П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 18
Текст из файла (страница 18)
57), 6 — с областью, лежащей в верхней полу- (~) плоскости, à — с интервалом вещественной оси, лежащим вне отрезка [а, Ь] ( — 1 < а < Ь < 1), и неподвижные точки — с точками г = 1, г = оо и г = — 1. Пусть Н есть об. ласть, полученная склеиванием области 6 с областью, ей симметричной относительно вещественной осн, Рис. Бт. Н~ — ее образ в плоскости функции ш = !(г), отображающей 6 на 6*. Область Н, разрезанная вдоль отрезков [ — 1, а] и [Ь, Ц, очевидно, преобразуется функцией ш = 1(г) в плоскость, разрезанную вдоль отрезка [ — 1, Ц, н, следовательно, по лемме Шварца точка г = со должна быть отталкивающей неподвижной точкой н никаких других неподвижных точек на интервале х[ ) ! не будет.
Область Н, разрезанная вдоль отрезков — 1, а] н [Ь, ! — е], где 0 < е < ! — Ь, преобразуется функцией и = г(г) в плоскость, разрезанную вдоль некоторого отрезка [ — 1,1 — е'] (е' ) О). Предположение о том, что е' ) е, приводит к противоречию с тем, что при отображении какой-либо области на область, ей внутреннюю, может быть не больше одной внутренней неподвижной точки. Следовательно, точка г = 1 будет притягивающей неподвижной точкой и на интервале (Ь, 1) никаких неподвижных 1очек не будет. Область Н, разрезанная вдоль отрезков [ — 1 + е, а] и [Ь, Ц (О < е < 1+ а), преобра.
зуется функцией в = !(г) в плоскость, разрезанную вдоль отрезка [ — 1+ е', Ц, где а' — некоторое положительное число. Предположив, что з' ~ е, также приходим к противоречию. Следовательно, точка г = — 1 также будет притягивающей неподвижной точкой и на интервале ( — 1,а) неподвижных точек нет. В том случае, когда на открытой кривой Г имеются только две неподвижные точки, отобразим область 6 на 6" так. чтобы зти две неподвижные точки были притягивающими. Это З М движение гяхиичных точек отовгхжхвмых овлхстеп 1О1 возможно в силу вышесказанного. Отображая теперь область О" саму на себя с помощью дробно-линейного преобразования при тех же заданных неподвижных точках, видим, что одна из них будет притягивающей, а другая — непритягивающей, Этим теорема доказана.
Следствие 1. Если Р и Я вЂ” концы кривой Г, то при наличии на открытой кривой Г трех неподвижных точек А, В, С все точки полузакрытой кривой (Р, В) (т. е. содержащей точку Р и не содержащей точки В), кроме точки А, и все точки полузакрытой кривой (В, Я), кроме точки С, получают ненулевые смещения в направлении к точке А и соответственно в направлении к точке С. С л е д с т в и в 2. В случае, когда па открытой кривой Г имеется только две неподвижные точки А и В (если для определенности считать притягивающей точку А), все точки полузакрытой кривой (Р,В), кроме точки А, получают ненулевые смещения в направлении к точке А, а все точки открытой кривой (В, О) получают ненулевые смещения в одном и том же направлении по отношению к точке В. Следствие 3 (о закрепленном конце).
Если конец Я кривой Г закреплен и на открытой кривой Г имеются две неподвижные точки А и В, то все точки полузакрытой кривой (Р,В), кроме точки А, получают ненулевые смещения в направлении к точке А, а вса точки открытой кривой (А, Я), кроме точки В, получают ненулевые смещения в направлении от точки В.
Следствие 4 (о закрепленных концах). Если концы Р и Я кривой Г закреплены и на открытой кривой Г имеется неподвижная точка А, то все точки открытой кривой Г, кроме точки А, получают ненулевые смещения в направлении от точки А. Следствие 5. Пусть 6' — область, содержащая односвязную область О и имеющая с О частично общую границу в виде нескольких жордановых кривых.
Если при отображении О на О* на одной из этих кривых имеются три или только две неподвижные точки, то на каждой другой нз этих кривых может быть не больше одной неподвижной точки, и если такая точка имеется, то она притягивающая.
Теорем а. Пусть О и 0' — односвязные области, частично содержащие друг друга и имеющие в качестве общей части границ только две жордановы кривые. Тогда, если на одной из этих кривых имеется неподвижная точка, то на другой из них может быть не больше двух неподвижных точек, и если такие две точки имеются, то одна из них притягивающая, а другая отталкивающая.
В самом деле, отображение 0 на 6' с тремя неподвижными точками можно получить путем выдавливания той части гра- 1ОВ ихпогихя еильтгхция под соогкжвниями [гл. гн пицы О, которая находится внутри О', и путем вдавливания той части границы 6, которая находится вне О'. При этом по предыдущей теореме из двух неподвижных точек, лежащих на одной и той же жордановой кривой, одна будет притягивающей, другая отталкивающей и никаких других неподвижных точек на данной жордановой кривой быть не может.
С л е д с т в и е (о свободной средней точке) . Пусть границы односвязных областей 6 и 6' составлены из общей им жордановой кривой Г и соответственно из жордановых кривых у и у", пересекающихся в некоторой точке Р. Тогда при отображении 6 на 6' при условии, что концы кривой Г закреплены и одна из точек открытой кривой остается неподвижной, точка Р получает ненулевое смещение вдоль кривой у" в направлении к ее концу, подходящему к границе области 6 изнутри.
Рассмотрим несколько простейших следствий из приведенных выше теорем (Положий 1953 — 1955). Пусть имеем движение грунтовых вод под гидротехническим сооружением произвольного очертания (рис. 55) с водоупором произвольной формы А0, с границами водоемов АВ и С0. Точки А и 0 могут быть и не в бесконечности. Граничные кривые пусть будут кусочно-гладкие. Обозначим через 6 область движения АВС0А. Пусть 6,— область с теми же вершинами А, В, С и О, но полученная из 6 путем деформации некоторых границ, которые заменяются кусочно-гладкими кривыми, лежащими частично или полностью внутри О. Тогда имеет место Теорема 1.
При неизменном напоре расход уменьшится, если деформированы (вдавлены) непроницаемые границы ВС или А0, и увеличится, если деформированы границы водоемов АВ или С0. В самом деле, пусть д~ — образ О~ на плоскости комплексного потенциала м. Отобразим прямоугольник д~ на нижнюю полуплоскость Ь при неподвижных точках Ь = — 1, 1, !/й.
В силу теоремы о движении граничных точек точка ~ = — 1/л приблизится к точке ь = — 1 при изменении ВС или 0А и удалится от точки ь = — 1, если изменяются АВ или С0. В первом случае С/ уменьшается, во втором — увеличивается. Теорем а 2. Прн неизменном напоре Н величина вектора скорости фильтрации на общей части границ областей О и 6, уменьшается вблизи точек В и С, если 6, получается нз О изменением непроницаемой границы ВС, и уменьшается вблизи 0 и А, если изменяется водоупор А0.
Действительно, пусть д",— образ О на плоскости г». Пусть область О, получена из О заменой ВС. Отобразим д', на О* при неподвижных точках В', С', 0", При агом В' и С* будут притягивающими точками. йп плОскнн ФлютБет Б слОе кОнечнОЙ Глубины 1оз С лед с т вне. Если при изменении ВС некоторые части ВВ' и С'С остаются общими для б и Он то давление во всех точках ВВ' увеличивается, а во всех точках С'С уменьшается. В частности, из изложенных предложений вытекает, что если в границе водоема нижнего бьефа сделать выемку, то выходные скорости, т.
е. скорости вдоль границы нижнего водоема вблизи точки С, уменьшатся (при этом Я увеличится). Выходные скорости уменьшатся также, если на границе верхнего бьефа устроить бугор (расход при этом уменьшится). В другой форме вариационные принципы и их применение к задачам о напорной фильтрации даны М. А.
Лаврентьевым (1946) (см. также Лаврентьев и Шабат 1973). Б. ФильтРАция пОд ФлютБетАми й 7. Плоский флютбет в слое конечной глубины. Теперь мы перейдем к рассмотрению отдельных групп задач о движении грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и начнем с задач об обтекании флютбетов. Простейшая задача такого рода — обтекание плоского флютбета в грунте бесконечной глубины — рассмотрена в 5 13 главы П. Теперь рассмотрим более сложный случай — обтекание плоского флютбета в слое конечной глубины (рис. 58).
Область Е О движения — полоса, которую нам нужно отобразить на РУХУ полуплоскость ~ так, как это изображено на рис. 58. С помощью формулы Кристоффеля — Шварца (2.!) получим Е о = — 1п ! . (7.1) м !+Ей Рис. 58. Пусть ширина флютбета ВС равна 21. Тогда при ь = ~1 имеем г= ~1 и 1= — 1п М !+Е 2е ! — е' (7.2) Далее, обход точки ~ = 11й в положительном направлении в нижней полуплоскости соответствует переходу с отрезка С17 нппоянля енльтялция под соояэжпннями 1гл, ьп 104 плоскости г на отрезок РЕ, что даст для !п(1 — Ц) приращение и1; следовательно, приращение г, которое мы обозначим через Лг, будет Х4 . Зги! Ьг= — ( — п1) = — —. 2/г 2и 2ит М=— л По формуле (7.2) 1= — 1п т 1+и л 1 — Й (7.2') Отсюда !и — = е ', й =11! —.
1+и —, п! ! — /г (?.3) В уравнении (4.3), связывающем 05 н Т, положим на этот раз 2К55 !",=эпи, и= — +К, ИУ тогда Т 1 + !54 Т 1 + 15 5П И з= — !п = — !п и 1 — йЬ и 1 — !55пи (7.4) Расход вычисляется по формуле (4.3): 2К ( 2Т)' (7.5) Формула (7.4) дает зависимость г от комплексного потенциала. Обращая (7.4), получим 2? ' Обратим внимание на выражение производной правой части равенства (7.4): ( 1+~ пи ! 2! спи 1 — 155пи l апи ' Выпишем разложение спи!Пп и в тригонометрический ряд Зпи 005— 2К 005 спи и ! 2К спи ИК ~ ИК ЗИК' — БЬ вЂ”, 2К 2К Коэффициент М, как это видно из формулы (7.2),— действительное число; следовательно, мы получили для Ьа чисто мнимое значение.
Это соответствует изменению мнимой части г, т. е. ординаты у, со значения у = О на значение у = — Т. Другими словами, Ьг = — Т!' и Мп! — Т5= —— 5 2й ви плоскин ФлютБет Б слОя кОнечнОЙ ГлуБины 105 Тогда, интегрируя по и, получим г в виде ряда Зли 5ли в!и— 2К 2К в1и Звн — 5вь— ЗЛК' 5ЛК' 2К 2К '" гк 2КФ 2К Здесь и= — „= — — (й+вс)). Отделяя в полученном ряде действительную часть от мнимой, найдем 4Т р в)и (ла') СЬ (лд') в!и (Зла') с)в (Злв') л $ виа Зви(За] 4Т ~сов(лй') ви(ло') сов(ЗЛЬ') ви(Злд') 7.7) виа 3 ви (За) + где Ь ~, 17 лК' л'= —, а= —.
Н' ' ИН' 2К Н 15 2Т л= — Р агсв!и —, й 2К „л) 2Т (7.8) Рис. 59. Для скорости найдем, дифференцируя (4.2) и (7.4), Л~ асс Л~ ~Н~ I 1 — )ввСв с(в оь ' ов 4вКТ ! — Св (7.9) что дает с помощью (7.6) для правой половины рис. 68: л! хНЛ сов 2Т ГЕ =и — (О 4КТ / л(1+ в) л(1 в) 'И ви 2Т вь 2Т (7.10) В частности, вдоль границы нижнего бьефа, где х=х) (, л1 сь— 2Т хНл О— 4кт 7 — „(1+) „(, 0 ''т/ 2Т 2Т По этим формулам можно строить сетку линий в)=-сопа( и й = СОПБ(. Напор вдоль флютбета получим, подставляя ь из (7.6) в (4.2) и полагая г=х: э н ФЛЮТббт ПРИ НАЛИЧИИ ДРЕНИРУЮШЕГО ОСИОВЛНИЯ !от н вдоль непроницаемого основания, где г = х — Т1, н! нНн '" 2Т чКт Т вЂ”, 1„+,> „1„!) ,~ с!! 2Т ск На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
