П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Знание вертикальной составляющей сил давления У имеет важное значение в вопросе о невсплывании плотины. Обозначим через У' вес плотины, через У" — вертикальную составляющую равнодействующей сил давления жидкости на наземную часть плотины. Тогда, считая, что отсутствуют силы сцепления между основанием плотины и частицами грунта, получаем необходимое условие для невсплывания: У" + У' ) У. В гидротехнике рассматривается величина го+ г" йв — у 5 П.
Я. Повубврввовв Ковввв Здесь у~ и ув — ординаты точек В и С. Обозначим высоту !Ув — Ур) чеРез б!. Если Расположить ось абсцисс посРедине между у =у~ и у = ум то будем иметь у~ + уб = О, и можно написать 1ЗО нкпогнкя фильтокцня под сооотжсниями 1гд. гп называемая коэффициентом устойчивости на всплывание (Гришин 1962). Неравенства, установленные для У, дают возможность также получить оценку для ко. Вопросы силового воздействия грунтового потока на скелет грунта и на подошву сооружений представляют значительный практический интерес, так как решение их определяет многие детали гидротехнического проектирования. Можно указать на специальную дискуссию, посвященную этим вопросам (Рельтов, Чугаев и Вяземский 1949). 9 17.
Главный момент сил давления. Для выяснения вопроса об устойчивости гидротехнического сооружения представляет интерес вычисление главного момента сил давления относительно прямой, перпендикулярной к плоскости поперечного сечения плотины, или, что то же, момента относительно некоторой точки го плоскости поперечного сечения плотины. В особенности интересен случай, когда го совпадает с одним из концов плотины.
Пусть го = хо+!уо. Выражение главного момента М сил давления относительно г, имеет вид М = — ~ р [(х — хо) соз (п, у) — (у — уо) соз (п, х)] дз, (17.1) вс или (см. рис. 83) М = ~ р](х хо) й(х — хо) +(у уо) о((у уо)]= вс ! вс Подставляя сюда р = 7(Й вЂ” у) и производя интегрирование по частям, будем иметь М= о у(Н!го го] — Н,]г,— го] ) о ~ уи]г го~ + вс и, + г ~ 1г гоРйй.
(17.2) Для последнего слагаемого можно дать следующие неравенства, если принять го за одну нз крайних точек, В(г~) илн С(го). Положим го — — гь Тогда М(г,) = — цН,1го — 2, 1' — — ~ уй1г — г, 1'+ — ~ 1г г, 1',щ 2 вс и, (17.3) главныи момент сил давления 1З1 Теперь примем во внимание, что О ( (х — г~( < (аз — г,(. Отсюда следует неравенство и, О < 2 ~ ~г — г~ ~ ~Й < 2!гт — а~Г(Н~ — Нз).
и, Остальные члены формулы для М(г~) вычисляются согласно геометрической форме плотины. В качестве примера найдем результирующий вектор и момент сил давления на плоский флютбет в слое бесконечной глубины, приняв за го левый конец флютбета, примыкающий к верхнему бьефу. Для этого случая мы нашли выражение напора в виде Н~ — Н, . к и,+Н~ Ь=— Л агсз(п — + 1 2 С помощью формул (16.7) получаем Х=О, / у=у Н,+Н, т(Н,— Н,) . и Н,+Н, 2  — ) агсзт —,г(х=уВ = Г, .
2 сР' Здесь В = 21 — ширина основания плотины. По формуле (17.3) найдем, так как у нас г~ = — 1, у = О, с М( — 1)=йуНзР+ т ~(х+1)з Вычислив интеграл в правой части, для опрокидывающего момента относительно точки го = — 1 получаем ЗН~ + бНс Вз 1б Очевидно, что для момента относительно точки ао = 1 будем иметь М (1), зН, + 5Н~ Вт 1б Глава !У ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.
ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ А. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКНИИ ЖУКОВСКОГО 3 1. Функция Жуковского. В плоском установившемся движении грунтовых вод между потенциалом скорости и давлением имеет место зависимость (см. 9 11 главы 1) Р= — «( — '+ У), которую можно переписать в виде сс — — р = ср + «у. Рв Следовательно, выражение « 0,= Р+«У= — — Р Рв (1.1) лишь постоянным множителем отличается от давления. Функ- ция О, является гармонической по х, у, так как ф и у — гармони- ческие функции.
Сопряженной с 0> является функция 0г = >(> — «х. (1.2) Функцию (1.3) будем называть 4ункцией Жуковского (Жуковский 1923). Если по аналогии с (1.1) ввести обозначение сс 0>= — — Р Рв (1.4) 0 = — — (р + ср'). Рв (1.5) Обозначим 9>+ сйг через 0: 0=0, + сй,=а> — с«х (а=ф+1>р, х=х+ су). (1.3) ШПУНТ ЖУКОВСКОГО !зз Можно назвать комплексным давлением выражение Р= р+ 1р', (1.6) и тогда функция Жуковского будет пропорциональна комплексному давлению.
На свободной поверхности грунтового потока давление равно атмосферному. При наличии капиллярности, как мы видели (см. ф 2 главы П), давление также является постоянным, Если принять атмосферное давление равным нулю, то на границе капиллярной каймы следует положить ,о = — щЬ„ (1.7) В $2 — 7 мы покажем применение функции Жуковского к различным задачам. 8 2.
Шпунт Жуковского. В качестве первого примера рассмотрим задачу Н. Е. Жуковского о шпунте. Пусть шпунт ВС обтекается под действием напора Н (рис. 84). Тогда за шпунтом вода поднимаешься на некоторую высоту СР н образует свободную поверхность 0А, на которой имеем условие О, =ф+ йу=йЬ„. Вдоль границы АВ ф= — йН, (2.1) (2.2) Вдоль линии ВСОА положим ф = О. (2.3) Так как уравнение линии АВ есть у = О, то вдоль АВ О, =ф+ йд= — йо. вместе с тем (2.4) Далее, так как вдоль шпунта ВСР имеем к = О, то вдоль него (2.5) Е,= р — йх=о. где й„— высота капиллярного поднятия воды в грунте.
Таким образом, на свободной поверхности действительная часть функции Жуковского является постоянной. Это и обусловливает значение функции Жуковского. Вместо (11) и (1.2) можно написать соотношения, содержащие напор и приведенный расход: Й = — ф/й и д = — ф/й. Приняв рд = ! и измеряя Р и р' высотой водяного столба, будем иметь Р=Ь вЂ” у, Р =Ч+х. )34 ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ, !Ч На плоскости функции Жуковского (рис.
85) получаем для области движения АВСРА полуполосу; отображение ее на нижнюю полуплоскость плоскости Ь дает 6 = й ' агсз(п Ь вЂ” й " = гс — йг. (2.6) и+И.. И-А„ и 2 С другой стороны, на плоскости комплексного потенциала в имеем простую область — прямой угол (рис. 85), так как вдоль ~г л Г линии АВ у нас ~р = — йН а вдоль всей остальной грани цы ф = О. Следовательно, мо жем положить $ Ф си + йН = Л! ~(~+ !. Для определения М положим ь = !.
Тогда, так как в точке уу Рис. 84. Р имеем !р = — йу+ йй„а у = — и (с( — длина отрезка ВР), то й!( + й ( Н + Ь„) = М т/2. Находя отсюда М, получим А(и+ А„+ и) т7~+ ! ~/2 (2.7) Исключая ги из (2.6) и (2.7), получим для г уравнение (г==(Н+Ь,+с() ~l~+ ! — " ' агсз(ИЬ. (2.8) 1 и+ А„и+ А. чГ2 г Для того чтобы найти скорость в любой точке области движения, продифференцируем по ~ уравнения (2.6) и (2.7); ~йо . Иг И+ А, ! ~йо А (И+ Аи+ Л) ч7! — Г ' ~~ 212К+ !) ШПУНТ ЖУКОВСКОГО 136 Разделив почленно левые и правые части полученных уравнений, найдем Ла 2 З/2 Н+ Ьк '" Ка л71= — 7 Н+Ьк+и На конце шпунта в точке г = — 51 скорость обращается в бес- конечность, а обратная ей величина с(з/с(ы — в нуль.
При этом для значения Ь, соответствующего концу шпунта, получаем В Н+Ик )а (2.9) Подстановка этого выражения в (2.8) дает длину шпунта к- тИнек.~-кт — ~Е .. ОГ а 4(Н+ Ьк)к Н+ Ьк 4 (Н+ Ьк) (2.10) Таблица 6 Зависимость величины и/(Н+ Ик) от 31(Н+ Ик) Зависимость между ат и 0 получается с помощью уравнений (2.6) и (2.7) в виде от — — И ~Н вЂ” (Н + И„+ с() соз Вдоль свободной поверхности ср + Иу = ИИ„ ф = О, 0 = = — Их+ ИИ„и ат=~р= — Иу+ ИИ,. Поэтому для свободной поверхности получается уравнение цепной линии 9=0+Ȅ— (О+И„+Г))с 2 и+и ) . (2.11) Приведенное решение принадлежит В. В. Ведерникову(1939). Н.
Е. Жуковский строил выражения для м и 0 как функции от вспомогательной комплексной переменной в виде интегралов, подынтегральные функции которых он находил по характеру особенностей — в данной задаче этн функции содержат квадратные корни в знаменателях, так как углы рассматриваемых областей прямые (см. рнс. 85). !35 ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ Ш В заключение приведем таблицу 6 зависимости величины ГГ!(Н+йи) от 5!(Н+8,), вычисленную В.
В. Ведерниковым. Отрицательные значения с!)(Н + Ь„) означают, что вода за шпунтом поднимается выше точки В (рис. 84). Отметим, что действие капиллярности сказывается в этой задаче таким образом, как если бы вместо действующего напора Н имелся напор, увеличенный на высоту капиллярного поднятия, т. е, равный Н+ Йи.
О=аг, (3.2) где а — постоянная, которую определим в дальнейшем. Линии АВ и ЕА суть линии тока. Обозначим через 1;! величину полного расхода дрены (на единицу ее длины). Можем принять 1Р = — 1;!/2 вдоль ЕА и 1Р = !'!/2 вдоль АВ. Отображение области комплексного потенциала ы на нижнюю полуилоскость плоскости и (рис, 87) дает си = 111 ~ = — — агсз1п ~. 1;1! о (3.3) $3. Одиночная дрена. Эта задача также рассмотрена Н. Е. Жуковским (!923). Осушительную канаву или дрену с очень малой глубиной воды в ней можно схематически предста- вить в виде щели, изобрау А женной на рис.
86. На линиях АВ и ЕА, являющихся свободными поверхностями, давление Г постоянно. Примем его равным нулю. Тогда можно записать условие для потенциала скорости на свободной поверхности в виде р+ йу=о. (3А) Рис 80. Контур дрены ВСОЕЕ является эквипотенциалью (лииией равного напора) 1р = О. Так как для этого контура у = О, то условие (3.!) выполняется также и на нем. Таким образом, для функции Жуковского (!.3) действительная часть равна нулю для всего контура области движения.
Введем вспомогательную переменную ь так, чтобы полуплоскости 1; отвечала полуплоскость О, Тогда можем принять ОДИНОЧНАЯ ДРЕНА !З7 Решив это уравнение относительно ь, найдем аса! ь = зйп —. (3.4) Решим это уравнение относительно г: са а . ам) г = —. — — з!и —. =Ь! Ь) (3.6) Для определения постоянной а положим г = Ь~/2, где Ь| — ширина промежутка ВЕ (рис. 86). При этом в точке Е имеем (рис. 87) <р = О, ф = — Я/2. Поэтому (3.6) дает Ь) = — й! (+'+ ф) . (3.7) л () 7,7 Из уравнения (3.6), дифференцируя его по са, найдем величину дг/с(са, обратную скорости фильтрации: )Ь-г72 аг 1 ! аа пса) — = — = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
