П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Будем считать кровлю (г = 0) и подошву (г = Т) пласта непроницаемыми, т. е. — =0 при 2=0 и 2=Т. дзе дг (14.3) На внешнем контуре (г= !4) примем ер = О (если при г = !с ер = ере, то, заменяя ер на ере + ере, получим задачу (14.2) — (!4.3) для ере с ере = 0 при г = й).
Задачу будем решать методом интегральных преобразований. К (!4.2) применим преобразование Ханкеля с конечными пределами (Снеддон !955) ( А)= Г ( ) у ( )ее багие ~ о (14.4) где !ее — положительный корень уравнения Уо(!ее) = О, Хо(х)— функция Бесселя первого рода нулевого порядка (Янке, Эмде $14. Скважина в пласте с конечным радиусом контура питания. Рассмотрим осесимметричный приток к точечному стоку с координатами г = О, г = Ь, расположенному в круговом однородно-анизотропном пласте конечного радиуса !с (рис.
244) в простейшем предположении об анизотропии, когда в горизотальных плоскостях грунт изотропен (Стклянин 1962). В области, содержащей источники или стоки, для потенциала скорости вместо уравнения Лапласа можно написать уравнение Пуассона (Иваненко и Соколов 1951) Лер = Ч"(х, у, г), (14.1) зтз колодцы и скважины, горизонтлльные драны ил, !к и Лещ 1968).
Левая часть уравнения (14.2) даст Т д ф ! дф 1 доф ! /гп!'т Т 1 о~ И! 1 ! — + — — + — — ! г у 1 — '! г)г =1 — —., — —, рф'(г, !с,). ~ дг' г дг нг дг') О~ !с г' ~н' ПсС пС.Г о Так как (14.6) Теперь к (14.6) применим косинус-преобразование г 1* '"' -* ф'соз ~~™ па =ф*(а, !г!). Т о Так как т б(~ — ь) соз —,пг=соз— пн2 ппо Т о то из (14.6) получаем д соо (ппт(т) "сп (поло!нот + пс/!ро) По найденной двойной трансформанте <р"', дважды применяя формулу обращения (Трантер 1956), найдем с-! ~1( с) т' (и ) 4 „„ппс Т (грс /!Р) + г!ос Г~~~ ~' ф *(пз гс!) соз ! 1 и 1 т т"!(и,) ~-~ сов [оп(а — Ц/т]+ сор (пп(г+ ь)/т) ~ Уо(ги /й) + — ~ т3 и и'/и Т + рс,/Кс ~ У! (рс!) 222222 (14.5) о то после преобразования уравнение (14.21 и условия (14.3) примут вид ( ') *= * — — — — ~) ф' = —, б (а — ~), ! н' пас я') * ап — =О при а=О и а=Т.
дф' п2 $ и! ПЛАСТ С КОНЕЧНЫМ РАДИУСОМ КОНТУРА ПИТАНИЯ 373 где /,(х) — фуисция Бесселя первого рода первого порядка. Ряд в квадратных скобках можно просуммировать (Снеддон !955), тогда получим ф(., г; ~)= ск ~~ с" (Рр (Т вЂ” ! с — 1! )/!1)+ Си(И к !Т вЂ” г — 1)/Л! Т (гн./Л) ай ~ф Р~ зь (Р.кт/к! 71(») Введя безразмерные величины р = г/Л, у = г/Т, рс = й/(ИТ), з! = ЦТ, последнее равенство можно переписать так: чк т" сь(Р,(! — Ч)1Рз)сь(и,у/Рс) 7с(РР,) (/) () ф(Р У' Ч)1„,„=ф(У, Р Ч)1„„. Ю. И.
Стклянин нашел также потенциал скорости ф для линии стоков с постоянной интенсивностью д = дс для О (г((1 (д О для 1((г(~Т). В безразмерных параметрах будем иметь Р(р. у) =Т~ф(р, у; Ч)УО (Р=ф). о Интегрирование дает ) ф (р, у) ! = — ~х 1 сзс)! — С)! — зп — ! Чс Г Р~ РР "~ (! Р! т ~с(РР~) Чс т-ю сн (Р~ (! — РУРЬ) зн(ИР/Рз) 7о(РР~) Ь(ич/Р,) 7',(Р,) ' Так как имеет место соотношение Х'...= То (Ри~) !пр, „зтг („) то окончательно можем написать О О х а сь. (и!у/Ро) зь" (Рю (! й)/Ро) Тз (РИ!) ср (Р, У) ! = — 1П Р + — 7 и < В 2ИЬ ПЬ Рз зн (Нт/рс) 71(Р ) причем здесь введен полный расход линии стоков !',! = дс1. Полученное уравнение является приближенным уравнением для потенциала скорости несовершенной бесконечно тонкой скважины.
874 КОЛОДЦЫ И СКВАЖИНЫ. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ДРЕНЫ [ГЛ. !Х М. Маскет (1949) нашел формулу дебита несовершенной скважины в изотропиом пласте конечной мощности, распределяя вдоль оси скважины точечные стоки, интенсивность которых оп подбирал так, чтобы на поверхности скважины радиуса г, потенциал скорости был постоянным: 2ль! Ан (14.7) 4Т ! 4Т вЂ” — — ! — — ( (в) где 1 1 Г(0875В) Г(0,125В) / 1(В) 2 Г(1 — 0875В) Г(1 — 0125В) Хс Т ) и АН вЂ” разность напоров на контуре питания радиуса Й и на скважине.
График функции !'(В) приведен на рис. 245. Для группы несовершенных скважин И. А. Чарный (1948) предложил приближенный метод вычисления дебита. Приняв, что на некотором удалении от несовершенной скважины поток 4 можно считать плоскопараллель- Т(4) ным (это расстояние равно примерно мощности пласта), И. А. Чарный выделяет цилиндрическую поверхность, которую можно считать поверхностью равного потенциала. Тогда к каждой из скважин можно применить формулу Маскета.
Потенциалы на выделенных около каждой сквад д7 44 4Т 44 77 жины цилиндрических поверхно- ,У стях определяются из системы лиРис. 245. нейных уравнений, в которыевойдут дебиты скважин. Б. И. Сегал (1946) рассматривал пространственную решетку несовершенных скважин. Он помещает вдоль оси скважин линию стоков, интенсивность которой подбирает в виде полинома второй степени относительно ординаты точек стока, и, кроме того, на нижнем конце скважины помещает точечный сток. Интенсивность последнего, а также коэффициенты указанного полинома, подбираются путем вычислений. 9 15. О наклонной и горизонтальной скважинах в безграничном пространстве.
Системы горизонтальных скважин находят широкое применение при устройстве водозаборных сооружений. Наклонные скважины встречаются при бурении нефти, так как вместо горизонтальной иногда бывает удобнее прокладывать наклонную скважину под небольшим углом к горизонту. П. Я. Полубаринова-Кочина (1955, 1956) дала приближенное 4 141 НАКЛОННАЯ И ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ СКВАЖИНЫ 375 решение задачи о наклонных скважинах известным методом распределенных источников постоянной интенсивности.
Обозначим через д интенсивность стока, рассчитанную на единицу дуги кривой Ь. На элементе дуги будем иметь расход ус(в. Потенциал скорости, вызываемый действием стоков, распределенных вдоль линии 1'., находящейся в безграничном пространстве, имеет вид гр(х, у, г) — — , (15,1) 4Я ~ «г'1» — г«г 1 (у чР 1 (х г)г Здесь в — длина дуги, отсчитываемая от какой-нибудь точки линии 1., В, т« и Ь вЂ” координаты точек этой линии. Рйх, уио Если принять д постоянным вдоль всей линии г„то обозначив через длину кривой 1., получим для полного г расхода жидкости, притекающей к ь, выражение (15.2) Предположим, что ось скважины представляет отрезок прямой между точками М, (х„уь г,) и М,(хм уь г,) Риа 246.
(рис. 246). Распределим вдоль этого отрезка стоки посгоянной интенсивности (на единицу длины), равной д. Потенциал скорости получающегося при этом движения будет м, «р(х, у„ г) — « , , (15.3) 4и 4 «У(» гг)г + (У Ч)г + ( гг)г где М (х, у, г) — произвольная точка пространства, Л' Д,т(,(.)— точка отрезка М«Мг. Обозначая через в длину дуги, отсчитываемую от точки М« вдоль отрезка М,Мь через 1 — длину отрезка М,М,, а через сов а, сов 5, сов у — направляющие косинусы этого отрезка, можем написать $=х«+всова, «( =у, + всовб, ь=гг+ всову, хг — х~ Уг — У~ гг — х~ сова =, совр= 1, сову = Тогда подкоренное выражение интеграла (15.3) примет вид (х — ~)г+ (у — т«)г -1- (г — ~)г = и-', — 2Г, в+ вг, где г', = (х — х,)'+ (у — у,)'+ (г — г,)', Г«г= (х — х,)сова+(у — у,) сов5+(г — г,) сову, 376 КОЛОДЦЫ И СКВАЖИНЫ, ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ДРЕНЫ (ГЛ.
!Х Величина г1, представляет проекцию отрезка М,М на направление отрезка М!М2 (рис. 246). Теперь для (!5.3) будем иметь ! д ( аг ( г в+'21(( — г12) +Р !р(х, у, «) — — 1 — — 1п '" ) ~("-2. ° +~ !8 (16.4) Здесь р — расстояние от точки М(х, у, «) до отрезка М,М,: р2 г-', — г'„. (16.5) Вводя в рассмотрение расстояние г2 от точки М до М2 и проекцию отрезка ММ2 на направление М!М2, которую обозначим через г2„ получим г,", = (х — х,)'+ (у — у,)2+ (« — «,)2, г„= (х, — х) соз а + (у, — у) соз () + («2 — «) соз у = ! — г„. Выражение (15.4) теперь можно переписать так: Г! — Г12 й 16. Скважина в полупространстве с горизонтальной плоскостью равного потенциала.
Предствим себе, что под горизонтальной поверхностью, покрытой слоем воды глубины Н, за- ложена в грунте наклонная скважина, из « которой откачивается вода (обычно от- качка ведется через вертикальную тру- 172 бу). Пусть скважина представлена ог- / у ~ резком М,Л(2 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
