П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 49
Текст из файла (страница 49)
е. на ней гр] = сопз(, грг = сопз1. Если рассмотрим плоскость комплексного потенциала ь]1 = = ]р]+ 1]р] для первой области, то на ней получим прямоугольник А'0'СВ (рис. 220, б). Следовательно, 1р конечно во всей этой области. Перейдем ко второй области. Если бы в ней было возможно Данжеиис, тО На ПЛОСкоСти ЕЕ комплексного потЕнциала е]г = = 1гг + ]грг мы получили бы полосу А'0'0"А" (рис. 220, в), ~ткУда следУет, что ггг = -~-ао, когда х = ~-со. Но тогда из зза НЕОДНОРОДНЫЕ Н АННЗОТРОПНЫЕ ГРУНТЫ [ГЛ. Ч!П уравнения (10.2) следовало бы, что и «р~ = -Рсо при к = Роо, что невозможно. Следовательно, в случае установившегося движения жидкость в нижней области должна оставаться в покое.
Таким образом, задача сводится к определению движения в одной области, причем для линии раздела получаются условия, совершенно аналогичные тем, какие имеют место на линии свободной поверхности. А именно, полагая в уравнении (10.2) величину рз постоянной, его можно представить в виДе <р, — су = сопз( = С, с = ( Р' — 1) Ьн (! 0.3) ~ Р~ Величина коэффициента фильтрации второй среды не вошла в условие задачи. Очевидно, что на годографе скорости уравнению (10.3) соответствует окружность (см. $4 главы П) и'+ о' — со=О. (!0.4) Пусть имеем гидротехническое сооружение произвольной формы. На границах водоемов АВ и СР (рис.
220) потенциал скорости имеет постоянные значения. Положим ~р1 = — Ь~Н/2 на АВ и ач — — Ь~/Н/2 на СР. Обозначим глубины потока движущейся жидкости для х = — оо и х = +со соответственно через Ь' и Ь". Из уравнения (10.3), заменяя постоянную, будем иметь: при Х = -Р.со СООтВЕтСтВЕННΠ— Ь = — — +С А,Н 2с Отсюда С = — (Ь'+ Ь")/2. Для установившегося движения в конечной области должно было бы выполняться условие равенства первоначальной и окончательной плошадей соленых вод. В рассматриваемом случае эти плошади бесконечны, поэтому заменим указанное условие следующим: будем считать полусумму глубин Ь' и Ь" равной глубине верхнего слоя в состоянии равновесия а'+ а" н Тогда С= — Ь, и (10.6) А,Н Н Ь =Ь,— — =Ь,— 2с 1 2(р2/р~ — 1) Разность глубин равна Ь' — Ь" = Рс/Р1 — ! ОБТЕКАНИЕ ТОЧЕЧНОГО ШПУНТА ззз $ и! Таким образом, глубина вытеснения будет тем большв, чем меньше разность плотностей р~ и рв Если окажется, что и 2(р,1р, — О то правый конец линии раздела будет упираться в границу у 11 А /Г' 4 аг Я Щ~~аДЯ1 ~~, ~~,' Рис.
221. нижнего водоема. Если глубина йи нижнего слоя удовлетворяет неравенству Н Ь' ( 2 1В/в — ц ' то линия раздела упирается в линию водоупора. Таким образом, возможны четыре вида линии раздела, изображенные на рис. 221. 5 1!. Обтекание точечного шпунта при наличии неподвижного подстилающего слоя тяжелой жидкости. Рассмотрим случай ! рис. 221. Принимая ~р = — йН!2 вдоль АВ, у йН/2 вдоль ВС, $ = 0 вдоль А'ВС', получим АН а = — агсз!и ~.
(!1.1) Иа плоскости годографа скорости у имеем полуплоскость Разрезом по окружности (10А). Инверсия в окружности неоднородные и хнизотропные грчнты (гл чш 334 единичного радиуса с центром в начале координат даст область функции с(г/с/ы: — =С! (~ "', +/)=С, +/). (11.2) (! 222)! (1 222) 22 При ]$] < 1 имеем 1ги с(г/2(е2 = 1/с, при ]5]) ! Ке 2(г/с(а= О, при ~= со 2(г/2(е2 =О.
Это дает (1 1.3) Найдем из (11.2) и (11.1) величину с(гЩ и проинтегрируем ее по с".. Учитывая, что обход точек 2, = ~1 дает приращения для г, соответственно равные — /гл! и И, для которых имеют место равенства (10.6), найдем а 2сл п( — Ц+ 2сл ' п( +ь)+ + — агсз!и Ь + — ! п 2 — (лн (11.4) ЫН . И~Н СЛ СЛ Уравнение линии раздела получим при — 1 ( ь ( 1: х = )п (2 т/! — Ь2 ) + — '!п —, и (р2/р! 1) л 1 — ь' (11.5) у = агсз(и ~ — йн Л (р2/р2 — 1) Если между й1 и Н имеет место зависимость ~,Н и /2 = — = 2с 2 (р2/р, — 1) ' то уравнение линии раздела принимает вид х = — '!п (2(1+ Ь)], у=- — агсз(пЬ вЂ” йн (11.6) 2а, 2/2, А.
Т. Павлов (!942) и В. А. Брагинская (1942) рассмотрели случаи заглубленного шпунта и плоского флютбета; дано решение тех же задач и для анизотропного грунта. й 12. О линзе пресной воды над соленой водой. По-видимому, первое (гидравлическое) решение задачи о движении пресных вод над солеными принадлежит Ф. Форхгеймеру (!935), который ссылается на наблюдения Герцберга (НегзЬегд 1901), касающиеся равновесия пресных и соленых вод. Японские ученые (см. К!!адача 1940) дали некоторые обобщения решений Форхгеймера и провели ряд сравнений теории с экспериментами и наблюдениями в натуре (на полуострове в Японии). Э. Чайлдс линза пансион воды над соленои водои 333 э г2) провел ряд опытов по применению метода электрогидроди на мических аналогий к таким задачам .
В Советском Союзе р азработкой вопросов дв иженн я двух жидкостей различной плотности, и притом в неоднородных грунтах, занимался Н, К. Ги р ински й ( 1 955) . Ф . Форхгеймер рассматривал гидра вл ически задачу о линзе пресной воды, которая может образоваться в теле острова, получающего питание пресными дождевыми водами. Эти последние продавливают первоначально горизонтальную поверхность соленой морской воды и обра- г~яееяея зуют выпуклую свободную по- ееее верхность (рис. 222). Для отношения отрезков Ог и Нг имеем /ф егеяе условие равновесия г ееяеяяя йй Нг р,-р, ' Рис. 222. где рг — плотность пресной, рг — плотность соленой воды.
Свободная поверхность по Форхгеймеру — эллипс с отношением полуосей Н, / и (рг — рг) Д ~/ Ьр, где 2Š— ширина линзы, й — коэффицент фильтрации, е — постоянная интенсивность инфильтрации на единицу длины потока. Ниже рассматривается задача о плоском движении пресной воды в линзе при условии оттока этой воды в горизонтальные дренажные щели. Рассматриваемая схема представлена на рис. 223. Как мы видели выше (3 1О), нижняя, более плотная жидкость должна оставаться неподвижной. Тогда годограф скорости для правой половины области, занятой пресной водой, будет иметь вид рис. 224.
На нем полуокружность ВА, соответствующая свободной поверхности, проходит через точки о = — Й и о = — е, полуокружность ЕгЕ проходит через начало координат и имеет диаметр с (см. формулу (10.4) ). Будем рассматривать указанные полуокружности как линии равного потенциала течения, вызванного источником и стоком одинаковой интенсивности Я, помещенными соответственно в некоторых точках ш = а( и цг = — йй Можно установить соответствие между пг = г(аг/дз и вспомогательной комплексной переменной т (рис. 224), рассматривая последнюю как комплексный потенциал течения на плоскости пг и принимая Я = тп т= 1 1и а(м+Ьг) ш= 2аЬг ск т (!2.3) 2 Ь (аг — а() ' (а + Ь) и)г т — (а — Ь) с)г т ' ззе НЕОДНОРОДНЫЕ Н АНИЗОТРОПНЪ|Е ГРУНТЫ |гл, ун| Используя очевидное соотношение (12.4) можно написать — = 2аЫ А (т) с)| г, — „= А (т) [(а+ Ь) з)| т — (а — Ь)с)|т]. (12.5) Исследование поведения с(са/с(т и |/г/с(т в особых точках показы- вает, что А (т) — постоянная.
Рис. 224. Рис. 223. Интегрирование (12.5) с учетом геометрических размеров области движения (рис. 223) дает г=/,, ~~, (с)|т — та)| с) =Ц(с)|т — те)| с), / (А — е)(е + с) (сс са =11.~ А /, + з)| т = |Н,с з)| т, /(Й вЂ” ' е) ес а+с (1 2.6) где Ч (Й + с)(е + с) а + Ь ' Р, а — Ь Йт,= — =т а+Ь (12.8) Условие, что скорость в точке С, для которой т = ть обращается в бесконечность, дает $!2! ЛИНЗА ПРЕСНОЙ ВОДЪ| НАД СОЛЕНОЙ ВОДОЙ ЗЗ7 откуда можно найти длину Е отрезка ОС или, наоборот, выразить через Е остальные отрезки: Ь ((с + с! / (е + с) е АА/ ((2 — е)((2 + с + е! ' ' 'АА/ (» — е)(е + с + е! ' /(Ь+ с) (е+ с) Е / Ае ) (12 9) / =/ Н =Е2 Нс.
2 2 2 2 2 Полный расход С/ и расходы Я~ и 92 соответственно через отрезки СВ и СР определяются по формулам (с'=Е/Н (е1=ЕЕ, — Л+С-1- /, (се А+С+ Е /- Вводя обозначение т = т' + и" и отделяя в (12.6) действительную и мнимую части, получим ср = — сН2 с)2 т' з(п т", 2Р = с Н, зй т' соз т", (12.11) х = /.2(СЬ т' — т з!2 т') соз т", у = Е2 (з(2 т' — те)зт') з!пт". (12.12) Чтобы построить линии тока, положим 3!!т сОзт =С (12. 13) и будем давать С равноотстоящие постоянные значения О < < С < з)2р, причем О< т' < р, О< т" < и/2.
Исключая при помощи (12.13) одну из переменных, например т", из уравнений (!2.12), получим уравнения линий тока в параметрической форме х = ', (с)(т' — тает'), у= ', (з)2т' — тс)2т'). зь т зь т (12.14) Для построения эквипотенциалей полагаем с(зт'з!и с"=0 (12.15) и даем 0 ряд значений, О = Р < СЬ (2. Уравнения эквипотенциалей можно представить в виде 12/З х= ' е, (СЬт' — тэйт'), у= —,(ЗЬт' — тс)2т'). сн т' се т' (12.16) При этом р можно определить из одного из уравнений а!2 р =,А/ —, с)2(А = ~/ — .
(12.17) / (А + с) е / (е + с) е '~/ ((2 — е) с ' '~(/ (е — е) с НЕОДНОРОДНЫЕ И АННЗОТРОПНЫЕ ГРУНТЫ [гл. Рш Свободная поверхность представляет половину эллипса с полуосями Ьь Нь линия раздела между пресной и соленой водой — полуэллипс с полуосями /.м Нв При с = оо получается задача В. А. Васильева (1955) о форме бугра грунтовых вод между двумя дренами на водоупоре при наличии инфильтрации. При е = 0 задача теряет смысл, однако отношение Ну/Н, имеет предел, соответствующий равновесному соотношению Н,/Н, = = р/(р.— Р1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
