П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 8
Текст из файла (страница 8)
1 дл,, ря 4)т дх 4р (11.3) В этих формулах / — градиент напора, равный дй 1 дЛ / Л )' дх рд дх Х рй )' (1!И) $ 11. 0 филырационных аномалиях в пористых средах. Мы уже говорили в 3 3 о молекулнрно-поверхностных силах на границе соприкосновения жидкости с твердым телом. В жидкости могут также наблюдаться аномальные явления под влиянием коллоидных частиц и частиц или молекул других поверхностно-активных веществ, которые могут образовывать определенные решетчатые структуры в микрообъеме.
В вязкой жи!(кости поверхностные силы имеют кроме нормальной и касательные составляющие. Если движение происходит в плоскости хг параллельно оси х, то касательное напряжение или сила трения определяется формулой Ньютона (Кочин, Кибель и Розе 1963, 2) 40 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ !РЛ. ! Будем обозначать через $ как г, так н г. Тогда для силы трения т, действующей иа расстоянии й от оси х или от плоскости ху, имеет место равенство Т=Р ни рп7$ «э !+б' (11 6) причем б =- 0 для щели и 6 = 1 для трубки Вблизи твердой стенки, прн й = Я, имеем т и При движении жидкости в пористой среде следует учесть добавочное сдвнговое напряжение т,, аналогично тому, как это делается для неныотоновск~х жидкостей в модели Бингама — Шведова (Рейнер 1947), и написать вместо (!1.5) такое уравнение: Р— — — +ты (и раув Н$1+б (1 1.6) тэ р А'(В).
(1 1.7) Это дает более широкие возможности рассмотрения различных аномалий движения жидкостей в пористых средах Автор, в частности, полагает, что основные аномалии проявляются в молекулярно-поверхностных взаимодействиях: жидкость — пористый скелет и жидкость — взвешенная частица поверхностно-антивного вещества. Из (11.6] можно найти положение экстремума скорости, полагая г(иЩ = 0: Рассмотрим два случая: 1) $ О, 2) $ = $ь где $~ удовлетворяет уравнению Рн А1($~) ((Ь ) <)7). рйу (11.8) Поведение иЯ) в точках $ = 0 и $ = фь в соответствии с физическими особенностями взаимодействия системы жидкость — пористый скелет, позволяет выделить следующие две основные группы жидкостей.
Г р у п п а А. Возле стенон трубки (нли щели) в некотором кольце (или в полосах) $~ ( )$) ( Й действуют силы сцепления, н здесь связанная зкндкость остается неподвижной. Во внутренней области трубки (или щели) жидкость движется так, что при в = 0 ее скорость максимальна, а при й = $, она обращается в нуль. Отсюда получается условие й((0) = О. Такому условию удовлетворяет, например, функция вида У(Е) а)т( — ) (л >0) (11.9) (М. А. Саттаровым (1972, 1973) рассмотрен также случай М(Е) = айте~!).
В книге М. Рейнера (1947) тэ рассматривается как постоянная, н после интегрирования (11.6) для средней скорости движения получается так называемое уравнение Букингема — Рейнера (см ниже уравнение (!1.22) для вязкопластических тел). М. А. Саттарав (1972) предлагает обобщить равенство (11.6), считая тэ функцией от $: 4 и! оильтпаиионныв аномалии в попистых спицах 41 и (г„— я ) + ~ йг ($) ~(й. (11.10) Расход через площадь поперечного сечения трубки радиуса )т или щели единичной длины с раскрытием 2)т определяется по формуле О (2п) ~ ия~ г($ (Ь О, 1), ( 1 1 . 1 1 ) 1, !6-1) а для снорости фильтрации, которую можно записать в виде о = оО: [л~а~+' (2 — Ь)) (б = О, !) (о — эффективная пористость), получается выражение о й~ (У вЂ” У~), (ПЛ2) причем из (!1.11) можно получить 26орйт,', (1+6)з(З+Ь) р' 6 Ь (1 -1- ЬР (9 -1- Ь) (2 — Ь) рава+" С возрастанием напора У активная ширина просвета $ь а следовательно, и величина У, должны увеличиваться.
Если $, )т, то имеем я я у э у (! + Ь) (й + Ь) и ~ сз ~ )у ( и (2 Ь) У)6+з !6-1) и Пщ й, й сопаб 1,-ья (11.14) При дальнейшем увеличении У картина движения сохраняется до достижения неноторого значения У,р — критического градиента, при котором ламинарный характер течения нарушается. Для т'(я) вида (П.О) получены такие формулы для скорости филет. рации: ч+! о 6[У вЂ” Ь', У ) при Ул(У<Уча, б+3 в+6+2 (1! Л 5) (1! .)б) где !1 + 61 На, 2 ряой' ря ' )1+ОН(О+ Ь) !ь Условие максимума скорости в точке $ = О, г.е, условие ЫзиЩз ( О прп я = О, требует выполнения неравенства л > !.
При этом й!(а] будет вон растающей функцией. При выполнении условия прнлипания и($,) = О для сиорости получаем 42 Физические и мАтемАтические ОснОВы теОРии (гл. 1 Группа Б. Течение жидкостей этой группы начинается сразу во всей трубке, причем средняя часть, в которой (б — 1)5~ < $ < кь движется с постоянной сноростыо (как твердый стержень), а жидкость в полосах или в кольце $~ <!К)< Й имеет максимум скорости прн )К)= $, и обращается в нуль у стенки трубки или щели, т.е. при )Е) = Я. Скорость в точке Е будет иметь вид и раУ 2(1+ б) р (72-Ь')-~)УВИВ 4 (1!.17) (при К1 <1Е ! < 77), о РнУ з 2 2(! +б) р ()72 — $ ) — ~ АГ(Е) с($ = сопя( Ь (11.! 8) У -ьУ (! + б) м )У (Ю 1 я ро (1!.19) Если $~ -ь О, то у у ( 1 + б ) Р ! 1 А ( Е 1 ) (11.20) Этот предел может не существовать, так как величина У1 должна увеличиЭатЬСя Прп $, -ь О. В ЧаСтНОСтИ, ЭтО будЕт дЛя АГ(К), ИМЕЮЩИХ Внд (!1.9) При и <!.
м. А. саттаров (1972, 1973) показал, что для Аг(к) вида (!1.9) скорость фильтранни через поперечное сечение трубки радиуса Й или щели ширины 277 можно представить в виде я+а+с 3+б и — 1 У Ух и+ О-)-2 и и+б-)-2 и ~У (11.2!) 2арй)72 (1 + б)'(3 + б) Р Отсюда при л = (1 — б)/4, т. е. прн л = 'У, для щели и и = О для трубки, получается формула Букингема — Рейнера (Рейнер 1947) (11.22) Интересна, что один и тот же результат получился для разных моделей; для трубки при постоянном предельном напряжении сдвига тэ = РА7 н для шелевой модели прн тэ = Мо)С(ЕЯ) '.
(прн )$! < $~) При этом х1 удовлетворяет уравнению (11.8). Из этого уравнения видно, что каждому заданному значению $, соответствует определенное значение У, Если К1-ь 74, то 1 !з1 уРАВнения движения гРУнтовых вод Если Уа(У достаточно мало, так что можно пренебречь его третьей степенью, то получим линейную форму зависимости о от У с начальным градиентом 3+6 УР Ув 1 б 1 2 УЯ в гг На рис. 19 построены графики зависимости РУА от У при движении в трубке (б = 1): для случая А сплошные линии по уравнениям (11.15) и (1!.16) при Ул= = 2 и для случая Б пунктирные РР линии по уравнению (!1.21) прн Уе = 0,2. Заметим, что кривые группы Б можно разделить на два типа: имеющие асимптоту— это случай — 2 ( л ( 1 (вязко- пластические жидкости), и без агнмптоты — это случай и ( — 2 (так называемые пластичные тела) . Предполагается, что в дей- РГ У,Р ствительности модель А имеет ,у место для чистых жидкостей, а модель Б — для вязкопластических тел и для жидкостей с неустойчивым структурным строением.
Рассмотренная выше модель С. Ф. Аверьянава (см Е 10) была бы частным случаем модели Б при Аг(1) = О, если предположить отсутствие движения во внутреннем ядре. Рис, 19 й 12. Уравнения движения грунтовых вод. Выше было сказано о том, что вода в пористых породах может находиться в различных состояниях. Мы будем заниматься вопросами движения гравитационной воды. В каждой из пор грунта происходит сложное движение с изменением скорости и ускорения по величине и направлению от точки к точке. Поры имеют различное направление и различную форму стенок, а потому в каждом выделенном объеме грунта должны иметься самые разнообразные по величине и направлению скорости. Поэтому невозможно рассматривать скорости отдельных частиц.
Правильнее было бы рассматривать средние значения скоростей в некотором объеме. В теории фильтрации принято рассматривать не скорости, а расходы через определенную площадку. Будем вектор расхода через единичную площадку обозначать через и. Если средняя скорость частиц некоторого объема есть и, то мы можем отнести ее к центру тяжести этого объема, координаты которого обозначим через (х,у,г). Примем вектор и имеющим составляющие с(х/Ж, г(у)Ж, г(ЕУВ. Тогда, обозначая порнстость грунта через о, можем написать е=ои, (12.1) 44 ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ (ГЛ, ! т.е. если составлЯющие вектоРа и обозначить чеРез и„, ею и„ то ду (12.2) В гидродинамике при выводе уравнений движения рассматривают ускорения частиц жидкости, которые выражаются через скорости так: дих дик дик дик дих — = — + — и+ — и+ — и ит.д. дг д! дх " ду а дх Уравнения движения отдельных частиц жидкости в порах можно написать таким образом: — — +/ 1 др р д, ! др — — +/, р ду 1 др — — +/.— а р да д'гх (12.3) дик Некоторое обоснование того, что можно отбрасывать конвективную часть ускорения (сил инерции), приводит С.
Н. Нумеров (!968). Он заменяет в уравнениях (12,3) скорости частиц на скорости фильтрации согласно (!2.!) и переписывает зти уравнения в векторной форме, присоединяя уравнение неразрывности (! 2.!6): спчо О, — — + —,(о. Т)о+КгадЬ+/(о)о= О. (12.4) ! де 1 уо дг уог Функцию /(о) хм г/о, выражающую закон сопротивления, он полагает равной (12.5) т.е. выбирает квадратичный закон сопротивления (при 6 О получим закон Дарси). далее С. Н.
Нумеров рассматривает два случая установившегося одномерного движения: 1) осесимметричное течение при наличии бесконеч. ного прямолинейного источника (или стока) и 2) радиальное течение с точечным источником (стоком). Случай !. Уравнения (12.4) принимают вид дН вЂ” (. )-Ц вЂ” + +уо'-О, ~ дг ! и 6+— 2дог ° (12.6) ЗДЕСЬ Р вЂ” ДаВЛЕНИЕ жИДКОСтИ, Р— ПЛОтНОСтЬ, Аг — УСКОРЕНИЕ силы тЯжести, ось е напРавлена ввеРх.
ЧеРез /„, /ю /, обозначены составляющие условных сил сопротивления, которые как бы испытывает частица жидкости в поре. Эти силы сопротивления зависят от внутреннего трения жидкости. Считая скорости их, мю и, и их производные по координатам малыми, произведениями их пренебрегают, оставляя в выражениях составляющих ускорения лишь члены дах/д!, дии/д!, ди~дй $1з1 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ГРУНТОВЫХ ВОД Здесь г — расстояние точек области движения от источника, Н вЂ” полный напор, равный гидравлн ~ескому только в пренебрежении квадратом скорости. Из (12 0) получаем ги = А = сопз(, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
