П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 23
Текст из файла (страница 23)
— — соз †. (3.8) ам Ф и ЬЯ О! 4 Г 2) Е В точке Š— конце дренажной щели скорость бесконечно велика и, следа- Я ф ~~ ф вательно, 1/гв = О. Это дает пса) Я) 2О Рис. 87. Я аа а(О+ ЬЬ!) ' В точке Е, кроме того, Ч~ = О. Пусть Я' обозначает расход через отрезок СОЕ. Тогда в точке Е будет ~Р = — Я'/2 и а> = — („)'!/2. Подставляя это значение са в (3.9) н решая последнее уравнение относительно !)', найдем О 20 Я = 2 — „агссоз „! + (3.10) Теперь определим ширину щели по дну СРЕ = Ь, В точке Е имеем г = Ь/2 н са = — Я'!/2. Подставляя эти значения в (3.6), получим, учитывая (3.7), (3.9) и (3.10), О т / 4О' 2О 2Я вЂ” + Ь!~~ .А/ 1 —, +, — — агссоз, „. (3.11) Наконец, найдем уравнение ветви свободной поверхности ЕА.
Для этого в уравнение (3.6) подставим с2 = — /су и зр = — Ф2 Подставляя это выражение ь в (3.2) и заменяя 6 на са — !Ьг, получим са — Йг а з!п —. Я !зв еункция жуковского. Фэнкцнонхльныв эгхвнвння !гл, ш Получим йу+— О® Полагая г=х+ !у, после сокращений находим х= — — + ~ — + — ) с(т —.
() у 0 ь~~ пйу 2й ~2й 2) 0 (3.12) Как и в шпунте Жуковского, в качестве кривой депрессии мы получили цепную линию. Б. К. Ризенкампф заметил (1940, 1), что задача о дрене Жуковского может быть получена из задачи о шпунте Жуковского (при отсутствии капиллярного поднятия в грунте), если сделать замену функции г на — !г, г» на !6 и 0 на !ы. Уравнение (3.12) можно переписать в форме у = —,„агсй 2 2й (3.13) Ь = — ~ 1 — — — — агссоз — ) = 0,262 —,.
(3.14) в2 $ 4. Приток к системе древ при наличии инфильтрации. Обычно дрены предназначаются для гого, чтобы отводить из почвы излишки грунтовых вод. Для этого дренажные канавы делаются с уклоном, чтобы вода из них могла стекать в коллек- Если известна какая-нибудь точка (хь у1) депрессионной линии грунтового потока, а также отрезок Ь, то уравнения (3.11) и (3.13) позволяют вычислить приведенный расход Я/й дрены и величину Ьь Любую из эквипотенциалей вблизи контура ВСРЕГ можно принять за очертание дрены. Если данная дрена имеет форму, отличающуюся от этих эквипотенциалей (обычно сечение дренажной канавы вертикальной плоскостью имеет форму прямоугольника, трапеции или некоторой плавной линии), то вблизи нее форма депрессионной кривой будет иная, но на достаточно больших расстояниях от дрены уравнение депрессионной кривой будет очень близким к (3.13).
В. И. Аравии (!936) рассмотрел примеры дрен Жуковского с построением сеток движения для различных значений Ь, включая случай Ь, = О. Здесь ветви депрессиопной кривой получаются смыкающимися в одной точке, в середине дрены — такую дрену называют затопленной. Полагая Ь, =- О, из (3.1!) по- лучим З 91 ПРИТОК К СИСТЕМЕ ДРЕН ПРИ НАЛИЧИИ ИНФИЛЬТРАЦИИ 139 торы — большие дрены, из которых вода отводится самотеком или перекачивается в реки или большие каналы. Дрены питаются за счет инфильтрации, т. е. поступления воды с поверхности почвы вследствие дождей, поливов, просачивания тающего снега и т. п.
Рассмотрим задачу о притоке грунтовых вод в систему большого числа прямолинейных горизонтальных дрен, представляю. щих бесконечно тонкие щели, расположенные на одинаковой глубине, на равном расстоянии друг от друга, в водопроницаемом слое бесконечной глубины (Аравии и Нумеров !953).
4 Ф А Рис. 88. Обозначим через е постоянную интенсивность инфильтрации. Если выделим часть потока (рис. 88,а), ограниченную вертикальными линиями тока, находящимися посредине между соседними дренами, то получим область движения с вертикальными твердыми стенками и горизонтальными водопроницаемыми границами (стенки щелей). В этом случае, кроме функции УКуковского Е=ы-И =Е,+ Е„ (4.1) рассмотрим еще введенную Б. В.
Девисоном и Б. К. Ризенкампфом функцию Ы =а — (ег Й, + 1(),, (4.2) 14О ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. 1Ъ' у которой мнимая часть имеет постоянное значение на свободной поверхности: Йе = ф — ех = сопз1. (4.8) Если найдем 0 и ег, то г и ы будут определяться из уравнений г = — ' (Π— а), ге = 1 (йа — Е0). (4.4) Обозначим через Я полный расход каждой из дрен, через Я~ — расход, поступающий в дрену из толщи грунта. Тогда инфильтрационный расход дрены Яе. Яе=)',) — (11 =е(1 — Ь,), где 1 — расстояние между соседними дренами, Ь~ — внутренний размер дренажной щели С'С.
Пусть ~р = О на контуре дрены С'В'ОВС и ф =- О на оси симметрии АО области движения. Конформиое отображение полу- полос областей ее и 0 (рис. 88, в — г) на нижнюю полуплоскость плоскости ~ (рис. 88,б) дает Я=в 1!Я+ еЬ!) агсз!п —, (4.6) я а' 0 = — — ' (ф + й1) агсз)п ь, где я(О+ЬЬ!) а=з)п е!О +ь)) (4.7) Подставляя (4.6) в (4.4], найдем х= ~(Я, + й1)агсз)пь — (Я+ ЕЬ,) агсз)п — ~. (4.8) 1 ~т Вдоль правой ветви кривой депрессии С() (которая симметрична левой ветви) ь =асп[(й — е)ну/Я+еЬ|)1 и уравнение свободной поверхности можно написать в виде О+еЬ~ Я~+К . / пд(Ь вЂ” е) т х= — я(ь ) + „(ь ) агсз!п ~~оп 1+ ). (4.9) Н вЂ” ' 1п Я+ еЬ~ 1+ Ч/Г:ае (4.10) и (Й вЂ” е) Для того чтобы определить ширину щели Ь, заметим, что в точке В абсцисса х, рассматриваемая как функция от ь= е, Полагая в (4.9) х= 112 и у = Н, где Н вЂ” максимальная отметка кривой депрессии, получим $61 КРОТОВЫЙ ОРОСНТЕЛЪ И КРОТОВАЯ ДРВНА достигает экстремума.
Полагая !(г/6(~=0, С. Н. Нумеров получил 2 Г /! — а' Т Р /1 — а'Т Ь= и (э — е) (Я, + /61) ~агссоз,АА/ —, — багссоз~ —.т/ — /~, 'Ч 1-й' ~ а т/! — ()',/ (4. 11) где О = з)п (4.12) Сетка движения в рассматриваемой задаче такова, что на некотором расстоянии внизу линии тока становятся почти вертикальными, а линии равного потенциала — почти горизонтальными. При глубине !у!) ! практически последние можно считать горизонтальными отрезками. Для напора й на такой линии, отсчитанного от отметки дрены, имеет место равенство ж ~э~я~е,~-и) „, (4.!3) Ь! В(А — е) ! Из (4.!3), зная напор в толще грунта на некоторой глубине, можно найти (/!, зная (,).
Если дрены питаются только за счет инфильтрации на свободную поверхность, то Я! = О, Я = (;)6 = В(! — Ь!) и = з(п(В//6). Если они питаются только за счет притока воды из толщи грунта, то В = 0 и (;) = Я!. Заметим, что из полученного решения без учета инфильтрации можно найти решение задачи при учете инфильтрации, изменив все линейные размеры в (1 — е//6) раз и заменив расход (,) на Я+ ВЬО В рассмотренной задаче причиной подъема уровня грунтовых вод и, возможно, заболачивания являются не только атмосферные осадки или поливы, но и фильтрация из пласта с напорными артезианскими водами вверх через покрывающую этот пласт толщу земли.
Другими словами, питание дрены, предназначенной отводить излишки воды, происходит также снизу. Поэтому установившееся движение оказывается возможным и при отсутствии инфильтрации. Решение задачи о притоке к системам дрен в области, ограниченной снизу линией равного напора (причем контур дрены рассматривается как малая окружность около точечного стока), было дано В. В.
Ведерниковым (1939). Заметим, что применение функции Жуковского удобно в тех случаях, когда имеем, помимо свободной поверхности, горизонтальные линии равного потенциала н вертикальные линии тока в области движения. Ряд примеров такого рода рассмотрен Ф. Б. Нельсоном-Скорняковым (!947). э 5. Кротовый ороситель и кротовая древа. Эти задачи рассмотрены Б. К. Ризенкампфом (1940, 1). Онн могут представить интерес прн исследовании работы кротового полива или крото- 142 ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО. ФУНКИИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ. ного дренажа. Кротовая дрена (или кротовый ороситель) пробуривается таким образом: на нижнем конце вертикально поставленного ножа находится снаряд с заостренным концом.
Когда нож прорезает почву, то снаряд пробивает цилиндрическую полость в грунте. Аг ~г у у Ю у ф г д/ у РЯФ 89. В случае кротового оросителя будем считать, что на поверхности грунтовых вод (рис. 89,а) имеет место испарение с постоянной интенсивностью с = — е. Введем, как и в предыдущем параграфе, функции О= О, +1ОЯ =Г — 1/ге, ь) й, + 1(4,=ГВ+1ся. (5.1) Ороситель представим точечным источником А. Пусть на свободной поверхности ~р+йу = О, ф = О на оси симметрии ниже А н ф = Я/2 вдоль АР. Будем рассматривать только правую половину области движения ВОО'АВСВ. Тогда для 14 получим полосу (рис.
89,б). Область функции Жуковского изображена на рис. 89,в. Конец разреза этой области находится в точке О', в которой д81/ду = д~р/ду+ /г = О. При конформном отображении на верхнюю полуплоскость т (рис. 89,г) й) =, г/О = М ( г(т (5.2) 2п (т — 1) (т — 1) 1/т $ с! кготовын огоснтель и кготовая дгвнх 14З Подстановка т/т = гь переводит полуплоскость т в угол области ь (рис. 89,д), в результате чего получаем Отсюда найдем — 1 — 2агМ Я д = — — ', (да — дй)= ',,— 21М-(- " д~= 1+с а-(-с г, ~г ! Я вЂ” — — 2(М— 2а — +аМ вЂ” — аМ ! 2а 1+с х ~+! + .
/ д~. (5.3) Так как точка Ь = — 1 соответствует точке А области движения, где г имеет конечное значение, то нужно положить Я/(2п)+ аМ= О, откуда М = — —, с(я — — — ~ — + — . ) с(ь. (5.4) О 1 lий Р 1 2аа' Гг+с ~аа а Интегрируя и считая я=О при ~=О, получаем = 1„'„„й — ( + ~)1. (5.5) Так как при Ь= — 1 имеем а= — гН, то (й+с) — Н = — + !п2. Я а (5.6) Уравнение свободной поверхности получим, полагая ~ = й: у = — + „!п.~/1 + вг. (5.7) х =, +, „( — +агс1п$), Ветви кривой депрессии (57) уходят вниз на бесконечность.
Пусть йс будет напор по контуру трубы оросителя. С помопгью формулы (5.!) можем написать для аг выражение са=ф+ Ц= — (с + — 1 (1+ Ь') (5.9) В точке перегиба линии свободной поверхности, как нетрудно видеть, $ = 1/1 + а. Обозначая через 8 угол касательной в точке перегиба с вертикалью, найдем, что =с166, а = (5.8) +' !яри†2 144 ФУНК[И[Я ЖУКОВСКОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. ГУ Полагая ~ = — !+ ~', г = — !'Н+ г', будем иметь в бесконечно малой окрестности точки А (5.10) [о = — сН+ — !п ( — 2(~'), 2л причем на основании (5.5) имеем с точностью до малых высшего порядка Г (5.11) 2л(А+ с сои() ' Положим теперь г' = )се[о, где )с — радиус трубы. Подставляя это выражение в (5.11) и (5.10) и отделяя действительную часть от мнимой, найдем 0 4л)!(/г+ с) сов!) + с 2л[с [с (5.12) Если угол р = О, то точка перегиба уходит на бесконечность, параметр а будет равен бесконечности, и из (5.6) получим [п2 Н л )с+с ' н Свободная поверхность будет иметь асимптоту х = Щ2(л+ с)) (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
