П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 31
Текст из файла (страница 31)
135; полученные кривые близки к четвертям эллипсов с полуосями 1 — 1, и с(, изображенным на рисунке пунктиром. На рис. 136 построены кривые зависимостей 7,(1 — Ц!Н и асс(/Н от Н1(Аус). Сл у ч а й 2. Горизонтальный отрезок С1СТ отсутствует. При этом в уравнениях (1О.!) и (10.2) а = О. Этот случай соответствует «обтекаемому» шпунту или зубу, имеющему некоторую толщину 21 и длину с(ь с насадкой внизу в виде контура постоянной скорости (рис.137). Уравнение (!0.1) при а = 0 примет вид (10.17) уравнение (10.2) дает В~(~~, Ф-~-~(,) — й, (д0.18) "о о В=— (10.10) И яма п.Гор ' Рис.
137. Здесь с( — общая длина шпунта, вместе с насадкой. Уравнения (10.3) криволинейной части перейдут в такие: к=В ~ ~( 1, дЬ, у=В(1 —.у'! — $') — с(, (10.20) о или, после подстановки ь=(11 = ба!П<р, х = В (Е Ор, р) — (у Р (~р, р)1, у = В (1 — 1/1 — ф з(п' <р) — «1 (10.2!) При ь=р, т. е. ~р=п/2, имеем х=1, у= — с!о поэтому 1= В (Е ((1) — (У К Ф)], с( — с(, = В(1 — Р'). (! 0.22) Для нахождения Ы перейдем на правую вертикальную границу шпунта, обойдя на угол и точку Ь=р. При этом у$' — 7 перейдет в 1Д' — б н (10.18) даст *=~В() У', ! е — ~~1 — ~ )-~-1 — й. с0.2П ггл.
ч ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ Наконец, полагая ь = 1 и г = 1, найдем ! 0 = В ~ ~/ 1, а(~ = В(Е ф') — ~'К(8')). (10.24) в Найдем еще выражение выходной скорости или выходного градиента а'1 = оа/х, т. е. скорое|и около шпунта на выходе в ~~С(1) йа (7)— 77а и б,5 475 б 1 г айаг а аа Рис.
!33. б) а7 Рис. !39. нижний оьеф (в точке Р рис. 129). Для этого в (10.17) заменим !/~о — Ь' на ! Ч'Ь' — (!7 и положим Ь= 1: о~ = — шо(8 — 1) =сев(1 — 1! ) 7~ =Хо(1 — 8) (10.25) По полученным формулам проведены расчеты, результаты которых представлены на рис. 138 в виде кривых зависимостей а)~)а! (!) и !ЦО (2) от Н)(Уог(). *ОБТЕКАЕМЫЕ» ФЛЮТБЕТ И ШПУНТ 20! т ев Задачу можно обобщить, рассматривая годограф скорости, изображенный на рис.
139,а Это двулистная область, состоящая из дуг окружностей заданных радиусов и прямолинейных разрезов. Область движения изображена на рис. 139, б. Для функции )у = 1и ш на дугах окружностей имеем постоянное значение Ке )у" =!п 'у', вдоль лучей 1ш 1у = агяш постоянна. Зависимость гв от ~ можно найти с помощью применения интеграла типа Коши (см.
главу у'!). Казанской школой математиков, в которой развиваются методы решения обратных краевых задач теории аналитических функций (см, книги: Нужин и Тумашев 1965; Нужин и Ильинский 1963; Ильинский !966), широко представлены и решения обратных задач теории фильтрации. Это аадачи об определении подземного контура плотины, удовлетворяющего наперед заданным условиям: с заданной эпюрой скоростей, с заданными распределением напора вдоль водонепроницаемых участков и значениями функции тока на водопроницаемых, с заданной эпюрой скоростей по дну нижнего бьефа и т.
п. Исследованы вопросы однолистности решений указанных задач (Аксентьев 1959), обычно возникающие в теории обратных краевых задач (например, относящихся к теории крыла). Обзорная статья по обратным краевым задачам в теории фильтрации имеется в книге «Развитие исследований по теории фильтрации в СССР» (!969). Глава )г) СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ й 1. Определение аналитической функции по ее действительной части на действительной оси.
Пусть дана аналитическая функция )(Ь) в верхней полуплоскости, непрерывная вплоть до действительной осн и имеющая предельное значение )о на бесконечности ! пп ) (~) = 1о. с+а Положим для определенности, что при больших по модулю значениях Ь 1(ь) = Го + О (у) ф) О). Последнее равенство означает, что существует отличный от нуля предел Игп [~з(Р-[о)! =А. Применим теорему Коши в) к функции )(ь), взяв замкнутый контур, состоящий из отрезка действительной оси ( — )т, )т) и полуокружности С радиуса )с, проходимой в положительном направлении (рис. 140). Получим для точки 9, лежащей внутри контура: (1.1) Устремляя )т к бесконечности, получим Г (Ь+ — )" А Г(,) 21и В т — С Н 2пв Л т — С 2' с с ') См„например, курс В.
И. Смирнова () 969) нли монографию И. И. Мусхелишвили ()968). так как ! ( !адт л(!а 1 2л(,) с — й 2л! 2 'о' с а второе слагаемое дает нуль. Таким образом, !(Т)= 2л(,') ! Г + 2 ~ ! ! ! (!) а(! ! (1.2) Возьмем точку ь = в — (т) в нижней полуплоскости. Она является внешней по отношению ко взятому нами контуру; как известно из теории функций комп- У лексного переменного, интеграл в правой части равенства (1.!) будет ровен нулю, следовательно, © будет равен нулю и предел его, выражаемый правой частью равенства (!.2): 2л! ! ! — ь 2 Рис. 140. В равенстве (!.3) заменим все комплексные числа на сопряженные, Получим 0 — Г ! (!) о! га +— 2л(,) ! — С г Теперь вычтем почленно из (1.2) равенство (!.4). Получим а ~(0= —,„, ~ —,, й(+-,(~.-Ь).
! 1+! аа Полагая (=<Р+ оар (о фо+ оа)ао (1.5) перепишем последнее равенство в следующем виде: аа !'(ь)= — „! ! +!арф ! ( ф(!) и! (1.6) Точно так же, складывая почленно (1.2) и (1.4), получим выРажение аналитической функции !(~) в верхней полуплоскости О и ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФЮ!КЦИИ ПО ЕЕ ДСЙСТВИТЕЛЬНОН ЧАСТИ 203 (гл, ч! СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ через значения мнимой ее части на оси абсцисс: 1(1)=-„), +ф. Г ф(!) л! — а Перед интегралами (1.6) и (1,7) нужно взять знак минус, если Ь вЂ” ~очка нижней полуплоскости.
Рассмотрим интеграл ив= —,„',. ~ ",'"",' н будем искать предельное значение функции (7(ь), когда точка Ь стремится к некоторой точке $ действительной оси. Для этого возьмем на действительной оси две точки М~( — еи О) и Мз($м О) и будем искать предел выражения ы и и ©= — ~1 — + — ~1 Ф(ь) Г ж 1 Г е(!) — Ф(с) 2п! з ! — й 2п! ь!г. -$ тг Этот предел будет существовать при $~ = $ь в смысле главного значения, если еь удовлетворяет, например, условиям Гельдера — Липшица и выполнены условия сходимости для У. Поэтому, когда ь стремится к точке $ из верхней полуплоскости, га а С помощью уравнения (!.8) из формулы (!.6) получим, полагая ьь = 2ф, а !пи~Я)=фф)+ — ~ ~ ~~ й+(фь (!.9) В правой части (1.9) действительная часть равна ф(е), что и доказывает, что функция ((ь), построенная по формуле (1.6), действительно удовлетворяет поставленному условию.
Такая же проверка применима к уравнению (!.7). Если на некоторой части оси $, например вне отрезка (а, Ь), функция ф($) = О, то в формуле (!.6) можно взять пределы а и Ь и написать выражение для ((Д так: ь Г ! Г Ф(!)л! а Тогда при переходе на ось $ будем различать два случая: а и ОпРеделения Функции по яе деиствительной чАсти воз 1) еслиа($<б,то ь 11гп)(ь)=~р(~)+ —, ~ ( ! (~) пт+!фс; с.,е ™м а 2) если $ находится вне промежутка (а, 6), то ь В !'©= —.~~ ч() с(!+! --3 г-й а ь = а С!1! — т.
(! .10) Для того чтобы найти зависимость комплексной скорости щ = и — !О от ь, воспользуемся формулой (!.7) этой главы, дающей значение функции в нижней полуплоскости, когда известны значения ее мнимой части на действительной оси, причем ье = 0 на бесконечности: ! Г сь(й е Г Ий е ь — ! Г . Г 1„(1 „) Зй — ~ а~~ — ~ л й+! -1 Исключая 1, из уравнений (1.!0) и (1.11), найдем в как функцн!О 2; пе — — 1 2Т а с!ь е ю= — — !и л а с!а — +1 зт В качестве примера рассмотрим схему движения, изображенную на рис.
141. Дождь падает полосой на увлажненный грунт глубины Т. Грунтовые воды растекаются так, что линии АВ и Л'В' можно считать твердыми стенками. Тогда на отрезке В'СВ будем иметь условие о = = — е, где е есть интенсив- У ность дождя, т. е. количество его, выпадающее на единицу площади в единицу времени. На остальных границах области движения О = О. Отот т бражая область движения на нижнюю полуплоскость и 4 (рнс. !41), получим (например, с помощью формулы -!г "- -!г Кристоффеля — Шварца) зависимость между ь и 2: СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ 1гл, ч1 206 Так как прн Ь=1 имеем г=!+ Т(, то из (1.10) найдем л1 а = с()т —.
2Т ' $ 2. Смешанная задача теории функций. Рассмотрим задачу: найти функцию и = )(Ь), голоморфную в верхней полуплоскостн и непрерывно продолжимую на действительную ось $, за исключением, быть может, отдельных точек, при подходе к которым )(Д имеет порядок роста, меньший единицы, если ш удовлетворяет условию !ш(ш5)е-'"111] с($) на оси $. (2.1) Здесь с($) — кусочно-непрерывная функция, удовлетворяющая условию Гельдера на каждом открытом отрезке между точ- ками разрыва аь ам ..., а„; м(е) ку© сочно-постоянна. Сначала обратимся к однородной задаче, когда с(е) = О, считая м Д) = ст сг сд а»м 4 = лад на отрезке (ад,ад+,) (рис.
142). Рис. 142. В $ 9 главы П! мы имели пример такой задачи, отображая конформно на полуплоскость многоугольник, ограниченный прямыми, проходящими через начало координат. В самом деле, уравнение (2.1) при с($) = О дает (ш = и+ !и) прямую о созн໠— из!ил໠— — О. Решение указанной задачи было дано формулой (9.!) главы П! (С вЂ” действительная постоянная): и„= Се " (а, — ь) " '(ад — ь) ' ' ... (а„— ь) " ' ". (2.2) Однако однородные условия (2.1) будут также удовлетворены, если в выражении (2.2) каждый из показателей увеличим или уменьшим на целое число. По поводу выбора показателей заметим следующее.
Обозначим через уд скачок м($)/л при обходе точки ад (рис. 142): у»=ад, — ад (й=1,2, ..., и), а„е,=аР (2.3) Можно выбрать целые числа Лд так, чтобы выполнялись неравенства — ! < уд+ Лд < 1. Если уд — целое, то, положив Лд = = — ум получим единственное число уд + Лд = О, удовлетворяющее этому условию; если у» — не целое, то существует два значения Лм при которых удовлетворяются соответственно неравенства — 1<уд+Лд<О, О<уд+Л,< 1. (2.4) Если в (2.2) заменить уд на уд'+Лд нз первого неравенства (2.4), то ш, обращается в бесконечность порядка <1 в точке ад, СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ЕРНКЦИИ 207 $2] такого типа решения часто встречаются в теории фильтрации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
