П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Решение ряда задач теории движения грунтовых вод было получено Б. К, Ризенкампфом (!940, 1) и Н. М. Гсрсевановым (1943, !950) с помощью функциональных уравнений. Сущность нх метода состоит в следующем. Пусть комплексная переменная г = х+ !у будет выражена как функция от !в = 1Р+ !ф: г = х+ (у = Р(со) .
Тогда г х — !у = Р (й) (й = !р — !!Р), откуда х — [Р(в) + Р (й)), 2' [ (8.2) в 31 дВижение ггхнтовых вод по нхклопномг водохпогх 101 Задание граничных условий позволяет в некоторых случаях найти функцию г" (о). В. К. Ризенкампф (1940, 1) задавался условиями на двух линиях тока и получил решение задачи о фильтрации со свободной поверхностью по наклонному водоупору и о фильтрации из каналов (см. 9 9).
Н. М. Герсеванов (1943) рассмотрел ряд задач для случая, когда областью комплексного потенциала является прямоугольник (см. 5 10 и !1). Рассмотрим движение грунтовых вод по наклонному водоупору. Пусть поток грунтовых вод течет со свободной поверхностью, имея линией тока наклонную прямую, составляющую угол а с горизонтальной осью х (рис. !00) Уравнение этой прямой напишем в виде ха|па+ усова= О. (8.3) Пусть ф = 0 на этой прямой. На свободной поверхности положим ф = Я.
В уравнении (8.3) под- Риа 100. ставим вместо х и д их выражения (8.!) и (8.2) и учтем, что ф = 0 вдоль прямой (8.3). Получим в(па ]Р(~р)+ Р(~р)] + —. (Р(~р) — г (~р)] =О, откуда ем"-г' (~р) — Р (<р) = О. (8.4) Заменяя в последнем уравнении ~р на а, получим (8.5) ев|иг'(щ) = г (ы). Теперь рассмотрим условие на свободной поверхности. Полагая ф = Я, получим ы = у+ й~. Кроме того, на свободной поверхности ,р+ йд=О, д= — ф (8.6) Подставляя в уравнение (8.6) выражения (8.2) и ф = Я, получим а 2Т( (р+ (8.7) 152 Функ!!Ия жукОВскОГО ФункционАльные уРАВнения 1Гл.
!у Положим ф — Г1,! = в. Тогда ф + Г(„! = в + 2ГЯ, и последнее ра. венство можно написать в виде Р(в+ 219) — Р(в) = — — (а+ !'Я). На основании (8.5) Р(в+ 2Ц) — е"ФР(в) = — — + —. 21в 20 «« (8.8) Это линейное уравнение в конечных разностях, решение которого мы составим из двух частей. Прежде всего найдем частное решение неоднородного уравнения (8.8) в виде линейной функции от в: Р„(а) = Аа + В. Подстановка этого выражения в (8.8) дает А= —., В= е 'а Ое Га с1аа «Мпа ' «В!Ва е-Га Р, ( ) = «,„а (~ + Я ~1н ~). Р (в) = емаг (в). (8.10) Подставив (8.10) в (8.9), получим ем '"+" О!) (в+ 2Ц) — еча+В!а) (в) = О. Подберем постоянную М так, чтобы для )(Га) получилось урав- нение 1(а+ 211~) — !'(а) = О. Очевидно, за 1(а) можно принять любую периодическую функцию периода 21(). Что касается числа М, то оно имеет значение М = (а+ ии)Я, где п — любое целое число.
Таким образом, общее решение уравнения (8.8) может быть представлено в виде а+аа Е=Р(а) =е о ) (в)+ —,„(в+1;1с1на), (8.11) причем 1(а) — произвольная периодическая функция с периодом 219. Отметим частный случай, полагая и=О, !'(в) =сопз1= — е '". О а!п а Теперь найдем общее решение однородного уравнения Р (а + 2Г!',1) — Е"аР (а) = О. (8.9) Для этого заменим искомую функцию Р(в) новой функцией !Г(а), полагая КАНАЛЫ КРИВОЛИНЕЙНОГО ОЧЕРГАННЯ з 9! 153 Тогда вместо (8.11) можно написать аа ге!а в ч Н вЂ” !9+ з7 с!Ка з!п а Аз!па Далее, вводя обозначение ге!и = г = ~ + !т) и отделяя в (8.12) действительну!о часть от мнимой, найдем 1 ! — аф 5 =хсоза — уз!па = — ! яНе ч соз-~;+ф+(„!с!да), А з!па 1 ! -~ .
аф з) =усова+ха(па= — ~йНв О з!и — + ф). З з!па На рис. !00 представлено семейство линий ф = Я, которые являются, при различных 1,1, возможными линиями свободной поверхности. Онн имеют аснмптоты з! = у соз а+ х з!п а = Н. Для расхода получается выражение Я = яН з!пи. Если считать угол !х малым, так что з!пи ж а, !яа ж а, то соответствующее семейство кривых депрессии совпадает с получающимся в гидравлической теории неравномерного движения грунтовых вод (Оцрп!1 1863; Павловский !930).
(8.13) 9 9. Каналы криволинейного очертания. В уравнении (8.1!) примем а = л/2 и перепишем, по предложению Н. М. Герсеванова (1943, !950), это уравнение в виде !!а+и па г= г" (а!) = ~ А„е 'Π— — + С, (9.1) А С помощью уравнения (9.1) Н. М. Герсеванов предложил рассматривать задачи о фильтрации воды из каналов, подбирая коэффициенты А„так, чтобы получить заданную форму поперечного сечения ка- Рис. !О1. нала. Однако выяснилось (Цицкишвили 1957, !), что здесь возникает опасность получения многолистных решений, когда контур поперечного сечения канала оказывается самопересекающимся н, следовательно, нереальным (рис. !01).
Все же некоторые криволинейные формы каналов, в том числе уже исследованные раньше другими авторами, на этом пути получить можно. !. Горизонтальный к а н а л (канал бесконечно малой глубины). Если в (9.1) принягь А = — А ! =А/2, С=О, все Остальные Аа положить Равными нУлю, то полУчим 2 l! (9.2) 154 ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. !Н Полагая здесь Ф= — йу и ар=Я, получим уравнение х= Ас!! —, + —. пьу Я 2Я й' (9.3) которое можно считать уравнением свободной поверхности. Положив в (9.2) ф = О, найдем у=о, (9.4) Разделение действительной и мнимой частей дает аа КФ х=Неаа з!п — + —, у= — Несо соз — — —.
г "Ф Ф а "Ф Ф 2Я А ' 2О А ' Уравнение свободной поверхности получим, полагая ф = Я и <р = — йу: аау х=Не О (9.6) При Ф=О найдем линию, которая может быть принята за контур поперечного сечения канала: у= — Н соз —, ЛФ 2а! ' = Н з!и — О+— НФ 2Г) А (9.7) что может быть принято за уравнение контура канала. Постоянная А остается неопределенной, т. е.
получаем целое семейство свободных поверхностей (рис. !02). Для определения А нужно задаваться каким-нибудь условием, например задать точку, через которую проходит свободная поверхность. При А = О уравнение свободной поверхности будет х = Я//г = В/2, где  — ширина канала. Расход всего канала будет знавала = 2Я = /ГВ. При А Ф О скорость на бесконечно- сти равна нулю, и в этом случае говоРис.
102. рят, что имеет место фильтрация с подпорам; при А = О комплексная скорость всюду в потоке, в том числе и на бесконечности, равна с(ГВ/дг = !й, т. е, о = — й, и говорят о фильтрации без подпора (Аверьянов !956). 2. Каналы Козени криволинейного очертании я. Их можно получить, взяв в (8.12) а = ьп/2. Для а = и/2 — "' — Н!еае. А (9.5) КАНАЛЫ КРИВОЛИНЕИНОГО ОЧЕРТАНИЯ Рис. !04. Рис. 103. ф= О и ф = Я. Подстановка в (9.7) дает В/2 = Н+ Щй, откуда для полного расхода канала получим Я„„„, = 2Я = й ( — 2Н). (9.9) Скорость на бесконечности в этом течении равна нулю, в чем нетрудно убедиться, дифференцируя (9.5): их ниг — = — — ЕСΠ— — — Р ОО.
~йю 20 а 1„ Таким образом, имеет место движение с подпором, как будто на бесконечности имеется твердая стелка. Если в (8.! 2) положим а = — н/2, то получим а1 = — — — Н(е а и (9.10) или ис ис х = — — Не со з!и —, В = — — — Не со соз —. — нф ф — иф 20' А 20 ' За контур поперечного сечения канала примем ф= О, что дает укороченную циклоиду (рнс. 104): х= — — Нз(п —, у= — Нсоз— иф иф 2Я ' 2О или х = — т/Н вЂ” у + — агссоз —. — — 29 н Ал Н Полагая х= В/2, у=О, найдем для 1~ (9.! 1) Я=йо+Н1 или, по исключении ф (для правой части), х = ч~НŠ— у'+ — 4) агссоз — ", 2О Фи й (9.8) Эта линия — удлиненная циклоида или трохоида (рис.
103). Для нахождения зависимости расхода Я от глубины и ширины канала рассмотрим точку х = В/2, у = О, в которой 155 ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ, 1Ч и для полного расхода канала 1',1 „„,= 29=/Г(В+ 2Н). (9.!2) Уравнение свободной поверхности получается при ф = Я и у = — ~р/я: 0 сьд х= — — Не 'о ь (9.13) Линия свободной поверхности имеет при у-ь — со асимптоту к = Я//с = В/2+ Н. Скорость на бесконечности здесь равна коэффициенту фильтрации /с (движение без подпора). Рис. !05 Рис.
106. Если обратимся к рнс. 100, то можно заметить, что пунктирные линии представляют возможные формы поперечных сечений каналов, если взять соответственно сс = и/2 или а = — и/2. На рис. 105 изображено по В. В. Ведерникову несколько поперечных сечений каналов с эпюрами скоростей вдоль перн- метра канала (без подпора). На рис. 106 приводятся гидроди. намическая сетка движения и семейство изобар для канала при В/Н = 2. Заметим, что ветви депрессионной кривой очень быстро приближаются к асимптоте: на глубине !у) = '/т(В+ 2Н) абсцисса отличается от х на величину, меньшую 0,0! Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
