта и слабо проницаемого основания. Пусть, как н в пред!!душем параграфе, движение грунтовых вод происходит в водоносном пласте, подстилаемом слабо проницаемым горизонтальным прослоем, ниже которого находится А 1м нвкотогыв движения с нАчАльными ГРАдивитАми 403 мощный хорошо проницаемый горизонт с постоянным напором.
Начальные градиенты рассматриваемого пласта и слабо проницаемого прослоя обозначим соответственно через Уч и Уь Фильтрация в верхнем пласте пусть происходит в горизонтальном направлении вдоль пласта со скоростью фильтрации и= — /г(у~+ — „), (10.1) а в слабо проницаемом прослое — по вертикали со скоростью ш=и(", — У,). (10.2) Здесь й и и — коэффициенты фильтрации рассматриваемого пласта и слабо проницаемого прослоя соответственно, И вЂ” мощность последнего, УУ вЂ” напор в нижележащем горизонте, отсчитываемый от основания рассматриваемого пласта. В случае одномерного безнапорного движения дифференциальное уравнение (1.12) примет вид (й (ит +Уо))+" (,~ У~)+а=О (10З) Здесь е — скорость равномерной инфильтрации вдоль свободной поверхности.
Остановимся на задаче о расчете горизонтального дренажа. Предположим, что горизонтальные дренажные канавы, прорезающие водоносный пласт до его основания, расположены на расстоянии 21 одна от другой, симметрично относительно оси у. Таким образом, решение уравнения (10.3) ищется при усло- виях Ь йч и — = — УА при х = 0 (Ь ( — х) = Ь (х)). (10.4) ДА дх Второе из этих условий есть результат того, что скорость в точке х = 0 должна быть равной нулю. Предполагается, что переток через слабо проницаемый прослой происходит по всей длине междренного пространства, т, е.
для всех 0 < х ( 1 выполняется неравенство (Н вЂ” й)/д > У, и, кроме того, при 0(х(1 справедливо другое неравенство: — дл/Нх ) Ум т. е. предполагается, что в исследуемой области нет застойных зон. В противном случае область фильтрации нужно разбить на отдельные части и определение ординат свободной поверхности й(х) сведется к решению системы уравнений, каждое из которых справедливо в определенных пределах изменения к. 4О4 гидвхвличвскля теовия тстлновившихся движвнни )гл.
х Введем безразмерные величины а а, . /. т) = —, Ч, =- —, ~ = етх, то — — —, (10.5) Н,' Н,' ' Нп»' где принято Ц =77+ ад — тць н ' адан, (!0.6) Теперь можно переписать задачу (10.3) — (10.4) так: —,', [Ч а+ /')1-(Ч- 1) =О (10.7) т)=т), — = — т; при с=О. лч 1 (10.8) Решение этой задачи найдено численными методами с использованием ЭВМ и приближенными с помощью линеаризации уравнения (10.7). По первому способу линеаризации в уравнении (10.7) множитель Ч при производной дЧЩ заменяется некоторой средней величиной Ч' (можно принять ее равной Чо).
Тогда будем иметь т) — + /ч — — (Ч вЂ” 1) = О. ° л'ч лч т)1т И! Решение этого уравнения при условиях (10.8) имеет вид 1 ! ( 1ъо) ш — /о жт ( чо) ш Ч Ри (10 10) Ш /тт Ш Р2 где ~о Рьт= ~= 1 ) + 2чт ~ЗЧт.) Чт ' (10.!1) При втором способе линеаризации уравнение (10.7) заменяется следующим: с/тчт ЛЧт Ч~ — + 1о — — (Ч~ — 1) = О т/ат т)$ (10.12) где Чт —— (1+ Чч)/2. Его решение при условиях (10.8) имеет вид 3 1 ! ( ЧО/ 2 ЧО 0 тц т ЧО/ 1 ЧОО тд 81 — зт Й тт Здесь /т // й тт ) зьз-— — ~ ф'~' — ! + —. зчт Ъ ~ 2чт / ч Сравнение решений (10.10) и (10.13) с точным решением показывает, что линеаризация по Чз дает несколько лучший результат.
$ м! некотОРые движения с нАЧАльными ГРАдиентАми 405 Как видно из уравнений (10.7), (10.8) и дальнейших, величина У~ начального градиента слабо проницаемой прослойки не входит в них явным образом. Полученные решения годягся н при УА = О. Наличие начального градиента У| улучшает работу дренажа, так как в этом случае уменьшается подпитывание дренируемого пласта через слабо проницаемый водоупор напорными водами нижележащего горизонта. Пренебрежение величиной У, ведет к сильному завышению уровней в дренах при заданных ординате свободной поверхности в середине междренья и расстоянии между дренами, и это завышение тем больше, чем больше величина начального градиента Ум Рассмотрим числовой пример: т!е — — 0,8 и 1А — — 0,22. Если безразмерное расстояние 5~ = 1ы равно 0,7, то уровень в дрене т1, = й|/01 получается равным 0,732, в то время как при У, = 0 этот уровень равен 0,544.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
