П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 14
Текст из файла (страница 14)
областей, в которых градиент напора меньше предельного и движение отсутствует. Если имеются две скважины в обычном потоке, то между ними найдется нейтральная точка, в которой скорость равна нулю. При наличии начального градиента вместо точки будет целая область, напоминающая бубновый туз, с точками возврзта в вершинах. Теория таких движений развита В. М. Битовым и др. (см. Бернадинер и Ентов 1975).
Б. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ПЛОСКИХ ДВИЖЕИИЙ 9 1О. Предварительные замечания. Рассмотрим несколько примеров движения грунтовых вод. При атом остановимся лишь на таких случаях, для которых точное решение получается сравнительно просто. Более сложные задачи будут рассматриваться дальше при помощи специальных методов математического анализа, разработанных различными авторами применительно к отдельным группам задач теории фильтрации. Движения грунтовых вод делягся на напорные, безнапорные и полунапорные, или напорно-безнапорные. Напорным движением в теории фильтрации называют такое движение, в котором нет свободной поверхности.
Таково движение грунтовой воды под гидротехническим сооружением, происходящее под влиянием разности напоров в верхнем и нижнем бьефах, или поток воды к скважинам в водоносном пласте, ограниченном непроницаемыми поверхностями. В напорном движении всегда сверху имеется твердая стенка, границы области движения бывают лишь двух типов: линии тока и линии равного потенциала. 74 плоские дВижения В ВВРтикхльнои плОскОсти 1гл. н $11. Дренажная щель на водоупоре. Будем искать е как функцнк> от оо = ф+ 1ор, причем зададимся простейшим (после линейного) видом функциональной зависимости, положив А ~2 (1 1.!) где А — пока неопределенная постоянная.
Посмотрим, может ли рассматриваемое течение иметь свободную поверхность. На последней должно выполняться условие равенства нулю давления ф + йу = О, равносильное условию (2.7) при сопз1 = О, а также условие, что линия свободной поверхности есть линия тока: ф = фо. Подставляя в правую часть (11.1) значения ф= — йу, ор=оро, получим х+ 1у А( — йу+ (фо)2. Отделение действительной и мнимой частей дает для действительного А х А (й~у~ — фо) у = — 2Аеф у. Для выполнения последнего из двух равенств необходимо, чтобы А ! ой"то ' (1 1.2) Тогда свободной поверхностью будет парабола (1 1.3) Теперь подставим найденное значение А в уравнение (!1.1) и, разделив в нем действительную и мнимую части, найдем зависимость координат х н у от функций ф н ор: х = — — (ф — оро), у = — — ~, 2 2 фф 22'то нфо (1!.4) Безнаиорным движением называется такое, в котором область движения ограничена сверху свободной поверхностью (или, по крайней мере, имеются промежутки высачивания). Наконец, полунапорнал фильтрация характеризуется тем, что фильтрационный поток сначала соприкасается с подземным контуром сооружения, а затем отрывается от него, образуя свободную поверхность.
Полунапорное движение имеет место под сооружениями, ниже которых имеется значительное падение уровня грунтовых вод, например под водосбросами и напорными бассейнами гидростанций. Полунапорные движения будут рассмотрены в главе Х. Нижеследующие 5 1! и !2 этой главы Посвящены безнапорным движениям, остальные — напорным. ДРЕНАЖНАЯ ШЕЛЬ НА ВОДОУПОРЕ 5 Н! 75 Прн !р = О линией тока является отрицательная часть оси х, так как при этом имеем, считая !рс ) О, у=О, х= — — (О. Ф 2АФа Другие линии тока получим, давая в (11.4) постоянные значения !р. Это — софокусные параболы с фокусом в начале координат (рис. 37,а). Рис. 31. Наконец, положив в (!1.4) Ф =О, получим эквипотенциаль у=О, х=— 2АФо Это часть положительной оси абсцисс.
Мы возьмем ее отрезок О<х( (— '. - 2А ' Тогда линии тока !р = О и !р = !рс —— () (1,! — расход дренажной щели) вместе с линией равного потенциала Ф = О образуют область движения, отвечающего притоку грунтовой воды из бесконечности к дренажной щели ОА (рис. 37,а), Эквипотенциали будут параболами, ортогональными к параболам — линиям тока. Длина отрезка дренажа ОА = с( связана с расходом Я равенством !2 = —. О 2А ' Следовательно, расход пропорционален ширине щели: 1;! = !Рс = 2й с(. (1 1.5) тб плоские движения в веетиклльнои плоскости [гл. и Приведенная задача была рассмотрена Ф.
Форхгеймером и И. Козени. Затем Н. Н. Павловский (!937) получил ее решение прямым путем, задаваясь граничными условиями на трех частях контура, ограничивающего обласгь движения, и строя годограф скорости, который, как нетрудно видеть, имеет вид рис. 37,б. Возвращаясь к уравнению свободной поверхности (11.3), возьмем на ней две точки с координатами (кьу,) и (хьу,) и подставим их соответственно в уравнение (11.3). Вычитая затем почленно полученные тождества, найдем для расхода вы- ражение У2 — У1 У; — Уг Я= — й =й 2(хр — х,) 2(х~ — х~) (11.6) Совершенно такая же формула для расхода получается в гид- равлической теории установившегося движения (см.
главу Х), где ее принято называть формулой Дюпюи (Рнрп!! 1863). й 12. Горизонтальная древа при отсутствии водоупора; изолинии грунтового потока. Этот случай получается из только что рассмотренного, если к области движения, выбранной нами Рис. 38. в 3 11, присоединить нижнюю полуплоскость (рис. 38). Все линии тока являются софокусными параболами. Для их построения нужно давать ф значения от фи до — оо, Помимо линий тока и линий равного потенциала, представляют интерес линии равного давления или изобары грунтового $121 ГОРИЗОНТАЛЪИАЯ ДРЕНА ПРИ ОТСУТСТВИИ ВОДОУПОРА' тт потока. Чтобы построить семейство изобар, вспомним зависимость между потенциалом скорости и давлением (1,2).
Принимая С1 — — О, ее можно переписать так: — + !2 'Р Р РЯ' откуда видно, что графическое сложение эквипотенциалей и линий у = сопз( дает изобары. На рис. 39 построено семейство изобар (сплошные линии) с помощью графического сложения эквипотенциалей (пунктирные линии) и горизонтальных прямых у = сопз!. Р 1РУ Рис. 39. Помимо ортогональной сетки, образованной семейством линий тока и линий равного потенциала, принято еще рассматривать семейство изовел или изотах, 2. е. линий равной скорости, и изоклин, т. е. линий, вдоль которых вектор скорости имеет одно и то же направление. Сетки изотах, как указал Н.
Н. Павловский, полезны для расчета суффозии, т. е. явления выноса мелких частиц грунта, которое в ряде случаев может приводить к авариям плотин. Возьмем логарифм комплексной скорости и разделим в нем действительную и мнимую часгн: !ПИ1 !й! п1 !+ 1'агу п1 = !и К вЂ” 1'б тв ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОИ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. и ()(7 — величина скорости, д — угол между вектором скорости и осью абсцисс).
Так как действительная и мнимая части 1пге являются гармоническими функциями, то линии 1П й' = сонэ!, д = сопв! образуют ортогональные семейства. Для рассматриваемого нами простейшего примера нетрудно найти уравнения нзоклин и изотах. Действительно, имеем на основании (1!.!) и (11.2): в = Ъ вЂ” 2йа'аг, ~ = — ~/ 2 Вэа аи '7 -2и ' Отсюда логарифм комплексной скорости 1и гэ=!п — — — — ~1п(г ~+(агс!й -!.
аа!аа ! ех 2 2 ~ При этом видно, что изотахи суть концентрические окружности г = сопз! с центром в фокусе парабол, изоклины — лучи, исходящие из фокуса (рис. 40). Рис. 40. Величина скорости равна коэффициенту фильтрации вдоль той окружности, которая касается свободной поверхности (в месте подхода этой поверхности к отрезку дренажа), В 1З. Плоский флютбет в слое бесконечной глубины. Рассмотрим теперь простейший пример напорного движения грунтовых вод под гидротехническим сооружением — обтекание плоского флютбета в грунте бесконечной глубины (рнс. 4!).
9 па плОскиЙ ФлютББт Б слОБ Бвсконвчнои ГлуБины 79 В этом случае можно построить решение по особенностям комплексной скорости ш = и — 1о, рассматриваемой как функция от г. В самом деле, на отрезках АВ и СА (рис. 41) имеем и = О, вдоль флютбета ВС имеем о = О; другими словами, гв прини- Рис. 4!. мает действительные значения на отрезке ВС, т.
е. при — 1( ( х (1 (ВС= 21), и чисто мнимые значения при ~х() 1. Рассмотрим функцию ~/1 — г. Она действительна при г = = х (1 и имеет чисто мнимые значения при г = х ) 1. Функция ~/1+г .действительна при г = х ) — 1 и чисто мнима при г = х ( — 1. Поэтому функция ~/ — г', принимая действительные значения на отрезке ( — 1,1), является чисто мнимой вне этого отрезка на действительной оси.
Нужно поставить естественное в данной задаче условие — обращение скорости в нуль на бесконечности. Тогда за ш может быть принята функция (13.1) гв .~(! ) (! ! ),~(~и га где М вЂ” некоторая постоянная. Выражение ш, как нетрудно видеть, удовлетворяет условиям: о = О при !х( ( 1 и и = О при )х! ) 1.
Но это не единственная функция, удовлетворяющая данным условиям. Так, можно было бы выражение (13.1) умножить на рациональную функцию с действительными коэффициентами, в которой степень числителя не превышает степени знаменателя. Например, можно взять за ш функцию (г — а)~ тl~' — и' (13.2) где и н л — целые числа, причем л м' лг.
80 ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ !ГЛ. !! найдем !э= !р+ 1!)! = Магез!п — + йГ. 1 (1З.З) Примем вдоль флютбета !р = О. Перепишем формулу (1.2), выражающую зависимость между потенциалом скорости и давлением, в таком виде: (13.4) Произвольная постоянная С! выбрана так, чтобы значение !р вдоль нижнего бьефа было равно нулю (атмосферное давление считается равным нулю). Вдоль грашщы верхнего бьефа имеем р = раН!.
Поэтому вдоль АВ, учитывая, что у = О вдоль верхнего бьефа, получим р= — й(Н! — Н,)= — йн, где Н = Н! — Н, — действующий напор. Теперь, полагая В (!3.3) г = ~1 и принимая во внимание, что в этих точках !р = О, а !р соответственно равно О и — йН, найдем Ао . г АН АН г сэ = — агсз!и — — — = — — агссоз —. и 1 2 л (!3.5) Отсюда для г будем иметь г 1соз —. АН ' (13.6) Однако функция (13.2) будет иметь дополнительные особенности в точках г = а н с; если же, например, а = 1, то при г =1 (в точке С) получается более сложная особенность, чем это отвечает нашей задаче: в то время как вектор скорости в этой точке (рис. 4!) должен поворачиваться на прямой угол, по формуле (!3.2) он поворачивается на угол п(от+ !/В).
Таким образом, чтобы задача была определенной с математической точки зрения, нужно задаться порядком бесконечности функции в особой точке. Если считать — 1< а < 1, то формула (13.2) дает функцию, имеющую особую точку прн г= а, т. е, на флютбете, При и = О, и = 1 эта особая точка — источник илн сток. Это замечание мы используем ниже, прн решении задачи о дренажной трубе под флютбетом (см. 3 15). В формуле (!3.!) нужно определить значение постоянной М. Для этого обратимся к комплексному потенциалу. Интегрируя уравнение 00! А! В !~1! ! 4 щ плОскиЙ Флютвет Б слОе БескОнечнОЙ ГлуБины З1 Разделяя здесь действительную и мнимую части, получим х = 1 сов ф'с(2 гР', у = — 12!и ф' з(2 гР", (13.7) где принято йн ' йн (13.8) Давая ф' постоянное значение гР" =грн получим линии тока— эллипсы с фокусами в точках ~- й х У 12 с1г2 ф 12 5Ь~ ф' При ф'= ф', получим эквипотенциалн — софокусные гиперболы 2 2 * 2 2 (13.10) ! 505 фг 1 51п фг На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
