П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Так как углы при всех вершинах прямые, то и все показатели сс, рав- Я ны '/г и сс, — 1 = — '/, (з = 1, 2, 3, 4) . гу пиямозгольыик злдлч нлпоинои Фильтилции 95 $4! Если заданы длины /-, и /.з, то отсюда найдем по специальным таблицам модуль й (Журавский 1941; Аравии и Нумеров !948 — изд. 2). Очевидно, что смещение прямоугольника АВСР в плоскости г, без его поворота, добавит лишь в формулы (3.1) и (3.4) слагаемое ги Формула же (3.5) при этом не изменится. й 4.
Основной прямоугольник задач напорной фильтрации. Обращаясь к типовому случаю обтекания основания гидротехнического сооружения, изображенному на рис. 53, выпишем условия на границах области движения для функций у и ф или уг М аз=-ху Ох Рис. 54. Рис. 53. соответственно пропорциональных им напора /з = — г)з/х и функции приведенного расхода с/ = — зр/н*). Значения с!з мы выбираем так, как зто сделано нами в 9 !3 главы 11 для обтекания плоского флютбета, т.
е. чз = — кН вдоль дна верхнего бьефа и гр =0 вдоль дна нижнего бьефа (рис. 53). Вдоль основания сооружения примем ф = О, а вдоль границы водоупора пусть ф = — Я, или д = г/о = — Я ) О). (4.!) Величина с/в = О/и является приведенным расходом, т. е. расходом при н = 1, рассчитанным на единицу длины плотины (в направлении, перпендикулярном к течению грунтовых вод). На рис. 54 приведен прямоугольник, отвечающий области движения АВСР на плоскостях комплексного потенциала оз и комплексной переменной — оз/к = /з+ !д.
*) Злесь и во всей главе )!1 коэффициеит фильтрации обозначается че- Рез и, так как через )з обозиачси модуль эллицтических интегралов. нлпогнхя фильтглция под сооггженнями 1гл, гн При отображении прямоугольника АВСВ (рис. 54) на нижнюю полуплоскость плоскости ь (рис.
53) получим гв= ср+ л~ = — — (К вЂ” В (агсз!п Ь, й)), хН Ь+ юд= — (К вЂ” Р(агс51пЬ, й)]. Н (4.2) Обращение эллиптического интеграла л~ ° п~ - ~ ) ~~ - ~~~ есть эллиптический синус Ь = зп и. По формуле (4.2) получаем для ь: (4.3) где 2Ке и= — „ хН (4 4) Если бы мы знали Н и Я, то нашли бы й из соотношения К' Я 2К хН ' Но обычно расход Я является неизвестным, модуль же Й определяется из условия, что известны некоторые размеры области г. Если водоупор отсутствует, т. е. если он находится настолько глубоко, что можно считать грунт простирающимся вниз до бесконечности, то прямоугольник плоскости ы переходит в полуполосу. Можно получить отображение полуполосы на полуплоскость непосредственно, а можно положить й = О в предыдущих формулах и учесть, что К = и/2 при Ф = О.
Эллиптический интеграл первого рода (3.3) при й = О дает агсз(п ь. Из уравнений (4.2) получаем 'П /, хт хП ы = р + Щ = — ' — ' '( агсзн1 ь — —; ) = — — а гссоз Ь, (4 6) х (. 2) й + 14 = агссоз ~, П (4. 7) спи = 1/1 — зп'и, пп и = ~/1 — й'зп'и. Заменяя в (3.5) отрезок Вх на Я/х и (ч на Н (рис. 54), получим (4.5) 9т теоремА едп!1ственностп откуда ь = соз П10 нгг (4.8) Иногда принимают условия на границах бьефов в виде 1р = = ~хН/2.
Тогда формулы (4,2) несколько видоизменяются. 4 П я. Поиубврииова.ковииа й 5. Теорема единственности. Задача о напорной фильтрации под гидротехническими сооружениями относится к числу так называемых смешанных задач теории потенциала, т. е, таких задач, в которых на различных участках контура задаются поочередно гр Щ = сопз1 на границах бассейнов) и дгр/дп (дгр/дп = О на непроницаемых границах), где 1р — потенциал скорости. Как известно, если на всем контуре области задана функция гр и требуется найти значение 1р внутри области, то задача называется задачей Дирихле; если задано значение нормальной производной на контуре области дгр/дп, то задача об отыскании функции гр внутри области называется задачей Неймана.
В курсах анализа доказывается единственность решения задач Дирихле и Неймана при определенных условиях. Н. Н. Павловский (1922) исследовал вопрос о единст- л у венности решения задачи о на- /р-рг гг парной фильтрации под гидро- уо Рг У Рг техническими сооружениями. (р) Предположим, что движение происходит в области О, 1Р Фг изображенной на рис.
55. Эта область ограничена линиями, Рис. 55. вдоль которых !р = сопз1 или 7Р = сопз(; вдоль последних д1р/дп = О. При этом для доказательства единственности решения такой задачи нет надобности предполагать границы прямолинейными †о могут быть криволинейными, удовлетворяющими условиям, которые обычно ставятся при рассмотрении задач Дирихле и Неймана (Смирнов 1974), Рассмотрим сначала случай, когда фильтрация происходит в конечной области О, ограниченной линиями тока и линиями равного потенциала. Допустим, что существуют две гармонические функции, гр(х, у) и 1р1 (х, у), удовлетворяющие условиям на границах: 1р = сопз( на контурах (/) и (2), дгр/дп = О на контурах (3) и (4).
Докажем, что ф(х,у) = !р,(х,у). Для этого составим разность ш = Чг(х, у) — 1р! (х, у). На- пишем формулу Грина для двух функций и(х, у), о(х, у), НАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПОЛ СООРУЖЕНИЯМИ !Гл. Н! 98 непрерывных в области 0 вместе с первыми и вторыми произ- водными: ) ') (д„д„+ д д ) г("!!У =~" Д„!(з )') "Оп!(хг!У. в с О Здесь дп/дп — производная по внешней нормали к контуру С области. Приняв и = О = и!, получим Так как О!р = О!р! = О!в = О, то в правой части последнего равенства остается один контурный интеграл. Но и этот интеграл равен нулю, так как на границах (1) и (2) функция и! = О, а на границах (3), (4) ее нормальная производная равна нулю. Поэтому остается равенство Интеграл от суммы квадратов может равняться нулю только в случае, если каждое слагаемое равно нулю: ди — = Π— = О.
д!Р дх ' дв Отсюда следует, что гв = сопз(, а так как на некоторых границах !в=О, то !в=О, Этим и доказывается единственность решения смешанной задачи о фильтрации указанного вида в конечной области. Если фильтрация происходит в водопроницаемом слое бесконечной глубины, то можно сначала ограничить область полу- окружностью большого радиуса 1т, на которой д!ради имеет порядок скорости (см. 5 13 главы П), т.
е. порядок !!1!А. Поэтому так как г(з = Йг(О, и функция !р порядка !п 1т', получаем оценку и н! — Йз " —,!'т!10=и — -+О при й-РОО. д!Р Г !Ял !пй г ьч! о Следовательно, предыду!цие заключения и здесь остаются в силе. Для области, ограниченной водоупором, ио простирающейся в стороны до бесконечности, теорема единственности также может быть получена предельным переходом от случая конечной области.
з 6 движение ггхннчных точек отовпхжхвмых овлхстви 99 6 6. О движении граничных точек отображаемых областей. Вопрос о характере движения граничных точек отображаемых областей представляет интерес для теории фильтрации, так как позволяет получать некоторые качественные выводы относительно изменения расхода при деформации контура области движения. Так как доказательство следующих теорем опирается на так называемую лемму Шварца, то мы приведем здесь формулировку этой леммы (Привалов 1977).
Лемма Шварца. Если функция ш =1(г), голоморфная (илн аналитическая) в круге (г) < 1, удовлетворяет условию (6.1) и если !7(г) ! < 1 при /г/ < 1, то имеем ) ~(г) ! < !г( всюду в круге /г/< 1. Если равенство )1(г) ) = !г/ имеет место хотя бы в одной внутренней точке (кроме точки з = О, в которой это равенство выполняется по условию), то оно имеет место во всех точках области, и тогда 1(г) = е 'г. Другими словами, лемма Шварца утверждает, что если при условии (6.1) модуль отображающей функции меньше единицы, то он будет в соответствующих точках и меньше модуля г. Геометрически это озна- У чает, что если ш =1(а) переводит область единичного круга в область, внутреннюю по г отношению к этому кругу, то с помощью функции )(г) всякая точка либо приближается к началу координат, либо отображение представляет вращение около начала. Обозначим через д (рис.
56) данную область, содержащуюся в круге радиуса Ряс. 56. единица, через д* — область круга. Точка О является неподвижной точкой преобразования области д в область д'. Когда область д переходит в область д', точка О является отталкивающей, так как она раздвигает точки области д, приближая их к контуру круга. Если вместо круга взять произвольную область, содержащую данную область д, то лемма Шварца остается в силе.
В качестве неподвижной точки может быть взята любая внутренняя точка, в том числе и бесконечно удаленная точка, которая рассматривается при этом как внутренняя точка области. Теперь приведем теоремы Г. Н. Положего о движении граничных точек отображаемых областей в изложении автора (Положнй 1953 — 1955) . Пусть будет 6 — односвязная область в плоскости г=х+19, б' — односвязная область, содержащая 6 и имеющая с О частично общую границу в виде некоторой жордановой кривой Г. нАпОРНАя ФильтРАция под сООРужениями [гл. Рп !оо Теорема.
При конформном отображении односвязной области 6 на произвольную область 6', содержащую 6 и имеющую с 6 частично общую границу в виде некоторой жордановой кривой Г, на открытой (т. е. не содержащей своих концов) кривой Г не может быть больше трех неподвижных точек. Если таких точек имеется три, то две крайние из них — притягивающие, а средняя — отталкивающая; если таких точек только две, то одна из них — притягивающая, другая — непритягивающая. В самом деле, при наличии на откпытой кривой Г трех неподвижных точек без ограничения общности можем считать, что 6* совпадает с верхней полу- плоскостью (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
