П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Эта трудность аналогична той, с которой встречаемся, применяя формулу Кристоффеля — Шварца к многоугольнику с большим числом сторон. С помощью аналитической теории дифференциальных уравнений удалось решить несколько задач о линзах пресной воды над засоленной грунтовой водой, а также несколько задач о фильтрации в двух грунтах различной водопроницаемости (см. главу Н!!1). 4 Я УСЛОВИЯ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ ДЛЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ Я4! Уравнения (2.!) можно записать, пользуясь знаком мнимой части функции !ш в таком виде: 1ш (йг + !гэ) = р, 1ш (тг + лат) = д.
(2.2) Здесь й, 1, т, л — комплексные, р и д — действительные числа. Можно проверить, что для всех границ, которые мы рассмотрели, определитель отличен от нуля, за исключением одного совершенно частного случая инфильтрации на свободной поверхности, когда интенсивность инфильтрации е равна коэффициенту фильтрации грунта (см.
формулу (2.!О) главы П). В дальнейшем будем отображать область движения и область комплексной скорости на полуплоскость вспомогательной комплексной переменной ь. При этом границы области перейдут в отрезки действительной оси плоскости Ь; поэтому значения ~, соответствующие контуру области движения, будут действительны. Продифференцируем (2.1) или (2.2) по действительной переменной ь и введем обозначения г" = — Я= —.
ВВ Вг ВЬ ' ВЬ ' (2.3) Тогда вместо условий (2.2) получим однородные условия следующего вида: 1гп (йЯ + !Р) = О, 1ш (тХ + ЛР) = О. (2.4) Именно исходя из них и удается построить всю теорию, развиваемую в настоящей главе. Уравнения (2.4) показывают, что величины йл+ !Р и тЯ+ + ЛР принимают действительные значения на соответствующем отрезке действительной оси.
Но тогда и отношение этих величин будет принимать только действительные значения, так что можно написать, например, такое равенство: 1ш (,„х+ лл) = О, цли, разделив числитель и знаменатель на л, 242 теоРия линейных диФФеРенцигльных уРАВнений 1Гл, чн Замечая, что Р !ТФ !гз да г дс ' !!и !!г получаем уравнение !гп( +„~)=О. (2.5) Это уравнение определяет на плоскости и окружность. В самом деле, дробно-линейное преобразование си! = (й + !ш)/(пг+ + пп!) переводит окружность плоскости и в окружность плоскости и!! и обратно.
Но это преобразование переводит уравнение (2.5) в уравнение !Тп ш! = О, т. е. в уравнение действительной оси плоскости ш!, которая является окружностью в обобщенном смысле и переходит, следовательно, в некоторую окружность плоскости ш Непосредственно видно, что окружность (2.5) проходит через точки и! = — й(! и и! = — т(п.
3 3. Задача определения двух функций по условиям на действительной оси. Пусть функции Р и 2 комплексной переменной !. удовлетворяют на отрезках действительной оси условиям вида 1т(п,л+1,Р)=О, 1т(пт,2+п,Р)=О (з=!, 2, ..., п). (3.1) Возьмем два соседних участка М!Мг и МТМз оси ь и выпишем относящиеся к ним условия (рис. 165): 1ш(п!2+ !!Р) = О и 1т(пг!2+ п!Р) = О на М!Мм !т(йг2+ !гР) = О и 1т(пгг2+ + пгВ) = О на МЕМз. Рис. 166.
Рис. 166. Покажем, что В и 2 при обходе особой точки, например Мь претерпевагот линейную подстановку. Продолжим функции на нижнюю полуплоскость и применим принцип симметрии Шварца в его простейшей форме: если функция !(г) аналитична в области 6, примыкающей к действительной оси, и непрерывна вплоть до отрезка АВ, причем на отрезке АВ имеется условие!!и !(г) = О, то !(г) может быть продолжена в нижнюю полуплоскость так, что в сопряженных точках функция принимает сопряженные значения (рис. !66). Дру- З П ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВУХ ФУНКЦИИ ПО УСЛОВИЯМ НА ОСИ 243 (3.2) Применим это правило к линейным комбинациям 2 и Р, входящим в условия на отрезке М1МВ Сделаем надрез вдоль отрезка МЯМВ и обозначим соответствующие точки на верхней и нижней сторонах разреза через М' и М" (рис.
165). Значения функций Р и 3 после обхода особой точки Мм когда мы попадаем в точку М", обозначим через Р' и З*. Тогда на основании равенства (3.2) будем иметь й,~*+1Р'= й,Х+ (,Р, т,2'+ п Р'= т1Т+ й1Р. (3 3) Перепишем условия на отрезке М,М, в виде й,2+1,Р— й~Š— 1,Р=О, тх2+п,Р— т~2 — йхР=О. (3.4) Из уравнений (3.4) и (З.З) можно исключить Р и 2. Тогда получим зависимость Р" и г.' от Р и 2 вида г*= г+6Р, Р'=уг+бР.
(3.5) Итак, функции Р и У действительно претерпевают линейную подстановку при обходе вокруг особой точки. С помощью характеристического уравнения (Смирнов 1969) 1-х Р~ О (3.6) можно привести (3.5) к каноническому виду. Это значит„что существуют функции (7 и У, претерпевающие при обходе особых точек подстановку и* =2,'и, У" =2,"У, (3.7) где ).' и )." — корни характеристического уравнения, причем Р и 2 являются линейными комбинациями этих функций.
Равенство (3.7) имеет место, если А' не равно А". В случае кратного корня уравнения (3.6) каноническая подстановка имеет вид (у" =Л'(7 У* = а(7! и ь + 2 У (3.8) Введем числа а' и а", полагая м л' 2л! Пусть точке Мз соответствует (1 — 1~)" 1В А" а 2пг (3.9) значение Ь, равное Ье. Функции К вЂ” М" гимн словами, если мы в нижней полуплоскости возьмем точку г', причем г* = г = х — 1у, то получим, обозначая через 1' значение аналитического продолжения, что ~* (.*) = Йг).
244 теогия лингнных диэееяенцихльных тгхвненин ~гл, гп при обходе особой точки ~а в положительном направлении на угол 2п переходят соответственно в юа' (~ ~ )" 1 ~ (~ ~ у~' ыа" (~ ~„)~ — йя (~ ~ )а" отношения же 0 К вЂ” 40)" (Ю вЂ” 10)' при этом не претерпевают изменений, т. е. остаются однозначными функциями. Следовательно, они могут быть представлены рядами Лорана около ь = Ьм Для 0 и У получаем поэтому и=а — М' Х .,к — м', (3.10) ОФ У=(~ — М)" 2: б.К вЂ” ~.)' Ф-- Если Х' = Х", то первое выражение сохраняется, второе же бу- дет, вообще говоря, содержать 1п(ь — ье): С У =аУ 1п(Ь вЂ” ~е)+ У ~ сл(Ь вЂ” ~а)». ь -Оо (3.1 1) Тогда на отрезке МтМз будем иметь 1тл., =О, 1гп Р, =О.
(3.14) Если ряды Лорана в формулах (3.!0) и (3.11) содержат лишь конечное число членов с отрицательной степенью Ь вЂ” ~м точка ~е называется регулярной особой точкой. Так как показатели а' н а" определяются формулами (3.9) лишь с точностью до целых слагаемых, то можно изменить их значения так, чтобы в этом случае степенные ряды не содержали членов с отрицательной степенью ь — ьо.
Можно представить каноническую систему функций 0 н в окрестности регулярной особой точки ь = ~е в следующем виде: СО и=к-~.)'Х .к-ы', 4 0 У=(~ — ~,) ~: й,(~ — ~,)'+аи1п(~ — Ь.), ь-в причем аа и Ьа отличны от нуля. Если а' — а" не есть целое число или нуль, то следует считать а = О. Для упрощения характеристического уравнения (3.6) заменим функции Я и Р их линейными комбинациями, положив 21 = А,У+ (тР, Р,=т,Я+пер. (3.13) 4 З! опввделвннв двгх фхнкции по головням нп оси 245 На отрезке М!Мх получим условие того же вида, что и раньше, но с другими коэффициентами.
Положим, что на М!М, )щ (йЯ, + 1Р,) = О, )ш (!пЯ! + лР,) = О. (3. 15) Тогда уравнения (3.3) н (3.4) упростятся: лг, +(Р~=И~+(Рь тХ +пР,=л42, +йР,, Я,=Хп Р,=Р„ откуда * Ал — т! + 1л — (й йл — т1 ' пп — т! (3.!6) Р* йт — йт + йл-т1 йл — т1 ' йл — т( Характеристическое уравнение будет иметь вид 1л — 1й йл — т1 — — Л йп — т1 (3. ! 7) йт — йт йп — т1 йй — т1 — Л йл — т( ип+ р(1) и'+ д(ь) и=О, (3.!8) где рЯ) и д(~) имеют вид и (1) ч1 (Ю (3.!9) й — 10 ' К вЂ” 10)2 ' 3десь р!(ь) и д,(ь) — функции, регулярные в точке Ьм т.
е. разлагающиеся в ряды по целым положительным степеням Ь вЂ” Ьо. Функции Е и Р имеют каждую из особых точек регулярной ~собой точкой и могут быть представлены в виде линейных комбинаций двух линейно независимых решений уравнения (3.!8) Корни этого уравнения Л' и Лп должны совпадать с корнями уравнения (3.6), так как Е! и Рь как линейные комбинации У и Р, должны принадлежать тем же показателям. По найденным Л' и Л" с помощью (3.9) определяются показатели а' и и". Рассматривая поведение функций в(ь) и г(ь) около особых точек области движения (см. ниже 5 8), можно убедиться в том, что все встречающиеся в наших задачах о движении грунтовых вод особые точки являются регулярными особыми точками функций Р = 1!!и!1(Г, и У = йг!иГ. Из аналитической теории линейных дифференциальных уравнений известно (Смирнов )969; Голубев (960), что две линейно НЕЗаВИСИМЫЕ фуНКцИИ У И (1, ИМЕЮЩИЕ тОЧКу Ьп рЕГуЛярипй ОСО- бой точкой, т.
е. представимые вблизи этой точки в форме (3.!2), являются системой решений линейного дифференциального уравнения 246 твогия линенных лиффегвнцилльных тгхвнении !гл. ьш (4.2) с коэффициентами вида (3.19). Уравнение (3.18), все особые точки которого являются регулярными, называется уравнением класса Фукса (Смирнов 1969; Голубев!950). $ 4. Уравнение с тремя регулярными особыми точками.
В этом случае можно полностью построить линейное дифферен- циальное уравнение задачи. Можем считать согласно сказанному выше, что на плоскости "„особыми точками являются О, 1 и со. Предположим, что один из показателей у каждой из особых точек на конечном расстоянии равен нулю. Другими словами, пусть показатели около особых точек будут: 0 и а около ~ = О, 0 и р около ь = 1, у и у' около ь = со, причем а, р, у и у' — дей- ствительные числа. Ветвь аналитической функции У, принадле- жащей этим показателям, обозначим с помощью символа Ри- мана Р: !'о 1 оо у=р(о о у (4.1) в р у' Дифференциальное уравнение для У имеет вид (Уиттекер и Ватсон 1962; Голубев 1950) При этом сумма всех показателей должна равняться единице (соотношение Фукса) а+6+у+у'=!.
(4.3) Обозначим через У, У фундаментальную каноническую си- стему решений уравнения (4.2) около точки ~ = 0: (г=1+а1(+аф+ ..., У = ь' (1+ аД+ а~~ + ...). ~ (4.4) Около точки ь = 1 систему линейно независимых интегралов примем в виде и,=1+Ь,(1 — !)+ ..., (4.5) У,=(1 — 1)'~1+5',(1 — 1)+ ...1. ) Около ь = со можно принять фундаментальную систему ре- шений в виде Э З! УРАВНЕНИЕ С ТРЕМЯ РЕГУЛЯРНЫМИ ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ РЛ7 ~а(! 1., ~ 1. св 1А 17 1А 1+ Ь,~+ (4.7) где 1А — заданная вещественная постоянная. Для определенно- сти будем считать а и 6 положительными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
