П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 47
Текст из файла (страница 47)
з!з. концах рассматриваемого слоя, !'. — длина пути фильтрации. Для суммарного расхода через всю толщину грунта получаем выражение (5.2) Разделив расход на плошадь поперечного сечения потока, получим среднюю скорость фильтрации и. Принимая толщину слоя в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа, за единицу, получим, что площадь !1 численно равна общей глубине потока: Поэтому для средней скорости потока получим Х !л! ! тт2 и= т (5.3) или й= ~ А,.а! и,— и„ и=й (5.4) Можно назвать й эквивалентным коэффициентом фильтрации, это среднее значение, взвешенное по толщинам слоев, коэффициентов фильтрации отдельных слоев.
Движение происходит так, как если бы мы имели однородный грунт с коэффициентом фильтрации, равным среднему коэффициенту фильтрации всех слоев. 2. Фильтрация поперек напластования. Допустим, что движение происходит в таком же грунте, как и в % г! пРОстейшие движения в слОистых ГРунтхх З1й а| — а~, ) ос= — й; (5.5) Все эти скорости равны между собой, так как жидкость счи- тается несжимаемой, а движение одномерным (уравнение нераз- рывности дает при этом постоянное зна- чение скорости). Приравнивая между собой выражения (5.5), получим и — ! уравнений для и — 1 и ® неизвестных Ьь Ьг, ..., Ьл ~ (первое из уравнений — тождество, введенное для й ® удобства вычислений): Ь а,(п, — Н,) =а,(й, — Н,), ® и, аг(й~ Н~) = а1 (лг "~) аг(й, — Н~) = а~ (Ьз — йг), Рва 214.
а„((И вЂ” Н,) = а, (Н, — ил,), где а, = 1ьйь Складывая левые и правые части этих уравнений, получим (а, + а, + ... +а„)(lг1 — Н,) =а,(Нг — Н~), откуда будем иметь для пь а следовательно, и для всех о,: о —— А — И, И,— И (5.6) а, а, + а, + ... + ал ' Обозначая через е общее выражение скорости, получим и — и, о= — '+ — '+ "+ —" г, г, '" ел (5.7) Можно сделать приведение этой скорости к какому-нибудь слоге грунта, например верхнему, написав ее так: ю и,— '', 7.=1, + — '(г+ ... + —,' 1л. (5.8) лг лл предыдущем случае, но скорость движения направлена поперек напластования — по вертикали (рис. 214); над верхним слоем имеется напор воды Нь а под нижним слоем — напор Н,, Вдоль линий раздела грунтов значения напоров неизвестны; обозначим нх соответственно через йь йг, ..., д„ ь так что в основании 1-го слоя напор составляет Й;.
Применяя к каждому из слоев формулу Дарси, обозначим через о, скорость в ~'-м слое: А — И о, = — /г, и лл Иг лл-~ ол л 1л зйо .НПОДНОРОДНЫВ Й АЙИЗОТРОПЙЫЕ Г22УПТЬ! !Гл. ч!2! Величину 7. можно назвать эквивалентной нлн приведенной длиной. Но можно иначе интерпретировать формулу (5.7), полагая !2 !л Д. + + ' + ! '21 ~2 ~л (5.9) тогда — '+ — '+" + —" '22 ~л Здесь й — эквивалентный коэффициент фильтрации, дающий ту же скорость, что и неоднородный грунт, при толщине однород- ного слоя, равной общей толщине неоднородного грунта. л (а(х2 У) л )+ ~ [ (х2 У) ~ ~=0. (6.1) Авторы применяют метод Бергмана (1964) к решению задач о притоке жидкости к скважинам. Предполагая, что й(х, у) нигде не обращается в нуль, поло- жим, как это делали многие авторы, (7 (х, у) = чl й и (х, у).
Тогда для У(х, у) будем иметь уравнение Ли+а(х, д) и-0, причем у(х, д) определяется из соотношения А л7Ъ + п(х, у) таей = 0. (6.4) (6.2) (6.3) далее вводятся функции комплексного переменного йг„(г) и функции Ал(г, г), где г = х+ 2у и й = х — 2у.
Функция (7(х, у) ищется в виде (7 (х, у) = Ке ~„А„(г, г) К„(г), (6.5) л 0 6 6. Напорная фильтрация в неоднородным пластах. Фильтрации несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде посвящено много работ. Результаты ряда исследований изложены в книге Г. В.!'олубева и Г. Г. Тумашева (1972). Ограничимся рассмотрением одного довольно общего метода решения задач напорной фильтрации в неоднородном плоском пласте.
Считая коэффициент фильтрации й(х, у) непрерывной и дифференцнруемой функцией координат, для напора й(х, у) будем иметь уравнение з Щ НАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ В НЕОДНОРОДНЪ|Х ПЛАСТАХ ЗЗ1 где А„(г, г) — искомые перменные коэффициенты, а Ур„(г) удовлетворяют соотношениям г дг (6.6) Подстановка (6.6) в (6.3) дает — = 0 —" = — — 0 (г, г) А —, (6.7) дло длл дУАл-) дл ' дх да де л-| где 0(г г) 4 д( о о| ) (6.8) (6.9) л У(*,у)=н [н,(4ч-1Ж(аУ,У)н,(У)УУ1, (аАа) лу где (ч'(г, г, 1) = ) Ал(г, г) (6.1 1) л Интегральный оператор в уравнении (6.10) переводит произвольную аналитическую функцию 1(Ур(г) в решение уравнения (6.3), так что фильтрационному потоку в однородной среде с напором и = Ке урр(г) ставится в соответствие некоторое филь.
трациоииое течение в неоднородной среде с проницаемостью Й(х, у). Для применимости интегрального оператора (6.10) к краевым задачам необходимо, чтобы ядро оператора У(г,г,1) в области фильтрации было равномерно и абсолютно сходящимся. Рассмотрим несколько примеров. 1.
Для линейного распределения проницаемости пласта задача решалась (Г. В. Голубев 1966) по методу И. Н. Векуа (1948). Пусть й(х, у) = /го(1 + ах). Тогда 0(г, г) =, (у. =Сопя(), [1+ — (г+ а)] Ал(гу г)=п|рл(2) ~ +ТГ(г+ г] (||=1у 2,...). 11 П. Я. Паауоарнууоаа.кочина Из (6.6) получаем представление !р'„(г) через !Рр(г), которая остается пока произвольной: (' ц~(~1(~ — )л-'Ш !" л (г) ) ( 1)| лу Теперь ряд (6.5) можно представить в виде 322 нводноводные и хнизотгопныя ггхнты 1ГЛ. ЧП! Здесь р„е, = р„(и + а,) (и + аз) (и + 1), )4о = 1, 1 / 1 4Л 1 / 1 4Л а2 + '1/ 2 1/4 а" ' 2+ 1/4 а~ и! и„а" (г — !)" (6.12) ч Выбирая Л= а'/16, получим а! — — аз= '/,. Тогда где г" (а, Ь, с, х) — гипергеометрическая функция. Ряд (6.12) сходится абсолютно и равномерно при ~:(~"') ~ < ' и в качестве области сходимости для ядра У(г,г,1) можно взять круг с радиусом 14 = (2/а) ш)п(! + ах).
Это решение можно рассматривать как мажоранту в круговой области для решений, соответствующих некоторому классу проницаемостей. 2. Если принять д(х, у) = Лз = сопз1, то получается 1)~ Л2л -ч (2ы 1) н У(г, г, 1) принимает вид 2и-л ! а-! ) = Х ( 1) 2"и~ (а — !Р а! /е/Л '1/г(г Г)) л ! Для случая, когда функция й(х,у) удовлетворяет одному из уравнений Л Л/й~Л'Л/й=О, различными авторами решен ряд краевых задач, так же как для осесимметричной задачи с й(х, у) = )(г), г = Л/х'+ уз (Г. В. Голубев 1966; Голубев и Тумашев 1972). 3. Пусть имеем при г = 0 точечную скважину с дебитом Я в горизонтальном пласте мощности Т, причем контуром питания является окружность радиуса ры й = Н, пРи Р = Л/х'+ У' = Рм и ггнт — '" ~ ) — ч т-эч ~, нводнОРОдныа и АнизотРОпныв ГРунты 1ГЛ чш В случае однородно-анизотропного грунта можно выбрать за оси координат $, т1 (рис.
215) главные оси анизотропии грунта — они взаимно перпендикулярны, вдоль ннх коэффициенты фильтрации Ьа и Ьа имеют постоянные значения (максимальное и минимальное). Составляющие скорости вдоль главных направлений будут и = — Ь, —, и = — Ьз —. (7.2) дЬ дЬ да ' з дп ' и Уравнение неразрывности Ю ди до Рис. 215. —,„, + —,=0 приводит к уравнению для Ь: даЬ д'Ь Ь вЂ” +Ь вЂ”,, =О. ! д.а 2 д а ч" (7.3) Если в это уравнение ввести новые координаты х-$у — „, ° у=Ч ~~ —,, ~во Ьа (7.4) где Ьо — произвольная постоянная, имеющая размерность ско- рости, то получим уравнение Лапласа даЬ даЬ вЂ” + — =О дх', ду', При этом для Ь будут иметь место такие равенства: Ь = Р +5япа+цсоза= РЯ вЂ” +,тт — х,япа+ тг — у,сова.
(75) Р I Ь~ ° Г Ьа Ро 7Ьо ' ЧЬа причем Х и а выбираются так, чтобы в переменных (Х, У) ура- внение (7.3) стало уравнением Лапласа: д'Ь даЬ вЂ” + — =О. дИа дУа Условия постоянства давления на некоторых границах (на свободной поверхности, вдоль промежутка высачивания) в координатах (хи у,) приводят к несколько более сложным выражениям, чем соответствующие выражения для изотропного грунта (см., например, Полубаринова-Кочина 1940, 2). Г.
К. Михайлов (!954) предлагает более простой путь, вводя другое преобразование координат, а именно, Х=Ьх+ 1ау, У= у, (7.6) УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ПРИМЕРЫ Так как координаты (х, у) связаны с координатами Я, т)) формулами х=есоза — в)з!па, у=$з!па+в!сова, (7.7) для Х и !в получаются такие выражения: й~ вж' а+ Йв сов' а 1 2 (йв — а~) з!и а сов а з/~ а (7.8) Предлагается далее рассматривать фиктивное течение в плоскости (Х, У), приняв ось Х за горизонтальную, а ось У за вертикальную прямые и вводя коэффициент фильтрациий ~/Й,й~. Так как теперь для напора !в имеем й(Х, У) = — "+У, (7.9) Р =Ь вЂ” У =Ь вЂ” у=сапа!.
РЕ (7.10) Вводя составляющие фиктивной скорости и= — й —, да да дХ ' дг ' (7,11) можно из (7.10) получить уравнения для годографа скорости в плоскости ((7, У), в частности, уравнение окружности для свободной поверхности и прямой для промежутка высачивания, Поэтому для решения ряда задач о фильтрации в однородно-анизо- л У" тропных грунтах достаточно решить соответствующую задачу для изотропного грунта в коора динатах (Х, У) и затем перейти к 4 С д переменным (х, у) по формулам (7.6) и (7.8). В качестве примера найдено Рис.
216. уравнение свободной поверхности для притока по горизонтальному водоупору из бесконечности (рнс. 216) для однородно-анизотропного грунта. Для изотропного грунта мы имели «дрену на водоупоре» (см. $ !1 главы П), уравнение свободной поверхности которой в координатах (Х, У) можно записать в виде У -Р,Д,— 2Х), а - а =2! (7.12) то условие постоянства давления в координатах (Х, У) имеет тот же вид, что и в координатах (х, у): 326 НЕОДНОРОДНЫЕ И АНИЗОТРОПНЫЕ ГРУНТЫ )гл. Енв где г) — удельный (т. е. на единицу ширины потока) фильтрационный расход дренажа, ! — длина участка высачивания в дренаж. Подставляя в (7,12) Х и У из уравнений (7.5) и (7.8), найдем искомое уравнение свободной поверхности =цв — 2я Ь~в1п'а+Еввсов'а Г (К вЂ” Ав)цпасова 1.
(7.13) "~И,~, й, в)п' а + Йв соз' а Полагая у = О и х = 1, найдем для участка дренажа 2 Ь, з1пв а+ Ав соз' а ' (7.14) й 8. Задача об обтекании шпунта. В напорных движениях обычно в качестве границ области рассматривают отрезки пря- мых линий. Если в случае однородной анизотропни пользоваться преобразованиями координат (7.7) н (7.4), то зависимость ме- жду первоначальными координатами (х, у) и координатами (хн у1), приводящими к уравнению Лапласа, будет х = х~ 1/Гв с оз а — у, 1/Гв з!п а, у = хв 1/Гв ейп а + у~ ~/Гвсоз а.
(8. 1) По способу, предложенному Г. К. Михайловым (!954), ура- внение Лапласа получается в независимых переменнвях (Х, У), связь которых с (х, у) согласно (7.6) можно переписать так: х= — Х вЂ” — У, у=У, н х где ), и р определяются по формулам (7.8). Видим, что в обоих способах прямые линии плоскости (х, у) переходят в прямые линии вспомогательных плоскостей, однако преимущество формул (8.2) состоит в том, что согласно нм го- ризонтальные прямые у = сопя! переходят в горизонтальные же прямые У = сопя!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
