П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 12
Текст из файла (страница 12)
При Н2 = О, т. е. при отсутствии воды в нижнем бьефе, точка Е годографа скорости займе~ положение Е, и верхняя часть годографа отпадет. й рис. 29. Рис 30. Если будем отодвигать основание плотины 0Р вниз в беско. нечность, то получим Н2 +Ос О~ Н2 Н,— При этом на годографе скорости разрез РЕР исчезнет.
Он исчезнет также, если, полагая с и Н, (или Н2) неизменными, устремлять Н, к Н, (или Н, к Н,). Но в этом случае движение стремится к покою, для которого годограф скорости сводится к точке. Таким образом, здесь, как и в предыдущем случае, при стремлении к покою нарушается непрерывность изменения скорости. На рис. 3! дан годограф скорости плотины Фролова для случая отсутствия воды в нижнем бьефе. Если бы откос АВС сос2оял из одной прямой, то разрез А%В исчез бы.
Если бы угол АВС был больше и, в точке В скорость была бы равна Оо. На рис. 32 представлена плотина на непроницаемом основании конечной глубины с горизонтальным отрезком дренажа 6Р; годограф скорости для нее дан на рис. 33. В бесконечно удаленных точках А и К скорость равна нулю, поэтому точки Л и К будут на годографе скорости в начале координат. Далее, вдоль АВ имеем и = О, о направлена вниз, причем увеличивается при движении от А к В. Так как в точке В имеем разрыв 62 плОские ДВижения В Веитикхльнон плОскОсти [гл. и в направлении скорости, то по свойству функции комплексного переменного и + гп может равняться в этой точке или нулю, или бесконечности.
В данном случае угол в точке В больше и, следовательно, и + ~и = со. Дальше вектор скорости меняет Рис. 31. направление, делаясь перпендикулярным к границе В0; на годографе имеем отрезок ВС0, причем С вЂ” точка, в которой скорость имеет наименьшее значение, а 0 — точка пересечения с Рис. 32. окружностью, которая соответствует свободной поверхности, Точке перегиба линии свободной поверхности Е соответствует на годографе скорости вершина кругового разреза Е, По дуге окружности мы должны дойти до точки Е и затем перемешаться вдоль оси и, так как вдоль отрезка дренажа Еб скорость направлена перендикулярно к отрезку.
В точке 6 скорость обра- твгугольник Филътяьции й 7. Треугольник фильтрации. Под треугольником фильтрации будем понимать треугольник (Ризенкампф 1938, 1), построенный на векторах, которые получаются, если взять градиент от обеих частей уравнения Р— Ра =й — у. т Это уравнение вытекает из (1.2), если положить где у — объемный вес жидкости, р,— атмосферное давление. Получим — Пгад Р= йтад Ь вЂ” 1, ! т (7.1) где / — единичный вектор, направленный вверх по вертикали.
Такой треугольник изображен на рнс. 34. щается в бесконечность, меняя направление при переходе на отрезок 6К. В бесконечно удаленной точке К, как уже сказано, скорость равна нулю. Вдоль непроницаемого основания скорость направлена вправо, принимая в некоторой точке Ь максимальное значение, изображаемое на годографе скорости отрезком КЬ. Всей линии АК соответствует на годографе скорости отрезок АЕК, проходимый в прямом и обратном направлении (Полубаринова-Кочина 1940, 3). 7Г На рис.
33 имеем двулистную область, так как часть плоскости (и, о) покрыта А с два раза областью изменения перемен- ь" ной и + гш Когда идем в плоскости г вдоль контура АВ0, то область движения остается справа, на годографе же скоро- Ю сти при этом область находится налево от конгура (так как и+го является функцией от г, а не от г), что изображено Р штрнховкоп вблизи контура, Рассмотренные примеры показывают, гу что построение годографа скорости, вообще говоря, сложно; поэтому желатель- Рис. 33. но при решении задач обходиться без годографа скорости. Такие методы в применении к некоторым задачам будут указаны в главе гг1. 34 плоские движения в всгтикхльноп плоскости 1гл. и Равенство (7.1) можно представить в другом виде, умножив его почленно иа коэффициент фильтрации й и приняв во внимание, что — й йтаг( й = п, (7.2) где и — вектор скорости фильтрации.
Тогда й и = — — цгиа р — йу'. т Рассмотрим плоскость годографа скорости. На ней пунктиром построена окружность и'+ о'+ йо = О, соответствующая свободной поверхности грунтового потока. Из Рис. 33. Рис. 34. рассмотрения рис. 85 видно, что на свободной поверхности векторы и и (й!у) цгад р ортогоиальны. $8. Силы, действующие на частицы грунта.
В вопросах прочности и устойчивости гидротехнических сооружений важное значение имеет изучение силового воздействия воды, протекающей в грунте под сооружением, Задача эта рассматривалась многими учеными: Н. П. Пузыревским, Н. Н. Павловским, К. Терцаги, Н. М. Герсевановым и др. При этом вопрос о физической природе фильтрационных сил вызывал дискуссию (Рельтов, Чугаев и Вяземский 1949). Здесь приводится изложение в форме, данной в работе Б. К. Ризенкампфа (1938, !).
Выделим единицу объема пористого тела и найдем равнодействующую г" сил, действующих на твердые частицы этого объема. Эта сила может рассматриваться как геометрическая сумма следующих сил: 1. Вес г", сухих чагзиц выделенного объема. Эта сила на- правлена по вертикали вниз и равна по величине произведению $8! силы, деиствующиа нх частицы !угнтл 66 пу!, где у! — объемный вес материала частиц, л=! — т— объем твердых частиц в единице объема пористого тела.
Таким образом, можем написать, обозначая через ! единичный вектор, направленный вверх по вертикали, равенство Р, = — — лу!~. 2. Сила Р! давления воды на твердые частицы в единице объема пористого тела. Так как действие давления на единицу объема пористого тела равно — йтабр, то для Рз имеем Рз= — лдгад р. 3. В качестве третьей силы Б. К. Ризенкампф рассматривает силу Гз — увлекающее действие фильтрующейся воды на твердые частицы, заключенные в единице объема пористого тела. Это действие равно и противоположно сопротивлению вдиннцы объема пористого тела. Сопротивление же, отнесенное к единице массы воды, определяется равенством Так как масса воды в объеме грунта, равном единице, равна тр, где р — плотность воды, то получаем Г,= — тр)т= ~~ в. у ь Величина Рз носит название фильтрационной силы.
Геометрическая сумма Рь Р, и Гз дает равнодействующую Г= — пу!7 — и пгад р+ — "' и. и!т ь Преобразуем полученное выражение двумя способами, используя уравнения (7.!) и (7.2) и исключая с их помощью один раз р, другой раз ьч п(у! у) Ь У й Г = — агаб р — уо!. Здесь введено обозначение уо = ту+ пуо Величина ув представляет вес единицы объема пористого тела с заключенной в нем водой.
Силу Р можно построить с помощью диаграммы рис. 36, на которой даны оба указанных представления Г. 3 и. я, г!од!баринов~ кочи1!а 66 ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ, П Вектор Р можно представить через силовую функцию Г = — уй — и (у1 — у) н = — р — у,у+ сопзг в виде Г = пгаб 'г'. Нетрудно убедиться в том, что к' удовлетворяет уравнению Лапласа.
Все приведенные в этом пункте рассуждения годятся как для плоскости, так и для пространства. В случае плоского движения, кроме функции Р, можно ввести функцию О, гармонически сопряженную с Р', так что и+ г =-,у — п~у, — у) .
Линии Р'= сонары суть линии равного потенциала силы г", уравнение У = сонары определяет силовые линии поля силы )Р. Если жидкость находится в покое, то О = О и 1Р 1 =п(Ъ вЂ” у), что выражает закон Архимеда: сила, действующая на грунтовый скелет, равна весу скелета, уменьшенному на вес вытесненной им воды. Если давление в жидкости постоянно, то она движется лишь под действием силы тяжести. В этом случае ~Р, ~=уа —— гпу+пуи дтхд дац — + — д+ Р„=О, да» дтха — + — +Р„=О дх ду где Рх= —, дк дх ' т.
е. к весу грунтового остова присо. единяется вес воды в порах. Б. К. Ризенкампфом указана воз. можность вычисления напряжений в грунте, через который просачивается вода. Если обозначить через о, и а„ нормальные напряжения на площадках пористого тела, перпендикулярных к осям х и у, а через т„„ — касательное напряжение на этих пло1цадках, то на основании уравнений равновесия сплошной среды будем иметь Если пористое тело подчиняется закону Гука, то, вводя функцию напряжений Ф(х, у) с помощью уравнений д'Ф д'Ф даФ о = — — )г т = — —, о= — — )г ду' ' "" дхду ' а дх' найдем, что Ф удовлетворяет бигармоническому уравнению д'Ф д'Ф д'Ф вЂ” +2 дхг дхздуз ду1 + — = О. $9. Уравнения движения при нелинейных законах фильтрации.
Теория этих уравнений развита в работе С. А. Хрнстиановича (1940). Как было уиазано в й б первой главы, движение грунтовых вод в общем случае подчиняется зависимости вида (9.1) 1'= Ф (йг), связывающей гидравлический уклон У = — дйгдз со скоростью фильтрации йг. Рассмотрим уравнения плоского установившегося движения Кгад Ь = — Ф (Кг)— )р йг или дй и дЬ о — — Ф (йг) —, — — Ф (йг)— дх йг' ду Яг ()гг /лз ! ,1) (9.2) Считая жидкость несжимаемой, присоединим к ним уравнение неразрывности ди до — + — =О.
дх ду (9.3) Введем обозначение йг Ф (йг) ' (9.4) Можно рассматривать условно К как коэффициент фильтрации, зависящий от скорости. Исключая Ь из (9.2), получим д(К) дЩ (9Л) ду дх Вместо и и о можно принять в качестве новых функций величину вектора скорости %' и угол его с осью абсцисс О: и )р соз О, о = )р' з!и В. Тогда вместо (93) и (9.5) получим такую систему уравнений: сохо — -)-з!пб — — )р'з!об — + Кг сов б — =0 дйг . дВ' . дб дб дх ду дх ду Ф' (ЧГ) (з!п б — — сов б — ) + Ф (йг) (соз Π— + з!п Π— ) = О. (9.6) 4з1 уравнения движения ппн нелннеиных 3АкОнАх 67 68 плоские движения в вептиклльнои плоскости !гл.
и Из уравнения неразрывности вытекеет существование функции токе ф — та- кой, что (9.7) Пусть имеем некоторую функцию Р(х, у) координат х, у. Если введем новые независимые переменные й н ф то получим на основании (9.2) такие выражения: (9.8) д0 Ф(йг) д(Р дд йГФ'()Р) дйт — — — — О, — + — =О. дф Ю'з дд ' гдй [Ф (йт)]' дф (9.9) Прежде чем идти дальше, рассмотрим вопрос о приведении системы квазилинейных уравнений к каноническому виду.
Пусть дана система (9.1 О) коэффициенты которой а~ь, Ьы и ез суть функции от х, у, и и о. Для нахождения уравнений характеристик присоединим к уравнениям (9.!О) уравнения (9.11) Будем решать систему уравнений (9.10) — (9.!1) относительно производных ди/дх, ди/ду, до/дх, до/ду. Для этого перепишем (9.11) так; (9.12) Обозначим ду/дх через Л и подставим значения (9.!2) в (9.10), Получим систему двух уравнений, линейных отиоснтелыю ди/ду н до/ду: ди до — — аы— дх дх ди Ыо — — азз— дх дх Отсюда найдем до йо ду а ди йа ду Д' — — о — йтз)п0, — =и йгсоз0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
