П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Производя интегрирование по Ь в соответствующих пределах, найдем формулы для длин отрезков Но 1, Н„Н, и для расходов Я, Я„Яо через отрезки соответственно Нп Но, Но. ь а (=А ~ 1,(~)ь(~, Н, =А~ !ь(1)ь(~, (10.25) а 1 (О о Но=А~ !о(ь)ь(ь, Но — — А ~ !з(ь) "~ (1026) ь Я !!=иА~ ~о(ь)ь(ь Яо=нА ~ )~о(ь)ь(~~, (1027) 1 ь п В-хА 1 1,В)д1. (10.28) Я74 ТЕОРИЯ ЛИНЕИНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ !ГЛ, ЧН п(2 1=С 1 К(а+(Р а)в'и Х) о З/1 — а — (() — а) в(п' Х п12 ц С ~ К (Р+ (1 — (1) в(п Х) «Х о 'в/Р— а + (1 — !!) в(п' Х п~в — К (а в(п' Х) Мп Х «Х 2 ча З((1 — а в)п' Х) (р — а з)п' Х) (10.34) (!0.35) (10.3б) В интегралах для Но и («о введем подстановку 1/(1 — ь) = = т соаввр, что даст пд К (созв Х) з(п Х сов Х «Х (10.37) / Ъ7(1 — а, Мп' Х) (1 — ()~ Мп' Х) пп К (з!и' Х) в(п Х соз Х «Х ~Со = и' З/(! — а~ з!и'Х) (1 — Р~ з(п'Х) Здесь положено а,=1 — а, р2=! — б.
(10.39) Остается преобразовать интеграл Ов. Полагая (Ь вЂ” 1)/~= = т = 1 — а а!и' Х, будем иметь П(2 (сз ИС в/а о К (1 — а Мп' Х) в(п Х «Х (1 — а в)п' Х) (Р— а вш' Х) Наконец, найдем уравнение депрессионной кривой в параметрической форме. Для этого отделим действительную часть от мнимой в первом из уравнений (!0.19) и введем подстановку 7 = а!пз Х.
Получим К (Мп' Х) 21п Х «Х З/(1 — а з(п' Х) (1 — () з(п' Х) (10.41) с/ + 0 +С г) К(соз Х)в!пх«Х о П/(1 — а 21п Х) (1 — Р з(пв Х) Постоянная С остается произвольной; можно, например, считать ее равной единице. Вводя еще обозначение 2А )/о(2 = С, получим следующие формулы: постРОение Решения для пеРемычки ! 10! 275 ( ! ! здесь О = 1 — —, + з, + ... = 0,916966 — постоянная Ката- лана). Расход Я=До определится из (10.38): лп Я=иС ~ К(з!пвХ)з1пХ/(Х= — иС. 4 о Отсюда найдем зависимость между (е и Н;. ллв (;) = — Но = 1,3469ИНо. 80 (10.45) У равнение депрессионной кривой упрощается, и его можно написать в виде т С 1 К(т)лт 2 „) ! — т о о где х — !в ВОМ ОТК / — 1 — х, т.
е. абсцисса х! отсчитывается от точки на низом откосе в сторону верхового откоса перемычки. иой к иво В таблице 12 приведена зависимость координат депрессион- Р вой х! и у! от параметра пз, вычисленная по формулам Полагая в полученных уравнениях Х = и/2, найдем другое выражение для 1, а также равенство для Н~ — Нз — Н;. л/Л К (в)п' х) з)п х лх (10.42) (! — аз!и'Х) (! — !) в!и'Х) л/в Н С ~ К(соз'Х) в!п Х4Х ! в о (/(! — а в!пв Х) (1 — р з!и' Х) к С ~ К (а, бпв и) а/и. (10АЗ) о На рис. !82 — 188 представлены результаты расчетов по приведенным формулам для прямоугольных перемычек. Отметим частные случаи. 1.
С л у ч а й а = О, р = 1. Это значит, что в нижнем бьефе нет воды и длина основания перемычки бесконечно велика (рис. !89, а), Для отрезка высачнвання из (10.37) получаем лп Н, = С $ К (созв Х) з!и Х /(Х = 20С = 1,8319С (10.44) о постгггниг ггшиния для пвяямычии 4 ~41 аг Ю4 ЮК ЮГ ~г /$~ й, Рис. !84. РУ Рп Щ щФ Рб чд ф й Ряс. 185. 7с сР 5су ПК 7!! Р г!! Рис. 186. О! с 5 4 Х Х 7 у 7 Рис.
187. 4 б с -и. НО Рис. 188. Рис. 189. постпоении гашения для пигамычки й !е! 279 Таблица 12 Зависимость координат депресснонной кривой от параметра ш в случае отсутствия воды в нижнем бьефе для бесконечно широкой перемычки 0,10 0,073 0,160 0,25 0,250 0,445 0,50 0,593 0,773 0,05 0,036 0,084 0,60 0,805 0,976 0,70 1,094 1,226 Ж х~ ш 1 — !0 1 — 10 24,686 33,572 9,388 11,1 96 0,90 2,370 2,1 ЗЗ 0,99 5,977 3,961 0,999 10,890 5,771 0,9999 17,126 7,579 0,80 1,533 1,568 /И х~ р~ 1 — 1О 55,321 14,813 1 — 10 1-10 1 — 10 ! — 10 114,72 173,19 243,59 420,18 22,047 22,472 32,898 43,748 1-10 43,784 13,005 1-10 68,184 16,622 ш х~ р~ 5У.
У,Ю75 Рис. 190. при его построении все значения х! и у! из таблицы 12 разделены на 1,8319. При этом согласно (10.46) расход Я = 1,3469х. Такой же расход через горизонтальный отрезок с! дренажа дает парабола с параметром р = 2с( = 1,3469 (см. формулу (11.6) главы П). На рис. 190 она показана пунктиром — это асимптотическая парабола для построенной депрессионной кривой. Заметим, что рассмотренный случай отсутствия воды в нижнем бьефе бесконечно широкой перемычки эквивалентен задаче о притоке воды из бесконечности к канаве с вертикальными стенками при отсутствии в ней воды. (10.46) при С = 1.
Для того чтобы получить ординаты депрессионной кривой у = у! + Нш нужно к значениям у! таблицы 12 прибавить величину Но = 1,8319. На графике депрессионной кривой (рис. 190) величина Но принята равной единице, поэтому 2ао ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЮ!ЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ !ГЛ, УН В случае перемычки с конечной, но достаточно большой шириной основания равенство (10.45) выполняется приближенно. Так, при 1/Н! ) 1 имеем 9 ж 1,35ИН„при 1/Н! ( 1 равенство (10.45) становится все менее точным по мере приближения 1/Н, к нулю (рис.
188). При 1= ФО, но отличном от нуля Нь т. е. при наличии воды в нижнем бьефе, отношение Яе/(ИН,) изменяется в пределах от 1,347 до 1, когда Н,/НА растет от 0 до оо, 2. С луч а й !х = р = О. Это случай бесконечно глубокой перемычки без воды в нижнем бьефе. Обозначим через Н' отрезок, изображенный на рис. 189,б. Формула (10.42) дает 1= = Сп'/4. По формуле (10.41) получаем еп Н' = С ~ К(соз'ф) з!п !р дф = 2С6. о Отсюда найдем Н' = 8И/и' = 0,74251. 3.
С луч а й а = 8 = 1. Этому случаю соответствует рис. 189, в. Формулы (10.37) и (10.38) дают ! Н,- С~ К(!Т)!т//=С, Г/Р=ИС ~ К(1 — /з)/!(/-=ИС. Следовательно, Юя — — ННЯ В. ЗАДАЧА О ПЕРЕМЫЧКЕ В ФОРМЕ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ТРАПЕЦИИ $11. Фильтрация в трапецеидальной перемычке при испарении. Будем называть перемычкой не только плотину с вертикальными откосами, но и плотину, у которой верховой откос вертикален, а низовой имеет форму прямой, составляющей с горизонтальной осью угол 0 = по, не превышающий н.
Пусть имеем перемычку на непроницаемом основании (рис. 191, а). В верхнем бьефе глубина воды равна Н, в нижнем бьефе воды нет, так что жидкость просачивается через откос, являющийся промежутком высачивания. Со свободной поверхности происходит испарение таким образом, что на СВ (11.1) !р+ сх=сопз(, где с ) О. Годограф скорости представлен на рис. 191, б. Отметим, что линия СВ не есть линия тока и угол О! = Йо!, составляемый линией свободной поверхности с горизонталью, не равен нулю. Как видно из годографа скорости, отрезок ОС равен Т/йс; с другой стороны, рассматривая бесконечно малую $ и! тгепацаидельнея псекмычке пги исплгении 2а! окрестность точки С и заменяя прилежашую к ней часть свободной поверхности отрезком прямой, получим, что градиент а/ Рис. 191.
напора в точке С равен 1д9ь а скорость фильтрации ОС = = й19 Он Отсюда !КО, = 1дето! =.у — . /с (11.2) Пусть на действительной оси вспомогательной плоскости ~ точки А, В, С и 0 переходят соответственно в точки Ь = О, 1, со, — а (рис. 192). При ь = — а имеем устранимую особенность с показателем †'/е для функ- ~~~ ,Зе. у .у ций Р и Е. Положив -аи Р 1 В= ', У= ч/ь+е ч/ь+е Рис, !92.
(1 1.3) для функций Р1 и Е~ около особых точек получим показатели — 1/а и о — 1 при " = О, 1 + е и 1 — е при ь = сс, О и'/е — о при ~=1. Функции У, и Р1 представляют линейные комбинации двух ветвей функции Римана: о 1 о =Р 2 ! е — ! ! — е — а 2 сО ! — +е 2 ! — — е 2 -Чг =ь 'р иун ! е —— 2 ! — — е 2 282 теолия линеиоых днефн епцилльпых лхвнении !гл. тп Около точки ь=0 линейно независимые ветви функции г'! выражаются через гипергеометрические функции У и )г: (/ = Р (а, Ь, с, ь) = Р ('/х + е, '/х — е, '/х — о, ь), 1 )г =ь' 'Р(а — с+ 1, Ь вЂ” с+ 1, 2 — с, ~) = « (1 1.4) 'г (о + е, о — е, '/, + о, Ь.) ~ Функции Р и 2, удовлетворяющие всем условиям на отрезках действительной оси, имеют вид р= ' « — рг (й!й е — с)(/+й!50(1 — !!50)р~, -М,(,+а) ~р 2 = В (1 — ! 12 О) 1/~ (й + а) (11.5) г Г(2 — с) Г(с — а) Г(с — Ь) р Г(1 — а) Г(1 — Ь) Г(с) Г( — — 6) Г(5 — е) Г(б+ е). яГ ( — + 8) Формулы (!!.5) нетрудно проверить, переходя от одного отрезка к другому.
Длина ! основания плотины находится по формуле !=В(1 — !!пе) '1 з/ь (ь + а) (11.6) Для расхода получается выражение о р з/Г'(Г + р о ( ~ (~ + Отметим частный случай, когда 0 = и. Это значит, что мы имеем горизонтальный отрезок дренажа. Формулы (1!.4) Здесь  — постоянная, подлежащая определению, г и р — коэффициенты вспомогательной подстановки (см. формулы (5.12)). Отношение г/р выражается через гамма-функции (принято д =! — о): ТРАПЕПЕИДАЛЬНАЯ ПЕРЕМЫЧКА ПРИ ИСПАРЕНИИ 283 % П! перейдут в такис: (1 !.8) Гауссом были найдены выражения Г! ! ! .
е Х сое(2е!) Р!с — +е, — — е, —, в!п 1)= (2 ' 2 ' 2' ) сое! Р(!+е, 1 — е, —, в!и'1) = 3 . Е Х Мо(2М) 2' ) 2еыо(сое! При 1- оо параметр а- оо н формулы (1!.5) упрощаюгся. Подстановка ~ = в(п'1 приводит к интегралам, которые выражаются в конечном виде (здесь А = — 1пп В1~/а при а=со); 1, + г = — з! в!и (2е!) с(! = 4, (1 — сов (2е!)), А Г . А о со = — А ~ сов (2е!) с(! = —, А в1п (2е().
о (1 1.9) При этом начало координат перенесено в точку В выхода свободной поверхности в дренаж (на низовой откос). Длина отрезка 1о найдется из (11.9) при 1 = и/2, когда х = О и у = О: /о= 4, (! — Совпе). А Полагая во втором из уравнений (11.9) 1= и/2, !р = О и ср = Я, найдем зависимость между расходом (;) и отрезком дренажа 1о'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
