П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Но иногда ищется решение, ограниченное при ~= аж Тогда нужно взять ЛА удовлетворяющим второму из условий (2А). Остановившись на определенном выборе Лм введем обозначения 62 — — уА+ ЛА= аь, — аА+ЛА. (2.5) Выделим те точки аь аь ..., а, в которых 0 ( 6, < 1 (в точках а .„ь ..., ал имеем, следовательно, — 1 ( 62 ( 0). Выражение л л АА С ллл Ц ( ь)~2 ~-~С ~~„~ Ц ( л !) 2-1 А называют*) канонической функцией класса Ь(ан...,а ) (С— действительная постоянная, которую можно принять равной единице).
Индексом х решения класса й(аь...,ач) называется число х = — (61 + 62+ ° ° ° + бл) = — (Л, + Л2+ ... + Л„). (2.7) Обращаясь к неоднородному условию (2.1), перепишем его так: — — !гс(С) — йф)ем" йв! = $)~' ц>. (2.8) Функция (2.6) удовлетворяет уравнению ТЯ) — Т(5)е2'" = О. Подставляя найденное отсюда выражение е"" = Т(Т в (2.8) и разделив его вочленно на Т, получим 1ш( — ) — — ( — — =) = Приходим к задаче об определении функции, голоморфной в верхней полуплоскости, по ее мнимой части на действительной оси (см. $1).
Для ее решения нужно еще задаться условием для с($) на бесконечности. При этом будем различать два случая. 1. Пусть индекс х ~ О. Это значит, что Т(Ь) при Ь = ео обращается в нуль порядка х. Потребуем для с($) при подходе к й = .+Со выполнения неравенства ! с ($) — А ! ( „+„ ! 5 1"+" (2.10) (А, М, а — постоянные, а ) 0; А = 0 при х ) 0). Для получения общего решения класса И(аь...,ач), огра- и- - - ° Л"н'и'и Л.и! Л с,, „,и„и, „„,и,и, н. и. ми„, ннмн СМЕШАННАЯ ЗАЛАЧА ТЕОРИИ ФУНКЦИИ )гл. Р1 вместо постоянной полином степени х.
Тогда гс(~)= — ~ +(Со1 + С|1 '+...+Си) Т(~) (2 11) Ю где Се, Сь ..., ф— действительные постоянные. 2. Если х ( О, то решение класса й(ан.,.,ае), вообще говоря, не существует. В самом деле, в этом случае Т(Ь) при оо обращается в бесконечность порядка — х. Разлагая подынтегральную функцию (2.!!) по степеням 1/ь, получим ль Т ($) Отсюда видно, что для существования решения, имеющего конечный предел при ~-ь оо, необходимо обращение в нуль всех членов ряда, включая член с $ " ', получим условия т (1) =О (т= О 1, 2, ..., — х — 1), (2.12) С (5) Е Фй~ д$ ) при выполнении которых и прн условии Се = ... = С„= О существует решение, ограниченное на бесконечности.
Если ищется решение, могущее обращаться в бесконечность порядка р при ь- Фо (р — целое положительное число), то достаточно в (2.11) взять полипом степени х+р, а не х. Если решение должно обращаться в нуль на бесконечности, то нужно в (2.!1) положить С, = О. $ 3. Частный случай задачи. Пусть /.' — совокупность отрезков действительной оси (аь Ь1), (амЬА), ..., (а„, Ь„), /." — остальная часгь действительной оси (рис. 143). Требуется найти функцию /(Ь), голоморфную в верхней полуплоскости, ограниченную на бесконечности и в точках ам а при подходе к точкам О~ ЬА имеющую порядок роста, меньший единицы, по контурному ус3а а, !) а~ З~ а ~ ловию Й е ш = с (4) на /.', Рис. 143.
!гп ш = с ($) н а /.", (3.1) где с($) в интервалах между точками аА и ЬА удовлетворяет условию Гельдера, а при подходе к бесконечности — условию (2.! О). Примем а, =О и о = О на /." и о = — л/2 на /,' в (2.1), а скачки в точках аА и ЬА соответственно равными '/, и — '/и. )4ндекс х класса Ь(ан...,аи) ранен нулю, и функция (2.6) члст!п 1и случлй зхлхчи имеет вид л т(~) =Ц ь Решением к.тасса Ь(аь ..., а„) будет (3.2) где Се — действительная постоянная.
Если потребовать в точках аь лишь выполнения условия, что порядок роста в них меньше единицы, то решением, ограниченным на бесконечности, будет + с. + с,г + ... + с„~" (З.З) где Со, Сь ..., ф— действительные постоянные, га = О на В" и н = — я/2 на Ь'. Рис. 144. В качестве примера рассмозрим задачу о плоском напорном движении под а плотинами в произвольной области (рис. !44), для которой построим комплексный потенциал как функцию от ~, Пусть на действительной оси плоскости ь точкам А, В„ Сь ..., В„, С„, 0 соответствуют точки а, Ьь сь ..., Ь„, с„, с(. Действительная часть функции о = у+ 1ф принимает на отРезках аЬь с,Ь,, ..., с„Ы постоянные значения — яН , мнимая часть — на отрезках Ь!с1, ..., Ь„с„ постоянные значения Я,ч, СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФУГГКЦИИ (гл.
Рг я!о а на с(а — Я„ы. Производная с(се/д~, взятая вдоль действительной оси плоскости Г, будет иметь действительную часть равной нулю на отрезках с Ь +г, мнимую часть равной нулю на Ь с . Поэтому с!га/г(~ можно представить в виде (3,4) ~Л ~Я) где /с(~) =(ь — а) (~ — Ь!) (~ — с1) (~ — Ье) ... (~ — Ь ) (~ — с„) Х Х (~ — с!), если точки А и Р не совпадают, н Н(~) =(ь — Ь,) Х Х (ь — с|) ...
(ь — Ь„) (и — с„), если эти точки совпадают (водоупор отсутствует), Полипом Р(Г) должен быть степени не выше и+1 прн наличии водоупора и не выше и — 1 при его отсутствии. В самом деле, в первом случае имеем при ~ = оо, предполагая контур АР гладким, конечную скорость в точке плоскости г, переходящей в бесконечно далекую точку плоскости ~; во втором случае йо/с(~ = 0(1/Д. Интегрируя с(га/с(~ в пределах Ь, с и с, Ь +ь найдем сл ь„+, з/к (!) ! з ч/к й(ь) ~ Ра~~ ! ), ~(и =х(Н вЂ” Н„,ьг), — '! = — г/~=(7 +, — (7,„.
(3.5) ИФ снг Пусть заданы значения части величин Нь Н,, ..., Н„+ь ()ь Яэ, ..., Я„еь а именно, л + 1 из ннх при А Ф 0 и л из них при А = О. Тогда уравнелт ния (3.5) позволяют опреи, делить коэффициенты поли- гг — ~ нома Р(~); после этого г из остальных уравнений (3.5) определятся оставшиеся неизвестными величины Н и О, Рис.
!45. Отметим, что определи- тель системы, служащей для определения коэффициентов полинома Р(~), отличен от нуля (Положий ! 954, 2) . На рис. 145 представлен плоский разрезной флютбет на проницаемом слое конечной глубины. Для частного случая равных длин флютбета ! приведем без вывода основные результаты. Расход отверстия между двумя элементами флютбета*) ()=х! Н! — 2Нэ+ Н,! —,, 2К К' ' ') 3 $ 3 и 4 главы у'! коэффициент фильтрации обозначен череэ х, $4) ЗЕМЛЯНАЯ ПЛОТИНА ТРАПЕПЕИДАЛЬНОГО ПРОФИЛЯ 21! где Нь Ом Оз — напоры в каждом из водоемов и модуль эллиптических интегралов пи' й= , и(л+!) 2Т Зависимость между комплексным потенциалом и координатой е можно представить в виде ез = — — „(Н, — 2Н, + Н,) г (агсз1п й„й'), где л !4!+1) Х= ЗЬ— 2Т Заканчивая на этом изложение случаев обтекания флютбетов, заметим, что Н.
Н. Павловский рассмотрел обгекание заглубленного прямоугольного флютбета. Имеются исследования по обтеканию плоского флютбета в слое конечной глубины, цельного и разрезного, с учетом наличия дрен. Результаты этих исследований приведены в книге В. И. Аравина и С. Н. Нумерова (1948) и в работе Н. Т. Мелещенко (1937). В последней рассмотрена также задача о плоском флютбете прн наклонном водоупоре. й 4. Земляная плотина трапецеидального профиля на непроницаемом основании при наличии дренажа. Приведем решение С. Н. Нумерова (1942) задачи о трапецеидальной плотине (см. также Аравии и Нумеров 1953).
Рассмотрим фильтрацию в земляной плотине, построенной на непроницаемом основании, Рие 146. с дренажем или обратным фильтром в виде призмы. Наклонная прямая С44В (рис. !46), вообще говоря, состоит из отрезка Оы — границы нижнего бьефа и отрезка 4АС вЂ” промежутка смвшхннля зхдхчх теогии эгнкцип 212 1гл. щ высачивання.
Это вносит усложнение в годограф скорости (рис. 147). В частных случаях промежуток высачивания может отсутствовать. Так, если разрез ОЕВ удлинчется и точка Е займет положение Еь нижний кусок области годографа отпадает и остается заштрихованная область (рис. 147). При этом депресснонная кривая будет ортогональна к низовому откосу, точка С совпадет с Еь При построении годографа мы исходили из предположения, что депрессионная кривая имеет одну точку перегиба Е. Но можно предположить, что на свободной поверхности имеются Рис. !47. Рис. 148. две точки перегиба — К и Е.
В этом случае, пройдя по окружности дугу РЕ (рис. !48), мы возвращаемся по разрезу к точке К, затем опять поднимаемся по дуге окружности, перейдя на другой лист римановой поверхности, до точки С (лежащей над точкой А на втором листе). От точки С мы идем по прямой СВ. Тогда в случае вырождения годографа, для которого отпадает промежуток высачивания, в точке С выхода депрессионной кривой на низовой откос скорость равна нулю, и касательная к свободной поверхности горизонтальна.
Из рассмотренного примера видно, насколько сложной может оказаться область годографа и какое большое число параметров может содержать формула Кристоффеля — Шварца. С. Н. Нумеров дает решение задачи, предполагая промежуток высачивания отсутствующим и точки С и О (рис. 146) совпадающими. Тогда границами области движения. АВСР являются линии тока и эквипотенциалн. Положим ф = О вдоль АВ и ф = Я вдоль СР, и пусть потенциал скорости связан с т 41 ЗЕМЛЯНАЯ ПЛОТИНА ТРАПЕЦЕИДАЛЬНОГО ПРОФИЛЯ 2)З давлением равенством ф= — Х( — '+ Р)+Х 2 (4.1) делали в ряде случаев, ХН 2К 3 ~/(1 — й') (т' — й') (4.2) где и/2 Рис.
149, Приведем интеграл (4.2) к каноническому виду, полагая ь=у(, Получим мт о Приняв ь = $, будем идти вдоль действительной оси плоско. сти Ь. Для промежутка у ( $(1 имеем = — ""+ — '"' 1 2 2К д (Р— 1) (1 — т~м) ! = — + — „,' [К' — )Р(агсз!и ', ', у'Я. (4А) Последнее выражение получается путем подстановки "ТТЕ+ "г Г = ! Ь ="и'1 "г') Отсюда, в частности, полагая $*= 1, найдем формулу для расхода: 2К (4.5) так что потенциал скорости имеет значения ~р = +ИН(2 соответственно на границах верхнего и нижнего бьефов, причем Н=Н,-Н,.
Область комплексного потенциала представлена на рис. !49. Отображая ее на верхнюю полуплоскость плоскости ь, получим аналогично тому, как мы это Ф Г г !гл. гч смвшлннля злдлчл теогии Фзнкцип 2!4 Используя это равенство, перепишем (4.4) для у ( 3 < 1 так: са5) = — + Я[! — — ' ~ (4.6) Здесь принято Х = агсз!п т' (4.7) Аналогичным образом для промежутка — 1 ( $ < — у получим такое выражение: -а) =-Ф+ ~~1 — — ",'; "1 (4.8) где Х имеет значение (4.7). Теперь будем согласно С. Н. Нумерову (1942) рассматривать г как функцию в. Вместо г(о) удобнее рассматривать другую функцию, получаемую из следующих соображений.
Если бы мы вместо действительной депрессионной кривой рассматривали параболу для течения с горизонтальной дренажной щелью, исходящей из точки В, то соответствующее течение определялось бы уравнением (см. $11 главы П) Введем функцию Я(е) с помощью равенства Я=г — г" — 1: Я(са) = Х+ !У =2(са) + — ~ ' ' — са1 . (4.9) Для этой функции получаем следующие условия на отдельных частях области движения. На АВ, где ф = 0 и у = О, У=О.
(4.10) На линии ВС, уравнение которой можно написать в виде х з!п йн — у соз ~н = ! з! п йн и вдоль которой ~р = нН)2, получаем нНзз 1 Н созрн Ма рн Хз)п~н — Усозбн=(1+ — !з!пбн+ ф — — фз. 20 ! Я 2нЯ (4.1 1) Вдоль свободной поверхности СР, где ~р=н(Н, + Н,)/2 — ну и ф = Я, получаем опять (4.12) У=О Наконец, вдоль верхового откоса РА, где ср = — нН)2 и уравнение которого имеет внд х з!и ан — у соз ал = О, получаем уравнение ХН! ми ал Н~ с05 ал 5!п аа Хз!пан — У совал= ' + ф — фз. (4.13) 20 е 2н0 ЗЕМЛЯНАЯ ПЛОТИНА ТРАПЕЦЕИДАЛЬНОГО ПРОФИЛЯ 2!В $4] 4р=Я~! —:,т 1 (Л=агсв!и, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
