П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 9
Текст из файла (страница 9)
и = А)г, и аН аА — — — — ЬА=О, ди о что дает после интегрирования и' Н =й+ — =аА1пи+ЬАи+В йаи' (В = сопз(). (12.7) Для параметра Ь Линдквист ()нпдйтни 1УЗЗ) дал такую формулу. Ь= —, 20аат (12.8) где т( — средний диаметр частиц пористой среды Рассмотрим величину и' в= —: ЬАи, 2аиз (! 2.9) равную отношению члена в уравнении (12.7), обусловленного конвективной частью ускорения, к члену, обусловленному квадратичной частью силы сопротивления.
С учетом того, что иг = А, заменяя Ь согласно (!2.8), получим в= 40пгг . (12.! О) С л у ч а й 2 рассматривается аналогично. Для него г'и = Аз, Н А ЬАЪи аи 2 Ъуи 2 откуда из Н = Ь+ — = аА 1/и + — ЬАи'+ В, 2аиз 3 За 40и'г ' (12.! 1) (12.12) При этом уравнения (!2.3) становятся линейными. Теперь нетрудно произвести их осреднение по некоторому объему, достаточно малому, чтобы учесть изменения скорости от одного места движения к другому, но достаточно большому по сравненво с РазмеРами поР.
То~да можно бУдет под и„ии, и„Р, (ю (я, 1', Выражения (12.10) и (12.12) отличаются лишь числовым множнтелсы. Чтобы рассматривать фильтрующуюся жидкость как сплошную среду, мы должны считать, что элементарный объем этой среды должен содержать достаточно большое количество ее частиц, а тогда допустимые значения величины г должны быть значительно больше величины а. При этом е будет малой величиной, и конвективной частью ускорения в уравнениях движения можно пренебречь. Если мы принимаем закон Дарсн, пренебрегая квадратичным членом сопротивления, то вместе с тем можем в рассмотренных залачах отбросить н конвективные члены, йа ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ [ГЛ.
1 уоо $ дох /о — — — —. /, = — †. (12.13) й яох й считая, что коэффициент й сохраняез для неустановившегося движения то же значение, что и для установившегося, перепишем линеаризованные и осредненные уравнения (12.3) с помощью (12.13) и (12.!) в виде (Жуковский !889) 1 дох 1 др уох о д[ р дх й 1 дор 1 др уоо о д[ рда й 1 дох 1 др уох — й (12.14) о д[ р дх й Можно показать, что при реальных значениях коэффициента фильтрации (й = 1 — 100 м/сутки) членами, содержащими дифференцирование по времени, можно пренебречь, В самом деле, каждое из уравнений (12.!4) имеет вид (Ризенкампф 1938, 1) ! дУ 1 г йх — — =/ — — У Л=— о д[ Л Л У) Введем переменную с/ = У вЂ” Л/, выражающую отклонение У от Л/.
Получим 1 дд[[ Л д/ [[ о д[ о д[ Л' Если д//д! остается ограниченным при всех !, то член Л = = (Л/о)д//д! будет очень малым. Так, полагая й=!00м/сутки= = 1,864 м/сек и д =!О м/сок', получим Л !/8640 сек, и членом Л действительно можно пренебречь, если д//д! не очень велико (см. главу Х1). Остающееся уравнение дУ о — = — -и д! Л по интегрировании дает и=(/,— понимать их средние значения по объему. При этом под /„, /„, /, будем понимать составляющие сил сопротивления, полученйые из опыта.
Таким образом, закон Дарси можно истолковать как линейный закон сопротивления, т. е. такой закон, при котором сопротивление пропорционально первой степени скорости фильтрации. Запишем эту зависимость в виде 4 !21 грхвнения движения гггнтовых вод Правая часть здесь стремится к нулю настолько быстро что уже через доли секунды можно считать (7 = О, У = Ц, т. е. пренебречь членами 1 дик о д! Тогда уравнения (12.!4) можно переписать, введя гидравлический напор й, в виде и= — йдгаг(Ь (Ь = Р +г). (12.15) РЫ Линейные инерционные члены сохраняют только в отдельных случаях, например для вывода соотношений подобия.
Движения, в которых можно пренебречь силами инерции по сравнению с силами трения, называют по Стоксу (см., например, Прандтль 1951) палзуи4ими. В них обычно сопротивление пропорционально первой степени скорости. Уравнения (12.!4) содержат четыре неизвестные функции: о„ о„, о, и р. Присоединим к этим уравнениям уравнение неразрывности. Вывод его проводится так же, как в общей гидродинамике (Кочин, Кнбель и Розе 1963, !).
Выделяя элементарный объем пористой среды в форме параллелепипеда с ребрами Йх, Ну, дг и подсчитывая проходящие через него объемы жидкости (расходы), получим для случая несжимаемой жидкости уравнение неразрывности в виде (12.16) Это уравнение имеет тот же вид, что и в общей гидродинамике несжимаемой жидкости. Из соотношения (12.15) следует, что скорость фильтрации имеет (при постоянном й) потенциал Ч> (х, у, г) = — й ( Р + г) + С = — йй + С (12.17) (С вЂ” произвольная постоянная), так что в = йтаб ~р = — й афтаб Ь (й = — "+ г) .
(12.18) РЫ Из уравнения неразрывности следует, что потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа д'в д'~р д" <р (12.19) Глава !! ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ А. О ВШИ Е ВО П РОСЫ 9 1. Уравнения плоского движения. Уравнения плоского движения грунтовых вод можно нзписзть (при постоянном й) в виде (см. уравнение (12.18) главы 1) де да дф дз и= — = — и —, з= — = — й —, дх дх ' ду ду ' (1.1) если мы обозначим для простоты через и и о компоненты скорости фильтрации вх и о„. Принимая ось у вертикальной и направленной вверх, а ось х горизонтальной, будем иметь й= — "+у+Со р= — й( — "+д)+С,. (!.2) РУ РУ Если же ось р направлена вниз, то Из уравнения неразрывности ди дв — + — =О дх ду (1.4) вытекает, что существует функция тока $(х, д), такая, что дф и=— ду д1р о= —— дх (1.5) Сопоставляя (1.1) и (1.5), получаем дф дф ддф дф дх ду ' ду дх ' Согласно уравнению (12.19) главы 1 для постоянного й имеем (1.3) гглничныв головин в устлновившвмся движвнии 49 Это условия Коши — Римана (Даламбера — Эйлера).
Если они выполняются, то, как известно, линейная комбинация функций ~риф ьт=Ф+(ф (1.6) является функцией комплексного переменного г = х+ (у. функцию ы называют комплексным потенциалом. 6 2. Граничные условия в плоском установившемся движении. На рис. 20 представлен вертикальный разрез водосливной плотины, нормальный к оси плотины. Подземное основание ее, называемое флютбетам, состоит из понура 1, служащего для Рис. 20.
удлинения путей фильтрации под плотиной, водобоя 2, воспринимающего удары падающей воды и также удлиняющего пути фильтрации, сливной части или рисбермы 3, защищающей русло от размыва н обеспечивающей безопасный выход фильтрационных вод в нижний бьеф, и, наконец, шпунтов или зубьев 4, т. е. заглубленных в основание вертикальных стенок, служащих также для удлинения пути фильтрации. Понур в плотине может и отсутствовать.
Рисберма устраивается водопроницаемой, и при фильтрационных расчетах ее основание не включается в подземный контур гидротехнического сооружения. В глухой плотине, не пропускающей через себя воду, рисберма и водобой отсутствуют (Гришин 1962; Чугаев !974). На рис. 2! представлена схематично земляная плотина, через тело которой просачивается вода. При рассмотрении задач о фильтрации воды под гидротехническими сооружениями, в теле земляных плотин, а также прн просачивании воды в почву из каналов н т. п, мы встречаемся с четырьмя видами границ области движения (Павловский 1922: Ведерников !939). !. Непроницаемые границы. Эго подземные кон- туры гидротехнических сооружений (рис. 20), а также границы 50 плоские движения в вегтиклльноп плоскости 1гл. и области движения и непроницаемого илн слабо проницаемого грунта (последний называют водоупором).
Непроницаемые границы являются линиями тока, а потому вдоль них функция тока должна иметь постоянное значение (2.1) ф = сопз!. Обычно непроницаемые границы схематизируются отрезками прямых. Пусть уравнение такого отрезка (например, ВС на рис. 21) будет а,х + Ь,у + с, = О. (2.2) Уравнения (2.!) и (2.2) можно рассматривать как два условия, которые должны выполняться вдоль непроницаемой границы.
2. Границы водных бассейнов, При больших размерах водного бассейна можно считать, что в нем давление распределяется по гидростатическому закону. Поэгому в произвольной точке М, находящейся на границе АВ между грунтом и водоемом (рис. 21), на высоте у, отсчитываемой от дна верхнего бьефа (вообще говоря, от произвольной горизонтальной оси х), для давления будем иметь выражение р=р,+рд(и, — д), (2.3) где р, — давление на поверхности Рис. 21, бассейна, равное атмосферному давлению. Второе слагаемое формулы (2.3) выражает вес столба жидкости, действующего на единичную площадку в точке М. Подставляя (2.3) в формулу (1.2) для ф, получим р= — й( — "+н,)+с. (2А) Таким образом, ф = сопз! (2.5) вдоль водной границы; другими словами, водная граница является линией равного потенциала. Предполагая, что водная граница представляет отрезок прямой а,х+ Ьсу+ си= О, (2.6) мы будем в дальнейшем рассматривать (2.5) и (2.6) как два условия на границе водного бассейна.
3. Л инин свободной поверх иост и представляют линии раздела между влажным и сухим грунтом. Принято рас- 5 21 ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖГНИИ 51 сматривать два вида условий для давления на свободной поверхности. а) Это давление обычно считают равным атмосферному так как на свободной поверхности поры грунта сообщаются между собой н с атмосферным воздухом. Можно принять атмосферное давление равным нулю (р, = О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
