П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Рассмотрим два случая. 1-й случай: 4 Гн ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ФОРМА НАПОРНОИ ПОВЕРХНОСТИ звй Уравнение (1!.!) показывает, что в этом случае ЬН„(0, т. е. пьезометрическая поверхность выпукла а). Поэтому, если согласно наблюдательным скважинам пьезометрическая поверхность оказывается выпуклой, то Н„( Н', Рис. 242. Рис. 241. и водоносный горизонт должен обогащаться водой. А. Н. Мятиев (1948) называет область, в которой имеет место неравенство (!1,2), областью питания и-го водоносного горизонта. Он Ььаснь пшпания Кпаипь Ььнмйюя ь«ЬЬАКЬ Ллььаивя Рис.
243. отмечает, что обычно эта область приурочена к междурсчному пространству и возвышенности, т. е. связана, как говорят геологи, с «положительными формами рельефа». 2-й случай: (11.3) Н„> Н". ') Как известно, оператор Лапласа йи пропорционален средней кривизне поверхности г = и(х,у), а средняя кривизна положительна для вогнутой и отрицательна для выпуклой поверхности. колодцы и скважины. гогизонтхльньш денны (гл. ~х 366 При этом имеем общее вытекание из л-го пласта (см. три возможных случая на рис. 242), и поверхность пьезометрического напора вогнута.
А. Н. Мятиев называет такую область областью вь1сачивания и-то горизонта. Он отмечает, что обычно такие области приурочены к речным долинам, котловинам и впадинам, т. е. связаны с «отрицательными формами» рельефа местности. На рнс. 243 дана схема А. Н. Мятиева движения подземных вод в междуречном массиве.
А. И. Силин-Бекчурин (195!), приводя схему Мятиева, отмечает, что она относится лишь к верхним горизонтам. Г. НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ $12. Несовершенные скважины в полупростраистве. Несовершенной по степени вскрытия пласта скважиной называется скважина, не доходящая до основания проиицаемого пласта. В пласте бесконечной глубины скважина всегда будет несовершенной. Пусть дана скважина в пласте, занимающем все нижнее полупространство. Разместим вдоль оси скважины стоки.
Для пространственного стока в точке Ь на оси скважины потенциал скорости выражается так: ч Чч = ««-В'» ' где тз = х'+ уз. Горизонтальная плоскость г = О является при этом твердой стенкой. Поэтому продолжим ось скважины вверх и возьмем интеграл от выражения (!2.!) в пределах от — ! до!. Получим ч(ь)аь (12.2) 4н ~ ~/(~ а)2 + т2 Интенсивность стоков д(ь) надо подобрать так, чтобы на поверхности цилиндра радиуса т, иметь постоянное значение потенциала.
Кроме того, на дне цилиндра должно выполняться некоторое заданное условие. В такой постановке задача очень сложна. Обычно принимают интенсивность а постоянной вдоль всей скважины. Тогда интеграл (12.2) легко вычисляется: <р(г, г) = — !и О чт(1 — «Р+ т'+ (1 — «) 4н1 Ч/(1+ а)2+ т2 — (1+ г) (12.3) где 9 = 14 — расход скважины. Поверхности равного потенциала здесь будут эллипсондами вращения с фокусами в точках (О, О, !) и (О, О, — 1). Следова- з и! источник мвждх ГОРизоитхлъными плОскОстями зв7 тельно, поверхность скважины заменяется поверхностью узкого эллипсоида.
Можно подобрать полуоси этого эллипсоида так, чтобы объем эллипсоида был равен объему цилиндрической скважины. Получим 2ля! !и (!,61/г,) (12.4) где 3, — понижение напора на скважине. Положив в формуле (!2.3) г = О, получим распределение потенциала вдоль кровли пласта: ~р(г, 0) == — 1п чу!2+ г'+ ! 2л! Г (!2.6) (12.6) Если принять этот же закон для пространственного случая, то получится приближенное решение в виде эллиптического интеграла, тем более точное, чем меньше радиус скважины г,. Если к выражению (12.6) прибавить целый многочлен относительно ~, то можно подобрать еще более точное решение (Мцзка! !932).
$13. Источник между двумя горизонтальными плоскостями. Прежде чем переходить к несовершенной скважине в слое конечной глубины, приведем несколько формул для источников в пласте, ограниченном горизонтальными плоскостями. Представляют интерес два основных случая; когда источник находится в области, ограниченной двумя параллельными непроницаемыми Потенциалы линейных источников, которые мы помещаем внутрь скважин, можно складывать. Можно, в частности, таким образом вычислить распределение напора от нескольких скважин. Если перейти к безнапорному движению, считая, что плоскость г = 0 была поверхностью грунтовых вод до устройства скважины, то можно принять, что после устройства скважины свободная поверхность определяется уравнением г= — ~р(г, 0)/й, т.
е. считать, что депрессионная поверхность совпадает с поверхностью пьезометрического напора напорного движения. Заметим, что при построении потенциала скорости с помощью стоков, распределенных вдоль оси скважины, для получения более точного решения можно было бы задаться иным распределением интенсивности. Очевидно, что д(~) должно увеличиваться при приближении к концам отрезка ( — 1,!). В соответствующей плоской задаче распределение д(~) имеет вид заз кОВОдцы и сквАжины.
ГОРизонтАльные дРенъ| (Гл. 1х плоскостями, и когда одна нз граничных плоскостей непроницаема, а другая есть плоскость равного потенциала. Пусть сток помещен в точке М, которая имеет координаты (О, О, (,). Для первой задачи мы можем поместить стоки в точках, симметричных с данной точкой относительно обеих ограничивающих плоскостей, г = О и г = с, затем продолжить процесс отражения, перейдя к плоскостям г = лс, г = — лс.
Взяв у всех источников одинаковую интенсивность н написав ряд для потенциала скорости 1Р =— д + + 4" 1 ~";. (* — с' Сст(* ~1)' [с +с .~.* — с' l'"~ с ~-* ~.с )~ видим, что ряд является расходящимся. М. Маскет (1949) дает выражения, пригодные для малых значений Г, и другие, удобные для больших значений Г. Здесь мы приведем выражения в виде определенных интегралов двух функций: 1) функции У(г,г,~), обращающейся в нуль на двух плоскостях г = ~с и имеющей в точке г = Ь особенность типа источника, так что и— 1 с(~~* — с есть регулярная гармоническая функция вблизи точки (О, О, ь); 2) функции У(г, г, ~), для которой нормальная производная равна нулю на стенках, т.
е. д)!!дг = О при г = ~с. В точке г = ~ характер особенности тот же, что и у функции У. Имеем (Ва1егпап 1932) У=~ а(г, ь)ХС(!Г)д(, )!=~ У(г, 1)(5(!Г)с(1, о о где Ус(х) — цилиндрическая функция нулевого порядка, 2 5)1(!(с — 5)) 5)1(! (с + й)) 5)1 (2!С) 2 5)1 (! (с — й)) 5Ь (! (с + 5)) 5)! (2!С) 2 с)1 (! (с — г)) с)1 (! (с + ~)) 5Ь (2!с) 2 сь (1(с — ~)) сь (((с + 59 5)1(2(с) а(г, (,)= у (г, ~) = (ь<г<с), ( — с ((г(~ь), (г <г< с), ( — с(г(~). О 131 истОчник между ГОРизОнтАльными плОскОстями зев Можно представить (/ и У также в другом виде, выделив в ннх слагаемое 11/~ (~() с(/ = з/Го + (г Г)5 Другими словами, положим а(», ь)= ' * "+ "(, ь), у(г ь)= " "+т)(г, В где функции Ь (г, ь) е ы со (((е — о)) — сь (((е+ С]) оь (2(с) е Ме сь (( (е — Ь)) + са (1 (г + Ь)) ) (гг с) еь (2( ) остаются непрерывными.
Теперь имеем (/= — + ) 6(г, Д/,(Г/)Г(/, У= — + ~ т)(г, ~)/,(Г/)д/, 1 Г 1 о о Тогда потенциалы 03 (/1= ~ )Т(г ь)/о(Г /) о(/ о У =~ 5)(», ~)/ (/)д/ о — [т) (гю Г) /о (Г/) — 1, 2( ) ~ Ж. о Если имеем источник между двумя плоскостями, из которых одна — плоскость тока, другая — плоскость равного потенциала, то для этой задачи можно построить решение в виде ряда, который, являясь знакопеременным с убывающими членами, будет сходиться. Этот ряд имеет вид (г = Π— непроницаемая остаются непрерывными при г = Ь, так же как производные д(/,/дг, дУ~/дг. Можно проверить, что все поставленные для (/ и У условия удовлетворяются, и, следовательно, (/ и У являются искомыми функциями Грина, дающими источник между твердыми стенками илн плоскостями равного напора (Ва(етап !932). Однако интеграл для У1 является расходящимся.
Можно исправить его, вычтя «бесконечную постоянную» — другой расходящийся интеграл. Тогда получим зто КОЛОДЦЫ И СКВАЖИНЫ. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ДРЕНЫ (ГЛ. 1Х плоскость, г = с — эквипотенциальная поверхность) ( — цГ лГ 1 1 ( З/г'+ (г+ 2лс — Ь)' з/го + (с+ 2лс+ Ь)~ 1 Для г(с можно пользоваться этим рядом, приняв в расчет несколько первых его членов. Для больших г можно взять разложение в тригонометрический ряд по 5(п(лглг/2с) (гл=2л+ 1): лг .
Злг . Еле а151п 2с + аоз'и 2с + а551п 2 + Коэффициенты этого ряда вычисляются так: 2с 1 1 . тле тл „Г ! а„= — ~ 5!п — р ( — 1) ~ с з 2с ~ )„З/го 1- (г -1- 2лс — ~)о ! 11 (г. З/г'+ (г+ 2лс+ ~)' ) Если положить г+ 2лс — ~ = т и соответственно г+ 2лс + Ь = т, то, изменяя в каждом слагаемом пределы интегрирования, найдем 1 ! Г . тл(т+ь) . тл(т — ь) 1 лт 2 .
тль ! тлт ст =-5(п — ~ соз— с 2с ) 2с )/го + то Но имеет место равенство 0 К,(г)=~ о где Ко(г) — цилиндрическая функция мнимого аргумента нулевого порядка второго рода. Поэтому окончательно можно написать 4 Х ~ . (2л+1)пг . (2л+1) л~ Г (2л+1)лг ) )Г= ~ 5!П С А.л 2с 5(п 2с ~ 2с /(о 1, л о Отметим, что для больших г имеет место асимптотическое представление Ко(г) ж ~/~ е-'. 4 еп пласт с конечным рхдирсом контргл питлния 371 где Л вЂ” оператор Лапласа, ер — потенциал скорости, Ч' — плотность источе ис. 244.
ников как функция координат. В случае одного точечного стока интенсивности е) можно (14.1) перь писать в виде д е + д, + — е дхе =е7 2 б(2 — О (и = и/Яг), (14.2) денар ! д~р ! дерр д!г! где г — радиальная координата, г — направленная вниз вертикальная координата, й — горизонтальная и й, — вертикальная составляющие коэффициента фильтрации, б(х) — дельта-функ- Ю (е()=е е *~06(е= е *=О, 1е(ее*=1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
