П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 13
Текст из файла (страница 13)
дф дф дх ду дР дР дР— — Ф ((и) сов 0 — — йхз!п 0 —, дх дй дф' дР дР дР— — Ф (В') зш 0 — + йт сов 0 —. ду дй дф' С помощью этих формул система (9.6) приводится к виду ди до ди до а~1 — + аы — + Ь~~ — + Ь!з — еп ~] дх дх дУ ду ди до ди до аз~ — + азз — + Ью — + Ьзт — е» ) дх дх ду ду ди ди до до Ни — Нх + — Ыу, до = — Нх + — Ну. дх ду ' дх ду ди ди ди ду г)о г!о до ду дх дх ду дх ' дх Нх ду дх ' ди до (Ьп — а~ ~Л) — + (Ьы — аыЛ) — = е~ — а~1 ду ду ди до (Ьм — аз~Л) — + (Ьзз — а,зЛ) — ез — аз~ ду ду 1 (9.13) ) йз) НРЛВНЕННЯ ДВИЖЕНИЯ ПВН НЕЛННЕИНЫХ ЗЛКОНЛХ 69 где Ь» — а~~Л Ь» — а»Л Ьгг аггел Ьы — аыЛ ~ ди г1о е> — агг — — а:г — Ьы — аггЛ дх ' дх ли = ди до эг — аг! — — аы — Ь гг — игал дх дх ди до Ь» — а»Л е, — ໠— — а»вЂ” дх дх г1и до Ьгг — аыЛ ег — аы — — аы— дх дх а„агг игг игг ! Е, получим такие уравнения: АЛг+2ВЛ+С О (Е+ АЛ) +0 +М+ ЛгЛ О ди г1о дх ах Решая первое нз них относительно Л, будем иметь В ч(Вг — АС Л= — — ~ А А (9.14) В' — АС(О, то говорят, что данная система эл,гипгического типа.
Предполагая это условие выполненным, положим Лг Р+ 1С), где В Ч1 АС вЂ” Вг Р= — —, ()= А' А Можем написать уравнения характеристик в виде ду=Л~ дх, (Е+ ЛгА) да + 0 г1о+ (М+ Лгл~) дх = О, (9.15) (9А 6) Допустим, что найдено некоторое решение системы (9.10) и = и(х, у), о = о(х,у), г(ля определенна характеристик, отвечающих этому решению, подставим в Р и 1',) вместо и и и их значения и(х,у), о(х,у) пусть обжив Уравнения характеристин получаются из условия, что вдоль них не сушествует единственного решения для ди1ду, догду, т.е.
из уравнений 6=О, а„ = О, Л, = О. Одно из этих уравнений есть следствие двух других. Раскрывая определители Л и Л и вводя обозначения 70 плоские движения в вептикдльиои плоскости !гл. и интеграл (915) будет Н(х,у)+(т(х,у) = сопз(, Дифференцируя это соотношение и используя [9.15), найдем — (Н+ /т) + /Р+ !/~) — (Н+ !т) = О. д д дх ду Разделение действительной и мнимой частей дает — + Р— — !2 — = О, — + Я вЂ” + Р— =О, (9,17) дН дН дт дт ВН дт дх ду ду ' дх ду ду Рассмотрим снстему уравнений (9.10) и (9.17), принимая за независимые переменные Н и т, а за искомые функпии х, у, и и о.
Формулы перехода будут иметь вид дн 1 ду дх Л дт' дН 1 дх дч 1 ду дч 1 дх (Олв) ду /Ь дт' дх Л дН' ду Ь дН' где Сделаем замену переменных в (9.17) и (9,!0), причем в последних уравнениях производные ди/дх, ди/ду, ... заменил~ через производные по Н и ч с использованием соотношений (9,17) и (9.!8). Получим систему — +Я вЂ” — Р— =О, ду дх дх др дт др —" — )7 — й( —" + /у — ", ~ (9.19) дч дН дН дН' ди до дх ду дн дт дт дт ' которую можно назвать канонической системой. В ней х, у, и и о являются функциями параметров н и т. Решение этой системы при отличном от нуля определителе Л будет также решением исходной системы. Полученная система не меняется, если заменить Н и т переменными н» и тэ, где Нэ+ !тч = /(Н+ Ьт) — аналитическая функция.
Если уравнения характеристик допускают интегрируемую комбинацию, т. е. если существует соотноц~ение Р (х, у, и, о) + ! у (х, у, и, о) сопз1, справедливое в силу уравнений (9.15) и (9.!6), то, если принять Р и д за новые неизвестные вместо х, у или и, о, два уравнения системы будут уравнениями Коши — Римана, т. е.
р + еу будет аналитической функцией Н + вв Вернемся теперь к системе (9.9). Вместо х, у, и и о в нее входит ф 6, Ит и О. Каноническая система с параметрами и и т будет для системы (9.9) иметь такой вид: дф йт Ж' Ф' (йу) дй — +— — 0 дт Ф (йу) Ф ()У) дН Ф' ()У) дйт дб — — — =О, йг Ф (Яг] дт дн ду дх дх — — Р— — !2 — =0 дт дт дн + ч/лс — в' 2 дн — — — ч/лс — вз 2 дт дф йт /Ф'Ф'(йт) дй — -'! дН Ф (%') )/ Ф ()Р) дт ~/ Ф' (Гг') д)Р' дб !Р' Ф ()г') дН дт (9.20) й В) УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НРИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭАКОНАХ 71 Вместо функции )Р введем финтивную скорость фильтрации Ит' н переменную 5 с помощью равенства (9.21) (при у = 1 величина Ь обращается в закон в закон Дарси). Теперь можно переписать систему д )п )Г" дб — О, дт др дЬ дф — = — Е— др дт' коэффициент фильтрации, а степенной (9.20) так: — О др дт (9.22) где Е св — ~~/, „= 1, ()У').
ф (Иг) / ф ()У) )У 'т/ (УФ'(Ит) Для степенного закона Игт-1 Ьт/у ' (9.23) С помощью формул (9.8) можно найти производные от дх совб дх в!пб ду в!пб дЬ Ф()У) ' дф Ф ' дЬ ф()У) ' х и у по Ь и ф: ду сов б дф У Отсюда для х и у найдем выражения в виде криволинейных интегралов сов 6 в!п 6 х 3 Ф (Ит) дЬ + — дд, з!и О сов б у = — — с!Ь вЂ” — М.
3 Ф(йг) !г' Рассмотрим условия на границах области движении (подробнее об этих условиях см, в 5 2 главы П). Вдоль пряыолннейных непроницаемых стенок ф = сопв1 и О = сопвй Вдоль прямолинейной границы водоема Ь = сопв1, 6 = сопв1, Вдоль свободной поверхности ф = сопв( и давление постоянно, т.е.
р = ру(Ь вЂ” у)= соней Дифференцируя последнее равенство вдоль свобод- ной поверхности, получим дЬ дЬ ду ду ф (Ит) о' Ф ()Р) о дх ду дх дх )У и )г' и И О, или Ф(йт)+ в!п О = О. Получаем некоторую замкнутую кривую на плоско- сти и, и. Вдоль промежутка высачивания — отрезка прямой под углом бз к оси х — имеем постоянство давления. Дифференцируя вдоль этого отрезка уравнение р = сопв1, получим дЬ дЬ !Иб,— 199,=9, дх ду или и + о — 1И б„+ 19 Во = О, ф (Ит) Ф ()р") Для закона Дарси Ит' = гйт (с — постоянная интегрирования), для степен- ного закона / = Итт/Ь 72 ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬИОИ ПЛОСКОСТИ !ГЛ.
П что можно привести к виду Ф ( йт) соз ( — Вз) + з!и Вз —— О. При решении конкретных задач рекомендуется на плоскости р, ч рассматривать область, соответствующую движению, удовлетворяющему закону Дарсн, и затем искать поправки на отклонение ат этого закона. Примеры. Система уравнений (9.2) — (9.3) легко интегрируется в случае одномерных движений. Так, для осесимметричного движения й = Ь(г), йг = )г"(г), где г — расстояние от оси симметрии, причем скорость направлена по радиусу-вектору, имеем из (9.3) — (йгг) = О, (9.24) г!г (р' =— () 2пг где 0 — постоянный расход.
Нэ (9.2) тогда получаем (Нумеров 1969) Ь(г) = — ~ Ф ( — ) г!г+ сопя!. l 1,! 'ч 2пг г' (9.26) Случай Ф(йг) (а+ Ьйг) йг соответствует квадратичному закону фильтрации йгаб Ь = — (а+ Ыг) %' (а > О, Ь эО). (9.26) Для точечного стока согласно (9.24) получим )йгабй)=(а+ )— Ь)!)! (9.27) Этот пример был использован С Н. Нумеровым (1969) для иллюстрации сходимости предложенного им метода последовательных приближений при решении системы асад Ь = — (а+ Ьйг) )г, д!ч йг=О. (9.26) Метод Нумерова состоит в следующем. Решаем уравнение (9.26) относительно Ж'.
)р 2 ! Егаб ь ): ! а (1 +,ччг 1 + —, ! Егаб й ! )1. (9 29) 4Ь йг= — Лйгайй, Л=2: ! а(1+,ч 11+ —,!Ягабй (Я, (939) 4Ь В исходном приближении (асад Ь! в выражении величины Л принимается таним, кзк в случае фильтрации по закону Ларси. Далее, решая уравнение д!ч (Л пгад Ь) = О, (9.31) найдем первое приближение Й,(х, у, г).
Подставляя в выражение для Л (936) вместо )дгабй! величину )дгабй,), найдем во втором приближении Ь,(х, у, г] и афтаб Йз и т. д. ТК В. Соколовским (1949) рассмотрен частный случай, когда Ф()р)= Ь ~/! ("')т Так как скорость направлена противоположно градиенту напора, то можно положить предварительные замечания й Ю1 Это соотношение, выбранное из соображения иитегрируемости уравнений характеристик, может на некотором интервале значений йг дать оценку решения в случае отклонения от линейного закона фильтрации. Если в системе (9.20) положить где Я определяется формулой (9.21), то вместо системы уравнений (9.20) получим такую систему: Ф'(йг) дф дь )РФ'(йг) дйг+ дв — — — — О, Ф дф аЬ д0 ддйг (9.32) в которой независимыми переменными являются %' и О. Это соответствует преобразованию годографа, примененному С.
А. Чаплыгиным в теории газовых струй. Уравнение (9.32) оказалось удобным в задачах о фильтрации с начальным (предельным) градиентом. Для фильтрации вязкопластических жидностей или воды в глннизированных породах принимают (Ентов 1967) Ф(Ш) йг+Х при йг>0, О~Ф((Р)~Х при Яг О, Особенность фильтрации с предельным градиентом — возможность образования застойных зон, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
