П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Если прямую интерпретировать как окружность бесконечно большого радиуса, то можно сказать, что область ге ограничена дугами окружностей. Прежде чем перейти к примерам построения годографа скорости, рассмотрим вопрос о поведении отображающих функций вблизи Вершины угла. Это позволит нам составить представление о значениях скорости в угловых точках области движения и облегчит задачу построения годографа скорости. й 5.
Поведение скорости в угловых точках области движения. Допустим, что в состав границы области г, которую мы хотим отобразить на полуплоскость, входят отрезки двух пересекающихся прямых АВ и АС. Рассмотрим поведение отображающей функции вблизи вершины угла области фильтрации (рис. 25) (см., например, Рнзенкампф 1938, 2). При отображении угла ВАС на верхнюю полуплоскость плоскости ~ =$ + РО угол ла переходит в угол и. Будем рассматривать вместо е функцшо У = г"'.
Примеч ее аргумент равным эя поведение скогости в отловых точках 67 нулю при ~ = ~ ) О. Тогда при обходе точки ь= О на угол л в положительном направлении аргумент г получит значение ап, г приобретет множитель е""', а ггк — множитель ее', Поэтому (/ вдоль АВ будет иметь значение (7 = ео Таким образом„0 принимает действительные значения вдоль отрезка ВАС. В окрестности точки ь = О функция У аналитична, однозначна и непрерывна вплоть до действительной оси. По принципу симметрии (Смирнов 1974) такую функцию можно продолжить в нижнюю полуплоскость.
Следовательно, У будет Рис. 25. аналитической в точке ь = О и будет разлагаться в ряд по степеням ~, Так как она обращается в нуль при ь = О, то это разложение имеет вид у=г" = ад+ аьо+ ... =ь(а, +ад+ ...). Отсюда г = ь (а, + аоь+ а ь + ...) . Так как (а, +а,~+ ...) можно разложить в ряд по степеням ~, то получаем г=Е (йо+йд+Ь,~о+ ...).
(5.1) Если аналитическая функция вблизи некоторой точки ~ = ~о представима в виде обобщенного степенного ряда )(0=С-~о) ).йо+й~ — ~о)+бой — ~о) + 1 сходящегося в некоторой окрестности точки со, то говорят, что ~о есть регулярная особая точка функции. Таким образом, вершина в которой сходятся два прямолинейных отрезка границы области, есть регулярная особая точка функции, совершающей конформное отображение данной области на полуплоскость. 68 ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОП ПЛОСКОСТИ [ГЛ.
И Рассмотрим различные случаи угловых точек. 1. Угловая точка на непроницаемой границе. Вдоль этой границы ф = сопз1; следовательно, для комплексного потенциала точка ь = О, в которую мы переведем рассматриваемую угловую точку, при отображении на полуплоскость ь будет обыкновенной точкой, в которой будем иметь ы= С0+ СД+ СД + (5.2) С помощью (5.1) и (5.2) находим выражение комплексной скорости в виде (5.3) — =~'-'(ев+ЕД+ ...).
Из (5.3) видно, что если угол пи ( и, то скорость при Ь = О будет равна нулю; если угол больше и, то эта скорость обращается в бесконечность. 2. Угловая точка на границе водоема. Здесь вдоль ломаной линии р = сопз1, поэтому для ы точка ь" = О опять будет обыкновенной и скорость будет иметь вид (5.3).
3. Угловая точка на пересечении прямолинейной границы водоема и прямолинейной непрон и ц а е м о й г р а н и ц ы. Тогда в точке А комплексный потенциал меняет условие Кео> = сопз1 на условие !Гп Гэ = сопз! и его разложение около ь = О имеет вид а =ь'*(с0+ СД+ ...). (5.4) Из (5.1) и (5.4) получаем — '(со+ еД+ ...). (5.5) Из этого равенства видно, что если а ( Чм т. е.
если угол в точке А острый, то скорость будет равна нулю; если этот угол тупой, то скорость обращается в бесконечность. В случае прямого угла будем иметь конечное значение скорости. й 6. Примеры построения годографа скорости. Для безнапорного движения, т. е. движения со свободной поверхностью, бывает полезно построить годограф скорости. В этом параграфе рассматриваются примеры построения годографа скорости для земляных плотин. Поэтому приведем здесь несколько рисунков, дающих представление о форме существующих земляных плотин построенных в разное время в разных странах. На рис.
26 приведены профили некоторых земляных плотин средней высоты, причем отмечены размеры в метрах и уклоны эы ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ 59 откосов. Среди них отметим первую — Змеиногорскую плотину, построенную на Алтае в 1780 г. русским гидротехником К. Д. Фроловым. Для нее характерны крутые откосы, причем верховой откос представляет выпуклую (по отношению к плотине) ломаную линию. Согласно исследованиям предыдущего параграфа скорость в вершине этой ломаной линии равна нулю. Ниже мы приводим годограф скорости такой плотины (рис.
31). 1б В качестве примера высокой зем- САЪ 1б '=-;: ляной плотины на рнс. 26 приведена Мингечаурская плотина (в Азербайджане), ее наиболь- б шая высота 80 м, длина по гребню 1550 хс ос 1бб Возьмем в качестве примера простейшую плотину с наклон. ным верховым откосом С0 б (рис. 27), лежащую на непрони- р ' цаемом дренироваином основании ОЕ (Еà — линия дренажа).
В земляной плотине обычно б глубина воды Н в верхнем бьефе мала по сравнению с длиной ос- 1 д 1 б Т Г нования плотины Е. Предположим, что отношение Н к Е на- 7 столько мало, что перпендикуляр .д СУ к линии С0 в точке С пере- 0 1йб секает основание плотины 0Е (рис. 27). В этом случае депрессионная кривая должна иметь точку перегиба. Действительно, в СА гб 1:.~б противном случае депрессионная кривая вся лежала бы под пря- Рис. 26. мой СА(, что, очевидно, невозможно, так как вода, накапливаясь в теле плотины, должна иметь выход в дренажную щель ЕЕ. Обратимся к годографу скорости (рнс. 28).
Он ограничен согласно (4.6) окружностью из+ о'+ йи = О, соответствующей свободной поверхности, прямой, проходящей через начало коОрдинат и перпендикулярной к верховому откосу плотины, осью и, соответствующей непроницаемому основанию плотины, и, наконец, осью о, отвечающей линии дренажа. Учитывая наличие точки перегиба у депрессионной кривой, нужно провести надрез по дуге окружности. С увеличением Н/Е надрез СВ уменьшается и при некотором определенном значении Н/Е исчезает; при дальнейшем увеличении Н7Е появится надрез СВ~ вдоль примой 66 плоскив движения в ввгтикхльноп плоскости ггл.
и ВС. Это означает, что точка перегиба С, в которой величина скорости имеет наименьшее значение, дойдя до откоса, исчезнет, а вместо нее на откосе появляегся точка с максимумом скорости. С увеличением Н!1 эта точка будет перемещаться вниз по откосу, причем величина максимума увеличивается. 'Ркс. 28. Рис. 27. Вычисления для двух значений угла 0 показывают, что точка перегиба исчезает при значениях (Полубаринова-Кочина 1939, 3) Н вЂ” = 1,16 з!п 0 = 0,820 для 0 = —, К 4 ' — =1!98!п0=0 232 для 0= —.
Н = Л 1 1 16 ' Обычно в плотинах отношение Н!г'. имеет меньшие значения, чем только что приведенные, и поэтому, как правило, депрессионная кривая имеет точку перегиба. Рассмотрим еще пример изменения годографа скорости. На рис. 29 представлена симметричная плотина с наклонными откосами, угол между которыми 0 острый. Пусть Н, и Н,— глубины воды в верхнем и нижнем бьефах, !. — длина непроницаемого основания. Обозначим Н = Н, — Н,. Если значение отношения Н,1). мало, то точке перегиба свободной поверхности соответствует точка В на годографе скорости (рис. 30). При возрастании величины Н,(Е точка В стремится к точке С; затем вместо надреза СВ появится надрез СВь который прн максимальном подъеме воды перед плотиной перейдет в отрезок СВь причем часть СВсА первоначальной области годографа исчезнет.
При 0 = и/2 точки С и А на годографе скорости совпадут, надрез СВ, станет невозможным. Таким образом, при 0 = п(2 точка перегиба всегда существует, кроме предельного случая подъема воды перед плотиной. зи ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ГОДОГРАФА СКОРОСТИ 61 Если 8 ) и/2, то всегда, даже и при полном подъеме воды в верхнем бьефе, будет существовать свободная поверхность, на которой имеется точка перегиба. Годограф скорости всегда будет иметь разрез АВ по дуге окружности (так как точка С на годографе скорости в этом случае будет ниже точки А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
