П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Пусть имеем область, ограниченную дугами окружностей (прямые линии, которые мы можем считать окружностями бесконечно большого радиуса, могут также входить в число границ области), причем все эти окружности или их продолжения пересекаются в одной точке. Тогда, приняв точку пересечения окружностей за центр инверсии С и выбрав произвольно радиус )с, применим преобразование инверсии к заданной области, Все границы рассматриваемой области перейдут в отрезки прямых линий, и, следовательно, в результате инверсии мы получим прямолинейный многоугольник. Это свойство инверсии было использовано Н. Н. Павловским, В. В, Ведерниковым, а также другими авторами для решения различных задач по фильтрации, когда на годографе скорости получа1отся линии, проходящие через одну точку.
В начале этой главы рассматриваются задачи о фильтрации из каналов трапецеидального сечения. Целью исследования является выяснение вопроса о зависимости расхода и вида свободной поверхности от формы канала. Влияние капиллярностп грунта на фильтрацию из каналов рассмотрено на случаях канала трапецеидального сечения и широкого канала (или канала с малым слоем волы). В этой же главе рассмотрена задача о притоке грунтовых вод к дренажной канаве трапецеидального сечения с малым количеством воды в ней.
Задача о несовершенной галерее в безнапорном пласте представляет плоский аналог задачи о несовершенной скважине. При ее решении также применим метод инверсии. Наконец, с помощью метода инверсии рассмотрена задача о плавных контурах оснований гидротехнических сооружений. 5 2. Фильтрация из канала трапецеидального сечения. Решение этой задачи было дано В. В. Ведерниковым (1939) с помощью применения преобразования инверсии к области комплексной скорости, Впоследствии Б.
К. Ризенкампф (1940, 1) представил это решение в виде рядов. Ю. Д. Соколов (1951, 2) дал другую форму решения. Все указанные авторы рассматривали так называемое движение без подпора, при котором скорость внизу на бесконечно- ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ «гл. ч 1ба стн равна по величине коэффициенту фильтрации. С. Ф. Аверьянов (1956) обратил внимание на значение фильтрации с подпором, когда скорость на бесконечности принимается равной нулю, и рассмотрел простейший случай — канал бесконечно малой глубины. А. Р.
Цицкишвили (1957, !) комбинируя методы В. В. Ведерникова и Б. К. Ризенкампфа, дал решение задачи о фильтрации из канала трапецеидального сечения, как с подпором, так и без подпора, которое охватывает и все указанные выше случаи. Здесь мы приводим решение А. Р. Цицкишвили. Введем видоизмененный комплексный потенциал й, полагая (2.1) т. е.
Я и Ф= — — <р Ч'= — — ф, Я ' Я (2.2) причем Я вЂ” полный расход канала (расход через сечение Е'0'СОŠ— рис. 115,а). Примем вдоль свободной поверхности ЕЕА (которая может иметь точку перегиба Е) Ч' = О, вдоль АС будет Ч' = л/2, Обозначим через („«~ расход через отрезок 0Е, и пусть Ч" = О в точке ««. Тогда 6= —. НЯ~ Я (2.3) Ь = з«п' (1!!). (2.4) Далее проводится инверсия области годографа скорости (рис.
115,2) в единичном круге с центром в начале координат и вводится функция 1 а2 л 22 (Р" = — = — = — — —. в Лв я ай' (2.5) Для функции ««7 (рнс. ! 15, д) по формуле Кристоффеля— Шварца можно написать ли 1 (с+1«41 ) (>А.ьа (~ „«1-а а (2.6) Вдоль смоченного периметра канала полагаем Ф = О. Область ' функции ь! — полуполоса (рис. 115, б), конформное отображение которой на верхнюю полуплоскость плоскости вспомогательного комплексного переменного ь (рис. ! 15, в) имеет вид ! А] ФильтРАция из кАнАлА тРАпецеидАльного сечения !67 (здесь па — угол откоса канала к горизонту), Для определения постоянной л1 заметим, что []г = ( — 1-[- !д па)/е прн (, = О.
А Г Е Ф Ю Рис 115. Интеграл (2.6) в пределах (О, а) выражается через эйлеровы интегралы, что дает с'*Р(У +а) Ч/н Р(а) [с+ а (! — Еа)! ' При Ь=а имеем Я=О] (рис. 115, б), поэтому а=э[и'О. (2.8) Вместо с введем параметр Л, полагая с = Л тала = Л з[п О. Возьмем дифференциал М] (Л А(п а+ ~) Л~ А ~'Ь+и (~ с)г-а (2.9) (2.10) пгимвнение метода инвегсии 168 !гл, ч где ф(т)— 1+т (1 — т)~о (1 — 2с сов 20+ т')' (2.12) Функция ф(т) разлагается в ряд по степеням т: ф(т) = 1+от+ а тз+ ... + а„т" + .
(2.13) сходящийся при ! т ! <!. Предлагается такой способ определения коэффициентов а„. Возьмем логарифмическую производную от ф(т): ~р' (т) 1 + 2а + 2(1 — а) (сов 20 — т) ф(т) 1+т 1 — т 1 — 2тсос20+т' А, + Ал+ А,т'+ А,с' 1 — 2соо20(т — т') — т' ' (2.14) причем Ао =1+ 2сов20+ 2(1 — соз20)а, А,= 1+ 2(1 — соз20)а, Ас = — 3 — 2 сов 20+ 4(1 — сов 20) а, Аз — — !.
(2.15) Для определения коэффициентов а,,...,а„,... перепишем урав- нение (2.14) так: а, + 2аст+ Зазтт+ ...) [1 — 2 сов 20(т — с') — т'] = =(1+ а,т+ азт'+ авто+ ...) (А, + А,с+ А,с'+ т'). Раскрывая скобк)с и приравнивая коэффициенты при одинако- вых степенях т, получим а,-Ао 2а, А,а, + А, + 2а, соз 20, За, = А,а, + А,а, + Ас+ 4а, сов 20, 4а„= Аоаз + А,а, + Аза, + ! — 2а! соз 20 + 6аз соз 20, (и + 1) а„+ ~ = Аоа„+ А,а„, + Аза„, + (и — 2) а„з + + 2 соз 20 [иа„— (и — 2) а„с[, и, принимая во внимание, что согласно (2.4) ь =з)п'(111) = — (ео — е-о)'/4, введем еще одну переменную т = е зо. Тогда получим Л7 = = ~ Л в(п 0 — ~ ф (т) ~й, (2.! 1) 2М Г . (1 — т)' '! е т~т 4т 4 И ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗ КАНАЛА ТРАПЕЦЕИДАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ 169 Принимая во внимание (2.15), можно последовательно опреде'- лить аь а„...
Уравнение (2.!!) теперь перепишем в виде с(((1 == Хз!НО 1+ ~ а ти и 1 88 2+.+~ „(,и-1 2,»+.л+!) 4 ~ит л и-1 Интегрирование этого уравнения дает Я7 = — ~ !1 выл О ~ у(т + ~ аи — ) — — ~ — — 2 )/ т + ! / 2» 2тл+! ти+г ~ = — — 8- — )]]8-сь е,»1 3 А(т 2л — 1 2»+ 1 2»+ 3 и Вспоминая, что Ф' = — (н/(е) ((г/(8(е и т = е 'а, произведем интегрирование по Й и найдем г в виде ряда е = —, ~ Л з(п О ~ — + 'Я а„'„„ и 1 Е -(2»-ОО 2 -(2»+1)О е 4 ~ + 9 ~.8 и ~ (2» — 1)' (2л+ !)8 + л 1 ,)]) — — Си-(-С,. (2.18) Вдоль свободной поверхности е) = — йу, поэтому !1=лну/(Е и нз уравнений (2.18) найдем 4М() ( Г» (2»+1) Ч х= — — 18з!ЕО е" +~ а ' ] — — ~е "— 2еч+ ЛА ] ~ 2~ " (2л+1)8~ 4 ~ и 1 ! г е(2» !)ч 2еаи+н л е(2»+з) л 11 1 () + 9 е' + ~~' ~„~(2» !)8 — (2л+ П8 + (2„+3),)~ у+ 2А, (2.19) 81 ! где т! = йпр/(;), Произвольные постоянные С) и С2 определяются путем та.
ких рассуждений. В точке С (рис, 1!5,д) функция ((Р имеет чисто мнимое значение; так как 11 = л(/2, то все члены ряда (2!7) имеют также мнимое значение (коэффициенты а), ам . действительны), поэтому и С, должно быть мнимым. Значение ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ (Г.1, гг (ТО С1 = †!/й находится из условия, что правая часть уравнения (2.19) действительна на свободной поверхности, вдоль которой и Сг должно быть действительным.
Из уравнения (2.!8) для точки С, где х = 0 и у = — Н, имеем 11 = пг/2, все слагаемые чисто мнимые, кроме двух последних, откуда и получаем Сг = Я/(2й). Полагая в уравнении (2.19) х = В/2 и у = О, найдем ал (лл+ !)г В средней точке канала С имеем 11=-и!/2 и у = — Н, повтому из (2.18) находим ! Н- — ~Ля[НЕ~[+~ " "~ — — ~ — 1- 2 — -,+ аь ~ ~ 2.г (2л+!)г ~ 4 ~ з л 1 л I ! 2 ! «л! — о, 1, -1- «„,.1- „г!,)]]. !г.г!! л 1 Умножая (2.21) на 2 и сложив с (2.20), получим (;) = [го/г (В + 2Н) (2.22) где )го определяется с помощью уравнения Ю л-1 /! ! ( !)л ! 1 !)л+1 ! ! ( !)л «г, ( !г — ~р !,.;.и «го,г.грг]] г$1 (2.23) Перепишем выражение (2.7) для М с учетом (2.8) и (2.9): М Г('/, + а) (2.24) З/а [Л+(1 — 2а) о!па] Г(а) При ) + (1 — 2а)з1п 0 = 0 имеем М = оо, следовательно, ро = 0 при Л = — (1 — 2а) з[п О, (2.26) л-т — г'",г (го, в[! -«Л л 1 4 ~1 2+ зг + )' а„((зл ! ! л ! 2 1 — ~!' +~! «л ~-г!'$ (2.20) $2! ФильтРАция из кАКАлА тРАпецеидАльного сечения 171 Если Л = со, то М= О, но 1нп (МЛ) = = М„ Г (!72 + а) А.л З/л Г(а) (2.27) и все формулы упрощаются: лл ! — япО 7 ! 16М! ° Тл а2л+! во л Л2 (4л + 1) л-0 В= — — — з(п011+ 7 !7 8М!47, 'С"' ал > 2 (2 + 1!2 л ! цла л 1 а (2.28) Уравнение свободной поверхности теперь также не будет содержать параметра Л.
Согласно (2.9) при Л = со имеем с = оо, точка перегиба Р уходит на бесконечность. На годографе ско. рости точка Р переходит в Р„верхняя часть годографа отпадает, на бесконечности (А = Р2) скорость фильтрации равна й и подпор отсутствует. Рассмотрим частный случай горизонтального канала (с бесконечно малым уровнем воды). При 0 = О для функции !р(т) получаем ! -1-т !2 (т) (! )2 Интегрируя теперь два раза уравнение (2.11) и полагая т = е-'о, получим уравнение Е = — '( — СОЗ (!'л!) — !'22+ — ~ . Ог2 л1 Аа '!ЕЛ 2~' (2.29) Принимая в нем 2р = О, 2р = — йу, й = йпу717, найдем уравнение свободной поверхности; оно будет иметь вид х 2А + а —,л с(! (-~- р), О О 2 Ал (2.30) причем д2Л Я=рйВ, „а=в (2.31) расход (! при этом равен нулю, движения нет (вся нижняя полу- плоскость заполнена жидкостью).
Параметр Л может изменяться в пределах — (1 — 2а) з(п О ( Л ( оа. (2.20) 172 ПРИМЕИЕИИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ 1ТЛ. У А. Р. Цицкишвили (1957, 1) провел расчеты для ряда значений Х. Мы здесь приводим лишь графики, относящиеся к случаю Х = оо. (Р ес Р 4г 4Р 41 4Ф 4Р Р Р Рис. 11В. По формулам (2.28) вычислены значения рс в зависимости от ЩЯ при различных а и значения Н7В в зависимости от а при различных Я~/Я (рис. 116 и 117). По ним при за- Р данных Н/В и я можно най- 4Р тп Я~/Я и рс, а следователь- но и 0/lг. Ъ РР Ао Для простейшего случая „ь Н7В = 0 по уравнению \~» (2.30) построены графики 4Р ,ф свободной поверхности при 11() различных А: это повернутые на 90' цепные линии (рис. 102). При Х = оо правая линия свободной поверхности переходит в прямую Р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
