П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 28
Текст из файла (страница 28)
4г' 4г 4Ю 4Ф 4Р х = ~/ЕЯ/й, скорость на бес- Ф конечности равна й. При отРис. 117, личном от бесконечности для его определения нужно задать дополнительное условие, например, задать какую-нибудь точку иа свободной поверхности. * В. В. Ведерников (!939) также решал задачу о трапецеидальном канале, применяя метод инверсии к годографу скорости (случая с подпором он не рассматривал). Вычислив ряд определенных интегралов, он нашел зависимости расходов от размеров канала и построил для некоторых случаев линии свободной поверхности.
В. В. Ведерников записывает формулу полного фильтрационного расхода канала в виде Я = «(В + АН), где А зависит от угла 8 = па и отношения В/Н. В таблице 8 представлена зависимость между величинами А, В/Н, «В/Я, И/Я, «НЩ, Яе/Я и р, выраженным в градусах. Буквой Яе обозначен расход через дно канала. Таблица $ 3--. -- ««/!2, «В/4), «77/Е, Е,/а Д и В/77 ° Р дла лапала трапеаепдальпога сечевва ев о ее а 22' ЗО' о 0,229 0,384 0,559 0,678 1 0 736 0,757 0,786 0,829 0,855 1 0,152 0,109 0,0832 0,0559 О,ОЗ37 о 1,74 2,22 2,58 3,48 4,82 6,92 9,45 14,8 22,З о О,ЗЗЗ 0 500 0,667 0,770 1 Интересно вспомнить, что для криволинейных каналов, рассмотренных в главе 11/, по формуле (9.12) мы имели для А значение А = 2. Таблица 8 показывает, что для практически интересных каналов трапецеидального сечения А меняется в пределах от 2 до 4.
Иа рис. 1!8 дана рассчитанная В. В. Ведерниковым картина течения из канала трапецеидального сечения для 8 = 45', В/Н = 5,16, 0/Н 3,16: распределение скоростей вдоль периметра канала и форма свободной поверхности. Если, как в этом 4е! фильтрация из клнллл трлпяцвндлльного сгчшгия 173 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ 174 1гл. Р примере, скорость фильтрации на бесконечности равна коэффициенту фильтрации, то это соответствует тому, что на большой глубине имеется дренирующий слой. Для случая конечной Рис. 118. глубины дренирующего слоя задача о фильтрации из трапецеи. дального канала была решена Ю. Д. Соколовым (1951,2).
$ 3. Канал трапецеидального сечения при учете капилляр- ности. Явление капиллярности играет большую роль при движении грунтовых вод со свободной поверхностью. Под действием капиллярных сил расширяется пло- Ю щадь, смоченная водой, и увеличи- А А вается расход. l Пусть имеем канал с произволь/ ной формой поперечного сечения l (рис.
!!9). Пунктирная линия озна- I чает свободную поверхность прн .Р ! р Ю отсутствии капиллярности, сплошная — при наличии ее. В последнем Рис. 119. случае принимается, что на депрессионной кривой давление постоянно и равно атмосферному, уменьшенному на величину уй„ (где й, — высота капиллярного поднятия, у †объемн вес жидкости), т. е. р = р, — уй, на свободной поверхности (Жуковский !923; Ведерников 1940): Откосы канала АВ и А'В' (рис. 119) В. В. Ведерников, а вместе с ним и другие авторы принимают за твердые стенки, на которых функция тока имеет пос1оянное значение, При этом клнлл тглпвцвидлльного сечения 175 условии применимы изложенные методы решения задач по теории фильтрации.
В, В. Ведерников (1940) дал общие формулы для фильтрации из канала трапецеидального сечения (рис. 120) при учете капиллярности. Рис. 120. Формула для зависимости от ь величины, обратной комплексной скорости иг = и — 10, имеет вид и 1 (вг — Г) н~ !у 1а 2 г 21+а+ 2(аг аг У + У З (р' — Г)' т(1 — 12 (у' — Г)'~' 71 + Уг о (3.1) где б' = Уо/У4, а величины У1, Уг, Уо и Уг имеют значения У 21 (Вг+ 21') 4(Ч (112+ Ч2)1 — а .1/~ Чг(уг + Чг)1+а о в г 21а 1 г , (В ь ) 22 ь (у' — ьг)'~' 1 (агг ()2)1-а(.
2 222)1+а,~/~ в о (ьг рг)1-а (уг ьг)1+а /и---ьг ' 1 $ 1/ и Р ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ 176 !Гл. ч Для комплексного потенциала получаем из=гр+ гг(г= —,агсз(п Ь, 0 (3.2) (3.3) Введем еше интегралы в ~ (6' — ~г) г(~ Хз агсейп ь „...,,,+, (рг згг)1-а (Чг згг)1+а У! 1 Уз = — ~ агсз!и Ь, 1 „,+ 1 (6' — 1г) в(~ а Рг)1 — а(тг вьг)!+а ЧУ!— ~г (згсь Р— згсь ь) (ьг — аг) ь г)ь У (гвг рг)1-а (Чг (г)1+а а(агг 1 Параметры р и у определятся следующими уравнениями.
В Ув + Ув соз иа Ь 1в В 2 Уз+ Увсозиа УУ Ув з!и аа (3.4) (3 5) Здесь  — ширина зеркала воды в канале, Ь вЂ” ширина канала по дну, Н вЂ” глубина воды в канале. Расход на единицу длины канала определяется по формуле (;) = Уг (В + АН), (3.6) где а (Уг + Уг) — 2 (Ув + Ув соз аа) (3.7) 1в Ми аа Можно также определить расход по формуле Я=йгч'В, где гг Уг+ Уг (3.8) 2 Ув+Увсозаа ' Для высоты Но (см. рис.
120, а) имеем 17 1, з!и иа Но-Уга — — агс)г Ч = Ува 11+ Уг Гга ' (3.9) Здесь й„ вЂ” высота капиллярного поднятия для данного грунта, где (;) — расход канала. Зависимость е от Ь дается формулой КАНАЛ С МАЛЫМ УРОВНЕИ ВОДЫ В, В. Ведерниковым произведены вычисления для одиночного откоса (а = Ч,, таблица 9) и для вертикальной щели (а = сгз и В = О, таблица 10). Таблица 9 Результаты рлсчета дли одииочиого откоса (а '/,) л„ и зк и в и в и ик к и, Ак Таблица 10 Результаты расчета дли вертикальной щели (а Я Отметим, что высота поднятия воды по откосам получается меньшей, чем высота статического капнллярного поднятия.
В дополнение к изложенному рассмотрим в следующем параграфе еще один, более простой случай фильтрации из канала, который можно исследовать, следуя Б. К. Ризенкампфу (1940, 1). 9 4. Канал с малым уровнем воды при наличии капилляр- ности. Если уровень воды в канале близок к нулю, то расход Яо на фильтрацию из канала в случае отсутствия капиллярного поднятия близок к величине Яо = ЬЬ (Ь вЂ” ширина канала). (4.1) Предположим, что имеем фильтрацию из канала РР в грунт, капиллярная высота которого есть Ь„(рис.
121, а). Тогда будет иметь место растекание в стороны. При этом горизонтальные отрезки С0, С'с)' принимаются за линии тока, н годограф скорости будет иметь вид рис. 12!,б, где изображена половина области годографа, соответствующая правой половине 2,0 4,1 8,3 22,8 2,0 3,8 7,3 12,6 22,0 51,2 3,0 4,8 16,0 27,1 46,8 !06,8 8,8 13,9 0,246 0,240 0,233 0,225 0,285 0,273 7,2 19,7 2,0 3,4 5,8 13,2 8,0 18,6 0,97 1,46 2,2 4,1 22,9 48,2 4,7 6,6 9,5 !6,5 0,254 0,248 0,320 0,315 0,306 0,287 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ <гл, ч !78 Отобразим область комплексного потенциала на полуплоскость (рис. ! 2 1, г): /й — — „агссоз (! — 2ь), //> з!Пв — = — з)тв †.
(4.2) Я /7' Полагая ь — ав и /й = /вл„получим а = з)! — ". а////в (4.3) в" Ю / / / / / / / / / / Обращаясь к годографу скорости, произведем инверсию области скорости в круге радиуса 1 с центром в начале координат. Получим полу- полосу. Ее отображение на полу- плоскость Ь представляется с помощью интеграла и — !и //й/,! (д+ й/) /й — агс1и — + /!/, (4.4) 2М !/ь" й й /! в' .Р г/ Риа !2! где М и ))/ — постоянные.
Условия Ь= О, и — /о=со и ~= ой, о — й дают 2/ Ч/~ 2/ /' ! . яв// '1 — = — — агс1д — = — — агс16' ~ — з!п — ~ . //в/ //а е! Обозначим для краткости пьак — =Й, а=— !7 ' Я и рассмотрим тригонометрический ряд агс(й' э е-аи-/) й Нв 2/ в!и ГВ В/ т~ в!и (2й — !) Я //в/ пь й а// 2» 2й — ! и / (а=з!/а), (4.5) (4,6) (4.7) области движения жидкости. В точке 0 скорость равна бесконечности, в точке С вЂ” нулю, на бесконечности в А она равна коэффициенту фильтрации л.
Область комплексного потенциала представлена на рис. !21,в. Приняв значение /р = 0 вдоль 00, ф = 0 вдоль 0СА, получим в точке С для /р значение ч/ = и/г„. Вдоль оси симметрии ОЛ /! примем в)/ = — Я/2, где Я вЂ” расход всего канала. КАНАЛ С МАЛЫМ УРОВНЕМ ВОДЫ 179 который получается из известного ряда 22 2Р2)их 2'Ч2 2л ! Мп(2л — 1)х 1 — )22 ~л ) 2л — 1 л-! Нетрудно видеть, что ряд (4.7) сходится в полосе — И, < ф < <+ И„. Интегрируя его почленно и учитывая, что Е=О при а) = — ф/2, найдем Вч Ю АС) т(л (л )а еоа(2л — 1)Я (2л л ! (4.8) Полагая в (4.8) Ь=О и Ь= — а2, получим соответственно е) =О, 22=0 и е) =И„, 22=)а. Поэтому найдем для ширины канала 2Л 80 е-(2л-!) а Ь 2 Х 2 (4.9) л и для ширины смоченной поверху части грунта 2Л АО 2 2 1 -1- е 2(2л-!) а Аае х'е (2л — 1)' (4.10) л По заданной ширине канала Ь и величине Ьл из (4.9) и (4.10), или (4.!1), найдем ширину В и расход (;).
Так как на бесконечности скорость равна коэффициенту фильтрации, то ширина потока просачивающейся воды на бесконечности В О А (4.12) Ряды (4.9) и (4.10) хорошо сходятся для больших значений а, но медленно сходятся для малых а. Поэтому преобразуем (4.9), воспользовавшись представлением 2 а Х е (22 !) 1 Г а2 = — ~!п Й вЂ” ((и+— (2л — !)2 2 ) 2 8 л ! о а откуда следует равенство если учесть, что T А„е (2л — 1)2 8 ~( л В(а) = 2А + 2 Ь(2а). (4.1 1) ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ !ГЛ, Р и разложениями в ряды Бни 82 с 1 84 з 1 86 с 1п — = — и — — — и+ — — и — ..., З пс 1пс)!и (2 — 1) —,и — — „, —,и + ..., си с 2 — 1 з~ 4 где 1 1 1+2 +За+ Окончательно для В найдем д~у ~ ~ + ((п 2 1) зе + т2оо азео4о + ~ (4 18) На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
