П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В точке С, имеем Ь = а, нг = нго, в точке Ог Ь = !) и нг = — !Иго. Для перехода на отрезок ССг делаем обход около точки Сг по часовой стрелке на угол л, т. е. заменяем ч/ьг — аг на — ! !/аг — ьг. По- лучим Ч/! — «'и' Ч/р — Сг — ч/! — «грг я/и — йг ,!/рг Пг,р' ! «ггьг (7.3) В частности, при ь О, т. е. в точке С, имеем 1! ч/! «гог и ч/! «гйг нг * нгс "= нго Ъ' рг — а' (7.4) Для того чтобы перейти на линию ЕЕ, делаем два обхода, около точек Ь = 3 и Ь= 1/й. Тогда Ч/рг — Ьг перейдем в ! !/~~ — бг, !/! — /Рь" в !~/٠— 1 и для пг получим тГ! ~«гппт „/р рТ /! «грг .~/гьг г тп йпо . (7.3) т/~' — а~ Ч/«г~г — ! ') Через «здесь и в последуюшнх параграфах главы Ч обозначен параметр, являющнйся модулем эллиптических интегралов !см. ниже).
Годограф скорости представлен на рис. 130, на рис. 131,а дан контур соответствующей области функции йгг, на рис. 13!,б изображена область инверсии функции мгг + !ио в единичной окружности Е с центром в точке (Рг, Вг), нли, иначе, область функции (/= 1Япгг+ пгг). При конформном отображении последней области на нижнюю полуплоскость вспомогательного переменного ь (рис. 132,а) имеем *) ЭАГлуаленнын Флютввт со сГлАженными уГлАми 1ав В точке Р при ~ со ч/Г: а'ат~ — ч/à —,Р~т Ге = Гею а!о А Ч/ — а' (при этом Гег ( Гас) .
Для потенциала скорости со имеем (см., например, $3 гла. вы 1П) согласно рис. 132,6 «Н !Гй ик 1~~ Так как в = до/с!г =(Г(а/!(Г): фг/Г(!".), то для Г(ЕЩ, после ряда преобразований, из (7.2) и (7.7) получаем ЛА «Н З/1 А!а! Ч/р! Г! + Г,~/! Я!р! У Г! 2К«!о 1/ Р! - а' .!/1 ~! (1 Аг~!) , (7.8) откуда с а ! ~~/! — Й'!'("„/1 1 щ ) ! ! — !! (7.0) а (7.6) Введем обозначение «Н А 2К«! ч/Р! — а' Полагая в (7.9) верхний предел интегралов ~ = р и принимая во внимание, что при этом е = 1 — Г(!! (рис. 129), найдем Р 1 — 1!~~~А т/1 — /!~а~ ~ ~/ ! ! 2, а 6 !1 — Г(! .
А ~/1 — йР()~ ~ !(/! —,— -р- — — -рр-. (7.11) а После перехода на отрезок О!О, имея в виду, что г = 1 прн 1, найдем !гл, ч ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ а с учетом второй из формул (7.11) 1 ш А(г'! — г' ' ~ Х/,, <,г, + в (7.1Э) Теперь в выражении для з (7.9), для перехода на линию 0Е, обойдем точку ь = 1 по полуокружности в положительном направлении.
Тогда 1/! — Ьг перейдет в 1 1/~г — 1 и, учитывая равенство для г!1 (7.12), можно написать *=А'1г') — г' ' ( А/ 1 .1,1! — г'1' ~ ~/', "„,,)-1!. 1г.ггг 1 Под знаком интегралов в (7.14) выделим особенность в точке ~ = 1/й. Для этого заменим соответственно множители при 1: (! — йгЬг) на гг рг ! Аг(!г ~,~/! Агрг ( ' ' '')+ й — ! ! — А )+ / йг 11г / ! !ггггг '! .~/! Ьгггг (./' ' ./ '')+ ")/ йг-! "~/ 1-Аг )+ Тогда (7.14) можно будет переписать так: З.~/! Агггг З/! Ьгйг (' ~ !-Ай + 1 с +, йгог('( /~'-В' '!-АР ) Н~ + 1 ~( 1!' — Ю вЂ” г' ') г! ] 1 (7.15) Здесь второе и третье слагаемые уже не содержат особенности, а от первого члена получаем О Г) ЗАГЛУБЛЕННЫЙ ФЛЮТБЕТ СО СГЛАЖЕННЫМИ УГЛАМН !9! Обход точки ь=!/й в положительном направлении дает для 1п(1 — йГ) приращение и(, а для г приращение — Тй поэтому, сокращая на — (, найдем Т вЂ” 1/(! — йоао) (1 — йоро) Для А у нас есть выражение (7.10), поэтому (7.16) дает наН / (! — Аоа!) (! — А'Р!) 2КЕ!оа А Н Ра — а' откуда получаем для напорного градиента Гоо иН / (! — А!а!)(! — А!а!) ~о 2Кта'А '~/ р! - (7 17) а также А— Т (7.
18) п,~((! Аза!) (! Аай!) Теперь нам остается найти формулы для 1, и ! в отдельности. Для этого обойдем точку ь = а в отрицательном направлении и заменим во втором члене (7.9) 1/ ~ — а' на — 11/а~ — Ьо. Получим Так как г= — а!! при ь=0, то отсюда найдем а 1,=А(!I! — й~'~~)! ! ! ! о а -!-~!! — !'!'~л„/ !,,). !!.!9! о а из (7.!1) ! А(!I! — й' ') У' ! о а .!. !!! — Й'!'( э(<, >,,). !!.20! о НРименение методА инвеРсии !гл, ч Отметим, что расход Я, на основании (7.7), получается, как мы уже не раз имели, равным х7ТК' 2К (7.21) Перейдем теперь к частным случаям. й 8.
Флютбет без вертикальных стенок. Рассмотрим флютбет, в котором вертикальные отрезки ВВ| и 010 отсутствуют. Для этого достаточно положить во всех полученных в 2 7 формулах р =!. Из (7.2) будем иметь ,)/~ «1ао,~/~ гг !й .т/йо а2 !а = во, (а' = ч'1 — а'). (8.1) а' ч/1 — й'й' Скорость в точке С согласно (7.4) 1/1 — й'а' — й а ваа !Ее=а~о, — ~ —, . (89) а' ч/! — «оао 4- й'а ' Скорость в точке Р согласно (7.6) ч' ! «1а2 «1 а о«а' и!Р=ШО йа' )/! — й'а' + й' (8.3) хн (8 4) 2Ка'ао а 1/! — й'а' Для напорного градиента 7о на основании (7.17) напишем х 2КТ«а' Т/ х 1I! — «'а' Окончательно для г найдем ( ч ! — й'а' (! + «г) (! — «а) ., ( /1' — а- "лс а=А~ 2« !п (! «Ц(1-~йа) +'й ) '))/ ! г.
! «У1г + а -Р 1~ — и! Зависимость г от Ь получим на основании (7.9), причем первый интеграл здесь представляется в конечном виде, а согласно (7.!6) и (7.!8) КОНТУР ПОСТОЯННОЛ СКОРОСТИ % о! 193 или, подставляя значение А из (8.4), т (1 + йг)(1 — й) 2а (1 — йг)(1 + й) о (8.6) Т (1+ йй) (! — йа] 2а (1 — йй)(1+йа) + $ Тй'й ( Сг — а' агь а о/1 — йгаг о! (8.7) Полагая $= ), найдем ! ! т (п (1+ й) (1 — йа) 2а (1 — й) (1+ йа) ' 1 Тй'й (' й аг ага — 5 1 — й' — ~т о (8.8) Наконец, для 1, и ! согласно (7.19) и (7.20) получим о Т ! + йа Т й'й а' — ~г г(Г 1,= — !п +— 2а 1 йа и .~/1 йгаг ~ г/ 1 Гг 1 йгГг ' о о Т 1 + й Т й'й аг гаг ага (= — (и — +— о (8.9) (8.(0) Расход Я по-прежнему определяется формулой (7.2!).
9 9. Контур постоянной скорости. Теперь, для того чтобы получить случай контура постоянной скорости, остается в полученных формулах положить а = О. Для комплексной скорости нз (8.!) получим з/1 — ьг — (й'С (9.!) и ыо (! г Скорость в точке С, теперь совпадающей с С! и Сг, равна вз, в точке г" водоупора йао ЮР !+й'' (9.2) 7 П. я. Поагбарааоаа-Кочааа Отделяя здесь действительную часть от мнимой и полагая ~=~, напишем уравнения криволинейной части контура СКРг (рис. (29 при Рг = Р): 194 применение методд инвеРсии шл.
ч Положим в уравнениях (8.7) сс = О. Во втором из этих уравнений произведем интегрирование, принимая во внимание, что ь и'ь й ч — [агс1н ~ —, ч/1 гх ) — агс1п —,~. .,/! ты(! ьгьгз! й'й ~ ( о Получим уравнения контура постоянной скорости х= — !и т 1+й1 2и 1 — Ц (9.8) й 1 У = — — ь1агс1п 1ь —, чГ 1 — $з) — агс1п —,~ — д. и! ~й ~г ) «'! Так как при $=! имеем х=! и у=О, то т 1+4 т й т 1= — !п —, с( = — агс1а' —, = — агсз(п й.
(9.4) 2м 1 — й' и й' и Отсюда для й имеем два выражения: /г = 1)т — = 3 1П вЂ”. и1 . иб т т Уравнения контура ВС17 окончательно напишем так: т 1+98 т х = — 1п, у = — — агс1а' !ь —, ~/! — 9з ) . (9.6) 2п 1 — Ггй ' и 'ьв' Напишем еще на основании формулы (8.6) выражение для Н1(таас): ТТ Н 2 (9.7) Давая й ряд значений от А = О до й = 1, из (9.4) найдем, что ЯТ изменяется от О до Т1х При й =! получим предельный случай — горизонтальную прямую *) х — 1п —, у — — (О < 9 < !) .
т 1+$ т 2н ! — $' 2 В таблице !1 приведена зависимость величин 11Т, Н1(Тзе) и Я/(НО) от 4Т или й. Таблица !1 Зависимость !/Т и Н)(Т!е) от гт1Т О,! 0,309 0,102 0,317 0,808 гг/Т цт ндтг.! Я1(кН) 0,2 0,588 0,214 0,623 0,578 0,3 0,809 0,359 1,04 0,433 0,45 0,988 0,812 2,05 0,244 0,48 0,998 1,12 2,67 0,186 0,4 0,951 0,586 1,57 0,309 '1 В указанных на стр.
187 статье и книге во всех формулах вместо Т ошибочно фигурирует величина 2Т. В качестве предельной линии там оши. бочно указана прямая у = — Т. КОНТУР ПОСТОЯННОИ СКОРОСТИ 193 Рис. 133. Плоский (незаглубленн ый) фл юг 6ет.
Для контроля рассмотрим другой частный случай: а = 1, р = 1. Здесь пРи а-ь 1 имеем ше-~. СО, поэтомУ удобнее исходить из выражения и 4 (7.3) для и, в котором мы сначала ' й(г) ф2) (')тт положим !! = 1, а для ве используем уравнение (8.5): 47Х Я ииН ~/1 — й'а' 2КТйа' г 3 Х т/! йеа2 Т/! ~2 й )Газ !е г а~ з/! йе!з 1 Для перехода к пределу при а-э.! перепишем это выражение так: Ф Х ииН Тl! — й'а' 2КТй Х т/! — й'а' т/! — ~' + й' т(а' — ь' Теперь видно, что прн а-+1 Рис.
134. Как раз такое выражение мы имели в $7 главы Ш (формула (7.9)) для плоского флютбета в слое конечной глубины; там же !!ю га Т На рис. 133 построено семейство контуров флютбета постоянной скорости, на рис. 134 даны кривые зависимости г(7Т (1), Щ(ИН) (2) и Н7(Т7с) (3) от (7Т. .овтекхемые флютвет и шпэнт !вт Длины 1, и 1 получим из (7.19) и (7.20): (!0.6) (10.7) Из этих уравнений получаем, полагая $=1, х=1 и у=О: 1 — 1, = А (1 — а) = —" л /:", яаоо Ч !+а ' ! с(=А~ ~~ ! ~, о(1,. о (10.9) Уравнения (10.8) можно переписать, использовав (10.9), так: 1 х — 1о —— А($ — а), р= — А ~ ~/ ! ~, о(ь (0<5 <1).
$ (10.10) Из (10.6) и (10.7) при 8= 1 найдем (10.11) Интеграл, входящий в выражения для 1 и 1„приведем к каноническому виду, полагая ь=а1 = аз!п~р: о 1 ьо о(ь"=а~~ ~/! оооо о(1=В(а) — а'К(а) о о (а' =1 — аа), (10.12) Расход Я = оо. Рассмотрим частные случаи. Случай !. Вертикальные отрезки ВВ~ и 0~1) отсутствуют. Здесь 6 = 1, поэтому уравнения криволинейной части контура ( ! 0.3) тепе р ь имеют вид х — 1о = А(е — а), у=А ~ ~/ ! й, о(ь — о( (О <$ < 1), (10.8) а оогт и лооа' птоа' ' ОБТЕКАЕМЫЕ» ФЛЮТБЕТ И ШПУНТ э аи динаты точек закругленного конца флютбета. Результаты расчета представлены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
