П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Можно считать, что уже на этой глубине имеется дренирующий пласт, поглоща1ощий воду. Криволинейные формы каналов были получены для течений без подпора И. Козени (Котепу !931), затем другим путем Н. Н. Павловским (!936, 1 и 2) и В. В. Ведерниковым (1939). й 10. Земляные плотины на водопроницаемых основаниях.
В случае горизонтального водоупора сз = 0 и уравнение (8.8) принимает вид*) Р (со + 2!Я) — Р (оз) = — — „+ — „ (10.1) а его общее решение езз г = г (оз) = — 2 0 + /, (ы, 2!( 1), (10.2) ~де /~(гп, 2!Я) — периодическая функция с периодом 2ф, Б. К. Ризенкампф (1940, !) рассмотрел при помощи уравнения (!0.2) случай плотины на непроницаемом основании с дренажем. Можно высказать общие соображения о виде функции /(го, 2!1,г) для случая плотины на проницаемом основании конечной глубины (рис. ! 07, а) с произвольной формой откосов "*). Для таких областей движения харакгерно наличие скачка ординаты при х = ~-оо.
Поэтому, если положить /, (оз, 2!Я) = М ! п вз + Н! п (вз + ИН) + /з (оз, 2пг), то при переходе около точки оз = 0 с отрезка АВ иа отрезок АО (рис. ! 07, б) слагаемое М!п оз получит приращение (и/2)М!, что должно равняться приращению г на !у„, где ул — ордината дна нижнего бьефа при х = — оо. Отсюда 2 М = — ул. и "! В $10 козффипиент фильтрации обозначен через и. '") То обстоятельство, что на рис. 107 направление течения принято противоположным указанному на рис. !00, не имеет принципиального значения. При значении ф = 0 на водоупоре теперь ф = — Я на свободной поверхности.
3 101 ЗЕМЛЯНЫЕ ПЛОТИНЫ НА ВОДОПРОНИЦАЕМЫХ ОСНОВАНИЯХ 157 153 ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1ГЛ, ГУ Точно так же найдем 2 й1 = — — ув Д где ув — ордината контура верхнего бьефа при х = +со. Функцию )с(св, 219) будем считать однозначной аналитической функцией. Введем другую аналитическую функцию С У Ув' Рис.
107. а для я е =- — — „+ А 1и ~ (св, 2й~) + В! и ~ (се + ЯН, 2д~) + + ~~ [А„во +В„е о ]. (10.3) Эаметим, что для функции 1, стоящей под знаком 1п, достаточно иметь период 491 и удовлетворязь соотношению )(св, 291) = = С)(св), где С вЂ” постоянная, 1(св, 2й~), характеризующуюся тем, что 1(св, 211е): св отлична от нуля прн св = О. Тогда для )з примем выражение )с(св, 219= А1 "" '®+В1 ""+'" 'и"1+ ~' [А Л+ В и и „ „е „е Э 2 !О! земляные плОтины нА ВодопроннцАемых ОснОВАниях !59 Среди функций (10.3) должны найтись такие, которые дадут форму откосов, близкую к форме откосов действительных плотин.
Но так как здесь промежуток высачивания в явной форме не учтен, то вблизи нижнего бьефа могут получиться особенные формы плотин, с выемкой, как изображено на рис. 107. В. И. Меньшикова (1960) рассмотрела ряд примеров, часть которых мы разберем. П р и м е р 1. В нижнем бьефе есть вода (рис. 107). Выберем функции / и г следующим образом: /(а, 2!Я) =(з)2 —,, А„— = О, В„=О, а' 2 ла 2 л(а +хН) г = — + — уд )п ЗЬ вЂ” — — ув 1п з)т 2нО л 20 л 227 + С2+(С2.
(!0.5) Разделение действительной и мнимой частей дает х= — л — + — уд!п(с)2 — — соз — )— Ф 'Р ) 2 л'Р 2л'Р 2нчГ л ~ 20 20 ) — — ув 1п (СЬ 2 л (Ч' + нг' ) 2 л 'Р л 'х 20 — соз — )+ С, 2Е) у= — чх-+ — уд ~ агс1ц ~с()2 — 1й' — ) — п1— ~р$2 Г Г ла л1Р Х н!2 л ~ ~ 20 20 ) — — увагс1д (с1)т ~2, 1и —,) + С2. (10.6) Для выбранного расположения осей координат получаем ~',> 2 ПНН С!= 2 + — Ув!ПСЬ 2, Сз=ув+Уд Ув. Нетрудно написать уравнения линий границ верхнего и нижнего бьефов и свободной поверхности, полагая соответственно <р = — хН и 22=0 при — Я < ф < О, 2р = — С! при — хН «р < О. Г1ри этом, обозначая через Ь проекцию линии РС на ось х, находим НН2 2 лхН (.
= — + — (Уд+ ув) 1псЬ вЂ”, 20 л 20 откуда можно вычислить приведенный расход (,)/х, если заданы Н, Ь и у„+ ув. На рис. !07 построена сетка движения для одного частного случая (уд/Н = 1,6, ув/Н = 2,0, Щ(хН) = л/5). П р н м е р 2. Нулевой уровень воды в нижнем бьефе прн совпадении уровней дна верхнего и нижнего бьефов (рис. !08). Этот случай движения будем иметь, заменив в (!0.5) гиперболические синусы эллиптическими: а !Ка, ! К (а + хм) е= — + А' )п зп — + В'1и зп + С, + 2СН (10.7) !со Фю~кцпя жгковского, экпкционлльнык равнения !гл. ш где К вЂ” полный эллиптический интеграл первого рода при модуле й.
При этом К но К' (10.8) Тогда, имея в виду формулу зп(/+ 1К') = можем объединить два члена в (10.7): г — — +А!пзп ( —, й)+ С, +гС,, причем 2 А= уо Л С,= —. С,=у,. 0 2н ' х= — — уо!п~й зп ( — —, й))+ вдоль свободной поверхности, где ф = — Я и — к(! < ~р < 0 х= — — — уо(п г(п ~ — —, й ), у = — — + у . ~ро 2 г К~р,~ ф Для проекции линии РС на ось х получается уравнение нп' 2 1 В= — + — у !п —. щ н о На Рис.!08 пРиведена сетка движениЯ длЯ Уо/Н = 3, йо = 0,4. При этом для расхода получаешься величина Я/(кН) = 0,9. Уклон верхового откоса в точке С лу нрг о'х С/ К В таблице 7 приведены результаты расчетов Р/(кН), а и Е/Н для ряда значений й' и уо/Н, а на рис. 109 — графики зависимости Я/(кН) от /./Н при различных значениях у,/Н, П р и м е р 3.
Фильтрация из водоема (рис. ! 10) . Он получен В. И. Меньшиковой с помощью уравнения оог 2 лоо г = — — — уо! и (п — — /уо. 2нЦ и 20 Здесь получается почти прямолинейный откос. Прямая РА— эквипотенциаль, ВА — твердая стенка, т.
е. дно водоема непроницаемо, что ограничивает интерес задачи. На рис. 1!О взято уо/Н = 2, О/(к//) = 0,4п. Здесь для криволинейного откоса, вдоль которого ~р = — кН и — Я <ф< 0, имеем ФУНКЦИЯ ЖУКОВСКОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !ГЛ. !У 162 Таблица 7 Зависимость Я)(иН) от й)Н и у )Н УУН- ! и!и т ауи и и!и уун-и й 11. Перемычка Н.
М. Герсеванова. Решение Н. М. Герсеванова задачи о перемычке — земляной плотине прямоугольного сечения — интересно отметить потому, что ошибочное предположение автора (крупного специали- 4 ' ста по механике грунтов) привело к объяснению приближенной математической теории. I Н.М. Герсеванов думал, что дви- Н 772 жение происходит так, как указано на рис. 11! сплошной линией и, АМС, т.
е. что свободная поверхность имеет точку перегиба и входит в нижний бьеф как раз на уровне Рис. 1! 1. горизонта воды в нем. При этом промежуток высачнвания отсутствует и на плоскости со = !р + !ф имеем прямоугольник. Разыскивается решение в виде (10.3) при А = В О. Коэффициенты А„и В„определяются из условий на границах х = О и х = 1., что дает ( — 1)т х О ( 2 )) лат У лти ь( — (н,-н,)) 'ь 2О Ф гд 'Г а= — — + — / 2иО иа' 4( т 1О 1О 10 !О 10 1Π— з 10 1О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,122 о,!Зз 0,148 0,166 0,189 0,220 0,262 0,325 0,426 0,625 0,735 0,826 0,911 1,00 1,10 1,21 1,36 1,60 7' 8' 9' 1О' 11' 13' 15' 18' 23' 32' 36' 40' 45' 47' 50' 53' 58' 4,63 4,18 3,74 3,30 2,86 2,42 1,98 1,54 1,17 0,80 0,68 0,6! 0,55 0,50 0,45 0,41 0,37 0,31 11,43 10,33 9,23 8,13 7,04 5,94 4,84 3,74 2,64 1,53 1,!9 0,99 0,84 0,72 0,62 0,52 0,44 0,34 13,26 11,43 9,60 7,77 5,94 4,!! 2,27 1,70 1,37 1,13 0,94 0,78 0,64 0,51 0,38 13,17 10,70 8,14 5,57 3,00 2,21 1,75 1,42 1,16 0,94 0,75 0,58 0,41 15,93 13,19 10,34 7,04 3,73 2,72 2,14 1,72 1,38 1,10 0,86 0,65 0,45 ПЕРЕМЫЧКА Н, М.
ГЕРСЕВАНОВА Для расхода через перемычку при этом получается формула Дюпюи И', — 1Г', 2Е (11.2) А, Р. Цицкишвили (1957, 2) произвел расчет гидродинамической сетки по формуле (11.1). Оказалось, что свободная поверхность имеет своеобразный вид (см. рис, !12 и 113): основная ее часть АВ близка к точному решению (см. 9 !О главы И1), но есть дуга ВС, выходящая за пределы плотины. Однако если Рис.
112. Рис. 11З, эту дугу отбросить, то остальная картина будет близка к получаемой в точном решении. Формула (!1.2) является точной. Таким образом, решение Н. М. Герсеванова можно рассматривать как хорошее приближенное решение (см. Герсеванов 1943, 1950), Глава У ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВЕРСИИ А. ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗ КАНАЛОВ И ПРИТОК К ДРЕНАМ $1. Некоторые свойства инверсии.
Преобразованием обратными радиусами-векторами или инверсией в окружности К радиуса 1х с центром в точке С называется преобразование, при котором точка М, лежащая на луче СМ, переходит в точку М' на том же луче (рис. 1!4), причем СМ СМ' = )т'. Координаты точки М'(х',у') связаны с координатами точки М(х,у) уравнениями ух г у~у х= +уз у= +у Отсюда + (у / Р Я2 (х+ Су) Л2 х'+ уз х — 1у ' что можно записать, вводя комплексные числа г=х+ 1у, г'=-х'+ (у', г=х — (у, таким образом: р2 г'==.
(1.1) 2 Преобразование Рис. 114. г =11 (1.2) представляет соединение инверсии с отражением в действительной оси плоскости г. В этом случае имеем 11'х, 1!~у х+у ' х+у При инверсии точки, лежащие на окружности К (рис. 1!4), преобразуются сами в себя. Центр окружности переходит в бесконечно удаленную точку, бесконечно удаленная точка переходит в центр окружности. При инверсии всякая окружность или прямая переходит в окружность или прямую.
Заметим, что мы обычно будем строить область функции и+ (о и искать выражение для 1/и = 1/(и — (о), т. е. пользо- е е! ФильтРАция из кАнАЯА тРАпецеидАльного сечения 165 ваться отображением вида (1.1), которое представляет чистую инверсию области (и, и), без отражения в оси абсцисс. Возвратимся к рис. 1!4. Рассмотрим окружность К', проходящую через центр С окружности. Точка С преобразуется в бесконечно удаленную точку, точки А и В остаются неподвижными. Следовательно, окружность К' переходит в прямую, проходящую через точки А и В. Отсюда получается такое следствие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
