П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 10
Текст из файла (страница 10)
На линии свободной поверхности, которую также называют кривой депрессии, на основании (1.2) получаем условие Ф + йр = соп51. Если ось у направлена вниз, то (2.7) заменяется уравнением Ч2 — ЙД = соп51. (2.7') б) Прн наличии капнллярности грунта принимают, что на свободной поверхности давление имеет постоянное значение, меньшее атмосферного на величину, соответствующую высоте капиллярного поднятия воды в грунте (Жуковский 1890; Ведерников !939): Р =Р2 РФ ° (2.8) Наблюдения показывают, что обычно прн движении грунтовых вод для Ь„ в формуле (2.8) следует брать значение, меньшее получающегося при подъеме воды в трубке с грунтом, о котором мы говорили в 9 9 главы ! 1'см.
дальше 9 4 главы Аг). Подставляя вместо р его значение (2.8) в формулу (1.2), мы получим опять условие (2.7), но лишь с другим значением постоянной. Одной из важнейших задач теории движения грунтовых вод является отыскание вида депрессионной кривой, уравнение которой заранее не известно. На ней должно выполняться еще одно условие: она должна быть линией тока, т. е. на ней должно соблюдаться условие (2.
9) ф = соп51. Таким образом, на линии свободной поверхности выпол. няются два условия — (2.7) н (2.9). Представляет интерес случай, когда на свободную поверхность выпадают осадки нли просачивается вода (вследствие полива, прн таянии снега и т. п.). В этом случае говорят, что имеется инфильтрация с поверхности земли на свободную поверхность грунтовых вод. Обычно принимают следующий закон притока влаги на свободную поверхность: расход воды через какую-нибудь часть свободной поверхности пропорционален горизонтальной проекции дуги этой поверхности, или, иначе, пропорционален разности абсцисс концов этой дуги: 2Р— фо = е (х — ха). (2.
10) 62 плоскив движения в вггтикхльнои плоскости ~гл. и Здесь ф и фр — значения функции тока соответственно в точках свободной поверхности с абсциссами х и хр (рис. 22), в — количество воды, поступающей в единицу времени на единицу длины горизонтальной проекции дуги депрессионной кривой, Для случая инфильтрации е больше нуля. Этот же закон, выражаемый равенством (2.10), принимается и в случае испарения со свободной поверхности с той лишь разницей, что е будет отрицательно. Однако для испарения рррррряря яойрхнаспю равенство (2.10) менее обосновано, чем для инфильтрации.
Дальше мы встретимся и с друФр гимн законами испарения. Таким образом, можно считать, что на свободной поверхности выполняются условия (2.7) хя х и (2.10), причем е может быть Рис. 22. положительным, отрицательным или равным нулю. 4. Промежутки высачивания. В земляной плотине могут существовать участки, где вода из тела плотины выса. чивается не в водный бассейн, а прямо в атмосферу (рис.
21, отрезок Е0). Такие участки называются промежутками выгпчивания, Они имеются также на стенках колодцев, дренажных канав и т. п. Вдоль них давление должно равняться атмосферному, т. е. должно выполняться условие (2.7). Если промежуток высачивания прямолинеен, то к этому условию присоединяется еще уравнение прямой азх + Ьру + с, = О. (2.11) й 3.
Условия на границе раздела грунтов. Допустим, что грунтовая вода проходит через два грунта с различными коэффициентами фильтрации й, и й,, граничащих друг с другом по линии К7. (рис. 23). Обозначая комплексные потенциалы первой и второй сред соответственно через ы~ и гэр.
Ж,=%+%, ~2 ~Р2 + рфм будем иметь для потенциалов скорости выражения р,= — й,( —,", +у)+Сь р,= — й,( —,", +у)+Сь (3.1) где р, и рр — соответственно давления в первой и второй средах. '1'ак как на границе двух сред давление должно менятьсп непрерывно то р1 = р, в каждой точке линии КЕ, и из (3,1) полу- 2 Н ГОДОГРАФ СКОРОСТИ чаем, выбирая произвольные постоянные равными нулю, что на линии раздела двух грунтов <Р! 42 Ь! Ь2 ' (3.2) Другое условие получим, исходя из того, что нормальная к линии раздела составляющая скорости должна быть непрерывной.
Если о!„и о,„— нормальные составляющие вектора скорости при подходе к линии раздела из первой и из второй сред, то на КЛ о!„ = о,„. Если ввести функции тока ф! и 4(42 для той и другой сред, то последнее равенство можно записать в виде д'4!! д4!! д4 д2 где з — длина дуги линии раздела. Интегрируя полученное соотношение по з н выбирая постоянную интегрирования равной нулю, получим на линии раздела КА 4(4! ф2' (З.З) Уравнения (3.2) и (З.З) представляют условия, которые должны выполняться на границе двух сред. Продифференцируем теперь (3.2) вдоль дуги линии раздела.
Получим ар, 1 дч2 Ь! д2 Ь2 дг или, вводя касательные составляющие скорости о4, и О2„ Р,, ! ~2 Как видно из рис. 23, — ' = 1д аь —" =- 1д а2, Ры Р2~ где а! и а2 — углы между нормалью к линии раздела и векторами скорости. На основании зависимостей между нормальными и касательными составляющими скоростей отсюда можно получить «закон преломления» для двуслойной среды: 4ка, 4ка, ~! ~2 $4. Годограф скорости.
Комплексный потенциал ы представляет функцию переменной г — комплексной координаты точек области движения: ь2 = 4а(г). 64 Плоские дВижения В Вегтиккльноп плоскости [Гл. и Комплексной скоростью называется производная — = и — юо. ии (4.1) иг Она является, так же как и аь функцией комплексного переменного г: !е — = и — 1о = ш (г). (4.2) Область комплексно сопряженной с ге величины ге = и+ 1о называют годогрифом скорости. Очевидно, что области изменения и и ге отличаются лишь зеркальным отображением в оси и. Поэтому для большей наглядности в дальнейшем мы будем рассматривать вместо плоскости ге плоскость годографа скорости.
Если граница области движения состоит из прямолинейных отрезков и депрессионной кривой, то, как мы сейчас покажем, соответствующая область плоскости (и, о) будет ограничена прямыми и дугами окружностей (Девисон 1938). Для доказательства рассмотрим различные виды границ. При этом вместо плоскости и — !о будем, как сказано, рассматривать плоскость и+ 1о. Нас будут интересовать величины углов, а они те же, чго и на плоскости и — !о (направление отсчета у них будет противоположное). !.
На непроницаемой границе вектор скорости направлен вдоль этой границы. Поэтому, если непроницаемая стенка составляет угол а с осью абсцисс, то проекции скорости связаны уравнением — = 1д а, и (4.3) т. е. на плоскости (и, о) имеем прямую, проходящую через начало координат и параллельную границе. 2. Граница водного бассейна является эквипотенциальной линией, а потому вектор скорости перпендикулярен к этой границе. Если уравнение границы есть у= х(па+ 6, то конец вектора скорости должен лежать на прямой и — = — С1ц а, и (4.4) проходящей через начало координат плоскости (и, о) и перпендикулярной к рассматриваемой границе. 3. Вдоль свободной поверхности имеем уравнение (2.7)! !р+ йу = сопз1.
Дифференцируя его по з, где з — длина дуги депрессионной кривой, получим (4.5) ГОРОГРАФ СКОРОСТИ Отсюда, умножая почленно на дге/дв, получаем Но дф/дв есть величина вектора скорости, поэтому и условие на свободной поверхности можно переписать так: и'+ О'+ ЙО = О. (4.6) Это уравнение окружности радиуса й/2 с центром в точке (О, — й/2), касающейся осн абсцисс в начале координат и отсекающеи на оси ординат отрезок, величина которого равна коэффициенту фильтрации /г.
При наличии инфильтрации или испарения на свободной поверхности имеем уравнения (4.7) гр+ /гу = сопв(, ф — ек= сопв!. Уравнение (4.5) здесь также имеет место, однако дф/дв уже не является величиной полной скорости, а равно проекции скорости на направление касательной к депрессионной кривой. Обозначая через а угол касательной с осью и, получим — = и сов а+ О в!п а, — = вгп а, дч д5 д5 (4.8) на основании чего уравнение (4.5) примет вид исоа а+ О в!па+ й в(па= О. (4.9) так как имеют место соотношения — = — О =-ив)па — осова. д$ 5 Исключив переменную а из уравнений (4.9) и (4.!0), получим и' + Ог + (й + е) О + йе = О.
(4. ! !) Это уравнение окружности, проходящей через точки (О, — е) и (О, — /г), имеющей центр в точке (О, — (в+й)/2) и радиус, равный (й — е)/2 (рис. 24,а). Очевидно, что при е = 0 из (4.! !) получим уравнение (4.6). При е (0 получаем случай испарения со свободной поверхности (рис. 24,б).
Дифференцирование второго из уравнений (4.7) по в приводит к уравнению ив!па — О сова — есова=О, (4.!0) 56 ПЛОСКИЕ ДВИЖЕНИЯ В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ !Гл. и 4. На промежутке высачивания, где давление постоянно, имеет место уравнение (4.5), а также уравнение (4.9), причем в последнем а теперь обозначае~ постоянный угол, который образуется промежутком высачивания с осью абсцисс. Поэтому для промежутка высачивания на плоскости (и, О) имеет место уравнение прямой (4.12) исоза+ ОВ1па+йз)па=О, проходящей через точку (О, — й) и перпендикулярной к самому промежутку высачивания. Рис. 24. Рассмотрение условий на границах, встречающихся в широком круге задач фильтрации приводит к заключению, что на плоскости и+ (В, а следовательно, и на плоскости и — 1О границами области являются отрезки прямых или дуги окружности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
