П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Так, в $11 главы 1Ч было показано, что в постановке Н. М. Герсеванова задача о прямоугольной перемычке получила физически невозможное решение: исключение промежутка высачивания привело к появлению разреза РЕ (рис. 113), н линия свободной поверхности вышла за естественные пределы. Если задача о плотинах с наклонными откосами решается с помощью построения годографа скорости, то появляются разрезы на его плоскости, возможно появление многолистных областей (см., например, главу и'1), возникает вопрос о единственности определения параметров. Вопросами единственности и существования решений для фильтрации в земляных плотинах занимается группа итальянских ученых.
Ими исследованы некоторые случаи перемычек (Байокки и Мадженес 1974). Для прямоугольной перемычки (рис. 179) предлагается метод, основная идея которого состоит в том, что делается замена неизвестных функций Ч~(х, у) н а!а(х, у), позволяющая свести исходную «линейную» задачу в неизвестной области (а к «нелинейной» краевой задаче в прямоугольнике 0 с основанием 1О и. я.
Поагбарнноаа кочина 290 теоРия линейных диФФеРенциАльных уРАВнениЙ 1гл, ч1) (О, 1) и высотой Н1. Функции ~р и ф продолжаются во всю об- ласть 0; ° 1 1Р(х, У) в О, ~ ф (х, р) в К 1р,(х, у) = ф„(х, р) = — йу в 0 — К ' (.О в0 — ь1; через Й и 6 обозначены соответствующие области с включением их границ.
Задача сводится к вариационным неравенствам или к минимизации некоторого функционала, а для такой задачи единственность решения в определенном классе функций доказана. Несколько сложнее доказательство теоремы существования. В упомянутой выше статье, со ссылкой на другие работы К. Байокки, утверждается, что в уравнении свободной поверхности д = )1(х) функция у(х) аналитична при О ( х (1 и что Х(1) ) Ня (рис. 179), что свидетельствует о наличии промежутка высачивания. Там же трактуются также случаи прямоугольной перемычки, у которой верховой откос в верхней части содержит вертикальную твердую стенку или заменен наклонным.
Для них решение также существует и единственно. К, Байоккн (Ва1оссЫ 1974 и др.) рассмотрел и случай плотин криволинейного очертания, однако вопрос о промежутке высачивания здесь не вполне ясен, Г. Стампаккья (1974) доказал существование и единственность решения н построил вычислительный алгоритм для специальной пространственной схемы, допускающей применение метода Байокки: плотина ограничена двумя цилиндрическими поверхностями так, что в каждом поперечном сечении вертикальной плоскостью, параллельной общему направлению потока воды в реке, получается картина, отвечающая прямоугольной перемычке.
Указана возможность обобщения рассмотренных задач на случай, когда гр(х, у) удовлетворяет уравнению 1((ч й пга11 1Р = О, если коэффициент фильтрации й(х, у) не зависит от одной из переменных и кусочно-постоянен относительно другой (слоистые плотины). Согласно утверждению авторов, предлагаемый ими метод позволил провести расчеты для широкого класса фильтрационных задач. Глава УШ ФИЛЬТРАЦИЯ В НЕОДНОРОДНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ ГРУНТАХ. ФИЛЬТРАЦИЯ ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ А.
НЕОДНОРОДНЫЕ ГРУНТЫ 9 1. Флютбет на двуслойном основании со слоями одинаковой толщины. Рассмотрим следующую задачу. В полосе глубины Т с коэффициентом фильтрации х~ имеется плоский флютбет (основание гидротехнического сооружения, имеющее вид горизонтального отрезка) шириной 2!.
Нижний слой, также глубины Т, имеет коэффициент фильт- Р рации яа и лежит на непро. ницаемом основании (рис. !96). Требуется определить /4 У все элементы движения (Полубаринова-Кочина, !939, 4, хг !942, 1). Величины, относящиеся л к первой области, снабдим Г ® индексом 1, а ко второй об- л лг ласти — индексом 2. Будем рассматривать только пра. Рис. 196, вую половину чертежа. Выпишем условия, которые должны выполняться на контуре областей А~ВСВА и ЛВЕАь Границы водоемов представляют эквипотенциальные линии. Следовательно, на них можно принять условия: вдоль границы левого водоема (1.1) на ОА, Н 9Ч =Х (1.2) где О= О~ — Н, — действующий напор.
!О" НЕОДНОРОДНЫЕ И АНИЗОТРОПНЫЕ ГРУНТЫ !гл. Ргн Линия ВЕ также должна быть эквипотенпиалью, так что на ией ~рз = сопз1. Положим на ВЕ Фг = О. (1.4) Далее, СВ и ЕА, являются линиями тока. Положим на ЕА, ~рз=О, (1.5) на С0 ф1 =Я.
(1.6) На границе АВ двух сред должны выполняться условия (см. $3 главы 11) Ф! $2 чч %2 (1. 7) н1 н, ' Отобразим область А,ОСВЕА, плоскости г = х+ (у на надрезанную плоскость комплексного переменного ~ (рис. 197) так, утб-Рг) 0 (т(К)=0 /ту()-0 1а(ГТГ)-0 А, 0 0 0 А ( ! (0) (а!. (В. (с~! Аг 0( lг~~ (г ! Тт(гг)-0 !я(К~)-0 Ут( А. А, /=0 Рис. !97. чтобы область А~ОСВА перешла в верхнюю полуплоскость, а область АВЕАз — в нижню!о. Зависимость между г и (, будет иметь вид !+а ! — а аг ь= — + — сЬ вЂ”, 2 2 Т (1.8) где а — аффикс точек С н Е на плоскости ь. Полагая в уравнении (1.8) ь = О и г = 1+ Т(, найдем а =1'и' —. з н! 2Т (!.9) Таким образом, по заданным 1 и Т легко вычислить а, Вследствие симметричности потока на линии СВ, которая также является линией равного потенциала, В =О. (1.3) 3 я ФЛЮТВВТ НА ДВУХ СЛОЯХ ОДИНАКОВОН ТОЛЩИНЫ 2ЗЗ Будем рассматривать комплексные потенциалы са~ = ~р1 + + (ф~ и са2 = ~р2+ 12р2 первой и второй областей движения, На плоскости Ь функция сс~(~) рассматривается в верхней полуплоскости, а22(ь) — в нижней.
Через функции са1 и ы2 можно выразить условия на границах: на 0А, на АВ Для получения однородных условий на контуре введем функции Ь~ — с(22112сь и Р2 = дса2Щ Соответствующие условия выписаны возле каждого отрезка на рис. 197. В точке С (рис. !97) сходятся линии ф, = сопя( (СВ) и 2р, = сопя! (С0), следовательно, на плоскости комплексного потенциала здесь имеем прямой угол. Поэтому разложение сс~(ь) около точки ь = а должно иметь вид (см. $5 главы П) са1(ь) = )/~ — а [ас + а~(ь — а) + ...[.
Точно так же в точке Е функция а22(ь) имеет вид с22 (ь) = т/à — а [Ь, + Ь,(ь — а) + ...[. Отсюда для функций Р, (ь) и Р2(ь) получаем (1.10) где Ф1(ь) и Ф2(ь) — функции, имеющие точку ( = а обыкновенной точкой. Будем рассматривать вместо Р~ и Е2 функции Ф1 н Ф2 Вдоль действительной оси полуплоскости ь при ь = $ ) а Радикал )/~ — а имеет действительные значения, следовательно, Условия для функций Ф, и Ф2 направо от точки а будут такими же, как и для Р, и Р2. При ~ = $ ( а радикал т/( — а имеет мнимые значения, вследствие чего условия на отрезках А~0, 0С " АТЕ изменятся так, как указано на рис.
198. на С0 на СВ на ВЕ на ЕА, н 1п) ((е,) и, —, 2 ' 1)п(а,) =Я, !п) ((са,) =О, 1и) ((с22) = О, 1п) (а22) = О, )М2 1п) [ — — — ) =О, 1п) (22, — са2) =О. [, 2А Я2 сс + с, Я вЂ” а) + ... Ф> К) Р, (1) — ( '" — ( ас+а1(ь — а)+ ... Ф К) Е2 (ь) ~ — / НЕОДНОРОДНЫЕ И АНИЗОТРОПНЫЕ ГРУНТЫ 1ГЛ. Чн! Функции Рс и Рг должны быть аналитическими функциями соответственно в верхней и нижней полуплоскостях, имеющими рЕГуЛярНЫЕ ОСОбЕННОСтИ В тОЧКаХ Ь = О, 1, а, со.
ПрЕдПОЛОжИМ, что каждая из этих функций может быть продолжена в другую полуплоскость, и попытаемся искать Вс и Вг как решения линейного дифференциального уравнения второго порядка. (ссс(Фг) =~ (ссс(сФс)-(1 (ссс(Фс Фг) сс (ссс(с'Фгс-сг Рис. 199. Исследуем поведение рассматриваемых функций около особых точек. 1. Около 9 = О. Функция сос(9) должна иметь вид се, Я) =9У1(а, + ас9+ ...), так как здесь сходятся линия тока и эквипотенциальная линия. Тогда р,а=Г'(а.'+ ...), т. е. Вс Д), а значит, и Фс(9) принадлежат показателю — '/г.
Для Рг(9) точка Ь = О является обыкновенной, т. е. показатель вней Равен нУлю как длЯ Гг(ь), так и длЯ (Фс' Фг"1 Фг(ь). сс Ас' (с х 2. Около 9 = 1. Предположим, что О су (Ас функции Ф~ и Фг могут быть продолже(сгь Ф,1 ны через отрезок ВА. Сделаем надрез вдоль отрезка ВВ (рис.
199). Изменим Рис. 199. несколько обозначения. А именно, сохра- ним обозначения Фс н Фг для значений рассматриваемых функций на нижней стороне разреза н обозначим через Ф„Ф, значения тех же функций на верхней стороне разреза. Тогда разность Фс — Фг перейдет в Ф, — Фг. Но так как вдоль ВА разность Фс — Ф, принимает действительные значения, то в точке М', которую можно рассматривать как сопряженную с М, эта разность заменится на сопряженное 5 н елютвет нх двэх слоях одинлковои толщины выражение Ф! — Ф2 = Ф! — Ф,. (1.1 1) Точно так же второе условие на отрезке АВ дает 2 !Ф, !'Ф,, (1.!2) х, х, х, + х, Решая эти уравнения относительно Ф! и Ф2, получим ф. х!+х ф 2к, ф ! 1 2 к, — х, х, — х, Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
