П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 34
Текст из файла (страница 34)
РЛ Наконец, принимая во внимание равенства (4.!6), напишем кН1 кНз Н, с1п ап — Нв с1п бп + — — — — !— 1 З 21! 212 — (Н1 саван — — з1п ап] [1 (а) + [Нзсозйп — — з!п[)п) !1(1 — [3)— / !) к ,] [, к — — в(п ап !', (а) + — в!и йп [, ( ! — 6) = О. к к Отсюда можно найти приближенное равенство для !1 к [Н] — Н~~) ! ж + Н1 [с(кап — совая[1(а)]+ 212 + Н,[ — с1и[)и+ совбп[1 (! — 6)] — — [ — в!пап]'1(а)+ Я + в!п йп [1(! — 6) + в!п ап [з (а) — в!и ]3п [, (1 — 6)].
Введем еще обозначение [з(а) =)1 (а) — [з(а) = ~ ! (1 — — Г) с1д1-"' (к') сЦ. о Тогда можно переписать уравнение для ! так: к [Н', — Н,') 1 ж ' + Н1 [с1д ап — сов ап ~1(а)] — Нз [с1дйп— — сов йп [1(1 — [!)] — — [ — в!и ап !", (а) + в! п бп [, (1 — 6)].
12 Выполним еще одно преобразование, использовав свойство функций [1(! — й) и !з(! — 6), которое мы получим, если в равенстве 11 (! — й)= ~!с!а в-' ( — "') 1(! о положим 1= ! — т. Будем иметь 1 )1 (1 — й) — ~ с(н1 Зв ( — ) 1(т — ~ т с1д1 зв ( — ) 1(т = —. — !1(6). о о Аналогично найдем 1 Ь(! — 0) — — ~(! — т) с1й1 Зв[ — )а1т — . „— [ (0)+1 Ф), о 1 1З(! — [!) — ~(! —.) (-2+ —,] с(н в( —,'] Нт —...„, [,(6). з 4 ~! земляная плотина тгхпецвидхльного пяоенля 223 РРР 010 Ри0 !1000 РРРР 0,000 010 Р,ФР 0Ы а 0 и0 Яяя !я и !я) Рис.
!50. В частном случае прямоугольной перемычки с горизонталь- ным дренажем, т. е. при сс = Чя и р = О, полагая Н! = Н, Нх = О, получим из (4.32) хН' Я 1ж — — —, 2О бх' откуда для Я находим приближенное равенство а и!тг !+ ~~ 0+ — Н1 ! з По вычислениям С. Н. Нумерова П. А. Шанкиным (1947, 2) построены графики зависимости !!, !я и !я от а, изображенные на рис. 150. Подставляя полученные выражения в формулу для 1, после простых преобразований окончательно получим х (Н; — ягс) 1 ж ' + Н1 (с(пал — совал), (а)) — Нхсозйл!Я! (3)— — — [ — — з!и ал 1, (а) — з!и Рл 1з (И] (4.32) Я ! Эта приближенная формула обладает большой степенью точности для широких плотин.
Для функций )ь )я и ), вычислены таблицы (Нумеров !946; Аравии и Нумеров 1948, 1953). (Ряя 4! Р,РР л 040 0470 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФУНКПНЯ )ГЛ. В2 ( ໠—, 2' —,2 )22) ) („Г)2-Ь ( Г)» (! Г)В (! + ))2 — а () 2») Ь| т (Ь У вЂ” У2) Щ~ 0 К К2 )2-В ( + Г)а (! ~)Ь (! + ~)2-а (Г») (4.33) Рассмотрим левую часть кривой депрессии, для которой — аа < $ < — 1.
Для у ж 1 уравнение (4,33) можно упростить, подобно тому как мы это делали выше при вычислении интегралов 2'2 и 22. Принимая К' ж и/2, получим хж 222 +2я+п(1 — $)( — т — в) ( — 1 — в) 'Х ну 2 2Э 1 а 1-а 2 ) ( — т — ~) (! + 2)' (г — В) (4.34) 1 ( — ~)Р-а(~- )'(~-и 1' т Здесь для Р можно написать приближенное равенство Р(агсз!п,, у'! ж агсз(п тг1 — и 7 7 Отметим, что во втором интеграле разность ! — $ заменена на 1 — $. Это допустимо в силу того, что в данном случае в ряде при уж 1, 1 (( < у, 1 — ~) 2 можно принять ! ! ! — Ф' После таких же упрощений уравнение (4.28) принимает вид 2а, 4а~ 2Ь! 4Ь2 ໠— — Р— — у2 Ь вЂ” — У вЂ” — Ьа и 2 Е(! ж Й.
))а (! ! ))2-» ~ () .„)~ — Ь (! ))6 Уравнение депрессионной кривой. Для получения уравнения кривой депрессии в уравнении (4.27) нужно положить 02 = 2р+ 2Я = 02(Н2+ Н2))2 — иу+ !Я. Тогда Ну2 х = — 2 + 2, + †„ (г' — $) ( — т' — в) (1 — $) ( — 1 — ь) Х $4! ЗЕМЛЯНАЯ ПЛОТИНА ТРАПЕПЕИДАЛЬНОГО ПРОФИЛЯ 227 напишем уравнение левой части депрессионной кривой в виде х(Н; — у) я я + Н1с1цап— 1 — — "' 1Рс1н'-о" ( ) (т — Ф1рс1н'-о" ® (.. о о На основании (4.16) 44 41П ая а, = Н1 соз ап— Г) о1!и ап а,= 2х Поэтому удобно ввести обозначения Р,(и, а)= "' " $с1д'-'" ( — )агс(д(и(д — ")44т, о Ро(и, а) = 1 = — ~с1й' -'" ( Я )агс1н(и(й Я )(! — Ягс1й(и1д — )~4(т.
о о + — 1напРЯ(Й ' У, а). (4.40) Аналогичным путем получается уравнение правой части депресснонной кривой: н (Н'; уо) / кл(у Н,) + "Р (1 '"(у "' 6), (4.4!) где Ро(и, 6) = '~'Р" ~1н1-ов ( — ) агсс(н(и(д — ) 44т, о 1 Г,О. 41= ' -ф ЬД $14-.Г ( —,"). По ( ~4 — )4. 64 Тогда окончательно уравнений левой ветви депрессионной кри- вой запишется в форме амкшлннля злдлчл теории Фтнкции 9юяГг) ПГ ЦЮ Ю4 Юг и 44П УХ Д4 Рб РР и 1У (У б) Рис. 151. Р,40 П,4Р Рис.
!52. а а! землянАя плОтинА тРАпецеидальногО пРОФиля 229 С. Н. Нумеров (1946) составил таблицы значений функций Рг(и,сс), Р,(и,а), Ра(и,а) и Р,(и,а). На рис. !51 и !52 приведены графики этих функций (Шапкин 1947, 2). Для плотины с горизонтальным дренажем (Нумеров !939) 6 = О, и положение всей кривой депрессии может быть определено одним уравнением, совпадающим с (4.40) при замене Н на Нг.
х-и 20" + Н~с(йап — Рг (1!тнп ~~", а)~+ + — Рх (Иг нп — ~, а) 1яап. На рис. 153 приведена для примера депрессионная кривая, построенная для случая Я = 0,2ИН, ! = 3,16Н, са = 0,25 (Нумеров !939) (б бб б,б а4 б,г Рис. !ОЗ. Для прямоугольных перемычек с горизонтальным дренажем (а = г/а, р = О) уравнение кривой депрессии принимает вид где Р(п) = — ~ агс1я (и!а — ) (1 — — „агс1д (и1д — )) г(т.
0 На рис. 154 приведен график зависимости Р от и. С помощью (4.41) можно найти для окрестности точки С вЂ” выхода депрессионной кривой в нижний бьеф — выражение производной СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФУНКЦИИ (гл, ъ! При и — О оба интеграла стремятся к бесконечности и, вообще говоря, с(х/с(у — ~со. Для уточнения вопроса о знаке сделаем подстановку и1д(лт/2) = 18(лв/2), что даст с!у О К вЂ” = — — "+ и'и '(! — и')1 ! в!прл — — 'совал) Х Х вЂ” „— в!п()л . (4.42) ! +цсс!Е2 ( ) н ! ! осыя2 ( ) Отсюда найдем предел выражения Ит (и' га — ) =(в!пйл — — 'сов))л) — — в!пил/! ( — — Р). Знак производной !Зх/!!у зависит от знака величины А= — — 1нйл+ в!пйл/! ~ — — Р). ИН, г! Я ' 'А2 При А = О для йх/йу получается конечное, отличное от нуля значение.
Если А ) О, то с(х/йу- — оо, т. е. кривая депрессии йба подходит к низовому откосу го- РМ ризонтально. Если А ( О, т. е. с(х/ду-!. + оо, то кривая депрессии подходит к низовому откосу, имея касательную, направленную вдоль откоса к его подошве. Очевидно, последняя форма движения физически нереальна, и этот случай соответствует движению б,Гб с участком высачивания. бган ббб и бг би бб бб (б и Рис.
154. Рис. !55. Таким образом, для отсутствия участка высачивания необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие А ) О, т. е. Н, )~ яп л!) ~ — — /' ( 2 )))1 ' (4.43) Способы приближенного вычисления величины промежутка высачивания указаны в цитированной книге В. Н. Аравина и С. Н. Нумерова (!948). $6! ДРЕЬ!Ы Н КАНАЛЫ В СЛУЧАЕ НАКЛОННОГО ВОДОУПОРА 23! На рис.
155 представлена кривая депрессии, рассчитанная по формулам С. Н. Нумерова. В ней имеется та же Особенность, которая была отмечена в 3 11 главы 1!!' по поводу перемычки Н. М. Герсеванова: выход фильтрационного потока и свободной поверхности во внешнюю область; если отбросить эту часть потока, то получится приближенная форма свободной поверхности и отрезка высачивания. й 5. О приведении к смешанной задаче теории аналитических функций в общем случае плоской задачи фильтрации. В примере земляной плотины с дренажем (см.
3 4), когда промежуток высачивания считался отсутствующим, была известна область ы— в задаче 3 4 это прямоугольник, искомой же являлась функция г(ь). На отдельных примерах С. Н. Нумеров обобщил трактовку указанного метода, приведя решение к двум смешанным задачам в полуплоскости для двух из функций е(ь), 6!(ь) и 0(ь) (Аравии и Нумеров !953; Нумеров 1954, 3). Эти примеры: симметричный приток жидкости к вертикальной дренажной щели, расположенной в проницаемом слое конечной глубины, и фильтрация в полубесконечном массиве к откосу сухого бьефа, опираюп!емуся на полосообразное основание, подстилаемое водоупором. Каждая из указанных смешанных задач в граничных условиях для искомых функций на некоторых участках действительной оси полуплоскости ~ содержит неизвестные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
