П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Другими словами, область движения г представляет многоугольник. На плоскости комплексного потенциала ы также получается многоугольник, а именно, прямоугольник со сторонами ф=ф, ф=фь гР=Фь Ф=Фз Введем вспомогательную комплексную переменную ~ (ее называют параметрической переменкой), на верхнюю или нижнюю полуплоскость которой будем отображать две области; область функции г и область функции ы =-<р + 6~. Имея г = Р~(ь) и ы = Рз(Д, можно найти все элементы движения; например, скорость получим с помощью формулы йО с,', К) ав /', (ь) Конформное отображение многоугольника на полуплоскость производится с помощью формулы Кристоффеля — Шварца.
й 2. Конформное отображение многоугольника на полу- плоскость. Пусть имеем многоугольник с вершинами А„А,, ... ..., А„ьА„на плоскости г (рис. 50). Озобразим его, например, ИАИОРнАя ФильтРАция под сООРужениями [Гл. !и во Рис. 50 г = М, ~ (ь — а,)" ' (а, — ь)"' ' ... (а„ вЂ” ь)" ' с(ь + г!.
(2.2) а Здесь г, — комплексная координата вершины многоугольника АР Обозначим подынтегральную функцию (2.2) через Ф, (~), Ф, (ь) =(ь — а,)" (а, — ь) ' ... (а„— ь)'а, и рассмотрим диф- ференциал г вдоль отрезка А,А,: с(г=-М!Ф! Я) с(Ь. Пусть отре- зок А,А, составляет угол !р, с осью абсцисс. Положив М, =рес!, где р — положительная постоянная, получим г= рем ~ Ф, (Ь) с(Ь+г„с(г=ре!ФФ, (~) с(Г.
(2.3) а. Так как Ф!(ь) ) 9 вдоль А!Аь то с(г действ!Нельно соответствует прямолинейному отрезку, составляющему угол сс! с осью абсцисс. на верхнюю полуплоскость плоскости ~. Предположим, что вершины многоугольника перешли в точки действительной оси с абсциссами соответственно Ь = ан а,, ..., а„ !, а„. Формула Кристоффеля — Шварца имеет вид (Лаврентьев и Шабат (973) г= М ~(ь — а,)"' (,"— а,)си ... (ь — а„)' ' а!ь+ Л!. (2.!) Аз Здесь а„аь ..., сс„— деленные на и величины углов многоугольника.
Проверим справедливость формулы (2.!) и укажем способ определения постоянных М, й!, а аь ..., а . О Начнем с рассмотрения отрезка А!А, н перепишем подынтегральную функцию (2. ! ) так, чтобы она была действительна и А'У положительна на отрезке А,А, плоскости Ь. Для этого доста. точно заменить разности ь — аь ..., ~ — а„ разностями а, — ь, ..., а„ вЂ” Ь, заменив постоянную М на новую неизвестную постоянную М!.
Перейдем от неопределенного интеграла (2.!) к определенному, в пределах от а, до ~: ф 21 ОТОБРАЖЕНИЕ МНОГОУГОЛЬНИКА НА ПОЛУПЛОСКОСТЬ 91 Придя в точку Аа, мы должны положить 9 = а,, г = г,, где г2 — координата вершины А2. Принимая во внимание (2.3), по- лучим аа г, = ре'а ~ Ф, (ь) дь+ гн (2.4) а, Обозначим длину стороны многоугольника А,Л2 через !и.
Тогда можно написать 911 + н — ла = 1Р,, (Ь вЂ” а,)" '(Ь вЂ” а,)' '(аа — Ь)" ' ... (а„— Ц"' ' =Ф2(Ц, получим вместо (2.4) а1 г = ре1 ' ~ Ф, Я) 1(9 + ре1а ~ Ф, (Ь) 2(9+ г, = а, = г — г, + рЕ1Р Ега ""' ' ~ Ф2 (Ь) 219 + г1 или г2+ ре ~ Ф2 (ь) ~(ь' а. (2.6) г, — г, =1„е1Р, и (2.4) по сокращении на е12 даст а (м=р ~ Ф1(Ь) «Ь.
(2.5) а, Отсюда можно было бы найти р, если бы были известны пара- метры а1, аь, а„. Перейдем к отрезку А2АБ. Для этого на плоскости ~ мы должны обойти точку 9 = а, по полукругу в направлении часо- вой стрелки (рнс. 50). Величина а, — ~ станет теперь отрица- тельной, причем, если мы выбрали агд(а2 — ь) = 0 для = 9 ( а2, то после обхода точки 9 = а, аргумент а2 — 9 будет равен — л, и можно написать, что на отрезке А2ЛБ а, — Ь = е "' ~ а2 — 91= (Ь вЂ” а2) е "'.
Множитель же (а,— Ь) ' перейдет в ~а~-1 -Ы1а1-П а,-1 1а-ааа 1 ь — а,) е =(ь — а,) ' е Но угол и — ли2 есть угол поворота вектора А1А2 при переходе его в положение вектора А,А,. Введя обозначения НАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПОД СООРУЖЕНИЯМИ [ГЛ. Н! Функция Ф2(ь) принимает положительные значения вдоль А,А,. Обозначим через (22 длину стороны многоугольника А2А2. Тогда из последней формулы, полагая Ь = аз в верхнем пределе интеграла, получим Я2=ре2Р' ~ Ф2(ь)!2ь (ю=р ~ Ф2(ь) а2ь (2 7) Продолжая таким же образом дальше, получим уравнения, аналогичные (2.5) и (2.7), для других сторон многоугольника. Однако уравнения для двух последних сторон, А„.,Л„и А„АН не будут независимымн от предыдущих.
В самом деле, при заданных вершинах Л, и А„, и заданных углах ла! и пи„! в этих вершинах положение вершины А„является вполне определенным, и, значит, равенства, относящиеся к сторонам А„,А„ и А„А2, не дадут нам новых соотношений. Примем в качестве последнего из уравнений типа (2.5), (2.7) уравнение а л ! ~л-2 л 1 р ~ 1л — 2 (Ь) С(~~ ал-2 где Ф„-2(~)=(Ь вЂ” а!) ' ' ... (Ь вЂ” ал,) "-2 '(а ! — Ь)'л-' '(а — г)'л Формулы (2.5), (2.7), ..., (28) да!от и — 2 уравнений, содержащих п+ 1 параметров: р, аь а2, ..., а„; три нз этих параметров остаются произвольными. Можно задать произвольно, на- ПРИМЕР, тРИ ИЗ ВЕЛИЧИН а„а2, ..., ал.
Это находится в соответствии с тем обстоятельством, что дробно-линейное преобразование с действительными коэффициентами аь!+ р (2.9) т1! + а переводит полуплоскость Ь в полуплоскость ь! с сохранением действительной оси; параметрами сг, 8, у, б, точнее, отношением трех из них к четвертому, можно распорядиться так, чтобы три произвольные точки действительной оси Ь перешли в три заданные точки действительной осн плоскости ь!. Нетрудно провери~ь, что подынтггралы2ое выражение формулы (2Л) сохраняет свой впд, если мы от переменной Г перейдем к переменной ь! с помощью формулы (2.9). В самом деле, прн этом получим соотношение вида )а,-! (Ь )а -! (Ь )ал- К вЂ” В> ' ...
(й — Ь„1л !2~ 2 (УГа! + А) ! '" ал А 21 ОтОБРАжение пРЯмОуГОльникА нА полуплоскость вз а) Рис. 51. $3. Отображение прямоугольника на полуплоскости. Построим отображение прямоугольника АВС0 плоскости г (рис. 52) на нижнюю полуплоскость плоскости параметрической Но по свойству углов многоугольника а~+ а2+ ... -1- а„= = п — 2, и, следовательно, знаменатель правой части обращается в единицу. Часто принимают в качестве трех специальных значений а,. значения О, 1, оо, Отметим, что в формуле (2.1) переход к а = со можно сделать, переписав эту формулу в виде ал-1 г = М, ~ (~ — а,)" ' ...
(1 — й ) 2(~+ 52, где Мз = М ( — а„)" Полагая ь/а„-ьО при а„- ОО, получим, что формула Кристоффеля — Шварца сохраняет свой вид, если одна из вернни многоугольника переводится в бесконечно удаленную точку плоскости причем соответствующий этой то нсе множитель в формуле (2.!) заменяется единицей. 42 г Если какая-нибудь вершина, на- А пример Аь удаляется на бесконеч- г ность так, что прилежащие к ней 2'1 л) стороны становятся параллельными А2 (рис.
51, а), то нужно взять а2 — — О. При дальнейшем разворачивании l~ сторон А~Л2 и А,АЬ когда они перестанут быть параллельными, но я вершина А, будет бесконечно удаленной точкой (рпс. 51, б), угол па2 следует считать отрицательным, а ИМЕННО, ПС22 = — ПС2, ГДЕ Пи †УГ, Ах образованный продолжениями сторон А,Л2 и А,А2. Формула (2.1) справедлива и для многолистного многоугольника, т. е. расположенного на нескольких листах римановой поверхности. Определение п — 3 из постоянных ан а2, ..., а„интеграла Кристоффеля — Шварца представляет трудности при скольконнбудь значительном числе вершин многоугольника. В книгах П, Ф. Фильчакова (1964, 1970) приводится ряд способов для их определения прп помощи графо-аналитических приемов, обобщенных степенных рядов, аналитического продолжения, электромоделирования. НАПОРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПОД СООРУЖЕНИЯМИ [Гл, н! 94 /г 1р Формула Кристоффеля — Шварца примет при этом вид ~а Г,! ~ дй я= — ' 1, (3.1) 2К ~ т/1! - гг)1! — й й )' Ю вЂ” ! где К вЂ” полный эллиптический интеграл ') при модуле й: К= .,„/(! гьг) 1! ! гьгг) лгг (3.2) о Рис.
52. Вводя обозначение эллиптического интеграла первого рода Ф В(<р, й)=~ о ИЛИ, ПОЛаГая З1ПЧг=ь, Р(агсз)пь, й) = ~ о /!! -В1! -«Ю можем написать е = 2К (К+ В (агсз!и Г, /т)). (3.3) (Згф) Обозначив, как это принято, полный эллиптический интеграл первого рода при модуле й'= 1/1 — й' через К', получим соотношение й! К 2ьг К' ' (3.5) *) Необходимые здесь и далее сведения из теории эллиптических интегралов и эллиптических фуикпий читатель найдет в справочниках И, С. Град- штейна и И.
М. Рыжика 1)962) и А. М. Журавского 1)94!). комплексной переменной й. Вследствие симметрии отображаемой фигуры удобно перевести две смежные вершины прямоугольника — выберем вершины В и С вЂ” в точки ь = ~1 соответственно, с тем чтобы вершины А и /г перешли в симметрично расположенные точки плоскости ь, которые можно обозначить через +.!/й (й — некоторое число, меньшее единицы, подлежагцее в дальнейшем определению).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
