П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Для этого перейдем от системы (О, У) решений около точки ь = О к системе решений (0„У,) около точки ь = а. В рассматриваемом случае а ( О, т.е. отрезок (а, О) лежит влево от точки Ь = О. Поэтому нз отрезке (а, О) решение 0 имеет действительные значения, а реп!а шение У имеет вид У=е"'Чг, где функция У' принимает только действительные значения. Вспомогательная подстановка, переводящая (0, У) в (0„У,), имеет вид 0 =р 0 +ЛеУ = р 0 +йеещтУ~, где коэффициенты р„дю г, и з, — действительные числа.
Вторые ревенствз I относятся к значениям ь ( а, для которых функция У имеет действительные значения. Так как согласно (4.7) реп!а(г 0 -(-з зпгтУ ) Р 0 + д е"~тУ„ то последнее иэ уравнений (6.12) дает с (рг~ огР ) 0» + ()гз~ пгцгг) )ге (рг — тгР ) 0 + ()гз — т 4 ) е"гтУе 1 Отсюда вытекает необходимость выполнения условий рг — о,ре О и Мза — ттул=О, т. е. равенств для рл р=рзог(гд=ддтг/зд. Это дает нам уравнение (6.15) пг г)згд которое вместе с (6.14) образует систему двух уравнений для определения значений Х и а. Заметим, что в случае четырехугольника уравнение, соответствующее УРавнению (6.10) для треугольника, имеет вид о,т, сов п (а + () — у) + огт, сов п (а — () + у) (а~ — т|)(ог — тг) о,тг созп (а + () -(- у) -1- а,тгсозп (а — (1 — у) + 2 (о,ог + т,тг) з!пуф з!п ну (аг — тг)(аг — тг) циенты рядов для этих функций будут теперь зависеть не только от показателей, но и от а и Х.
Функция, отображающая конформно рассматриваемый четырехугольник на полуплоскость, имеет около точки 1, = О вид (4.7). Подстановка этого выражения в первое из уравнений (6.12) приводит к двум выражениям для рл р = Ртг/з и р = Рпг/з. Для того чтобы эти выражения совпадали, необходимо выполнение соотношения 254 ТЕОРИЯ ЛИНЕЯНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. УН так что п(е' — е") есть угол при вершине, удаляемой на бесконечность. Обозначив коэффициенты уравнения (6.16) через р(ь) и д(ь), напишем У" + р(РУ + д(Р 7=0.
(6.!8) Составим дифференциальное уравнение для производной У' 27. Его можно представить в виде йгь+ Р (ь) йг'+ О (ь) В' О, (6.19) причем Рй)=Р— —, О(1) =4+Р'-Р—. Ч 0 (6.20) Канонические интегралы для У около точки э= с имеют вид У, а, + а, (ь — с) + ат (ь — с)з + У! Ьз (гь с) + Ьз (г ьс) + (6.21) (6.22) прячем ас Ф О, Ьз чп О, а~ Ф О.
Последнее неравенства видно из непосред. ственной подстановки ряда (6.2!) в уравнение (6.16). Логарифм !п(Ь вЂ” с) в выражении У, отсутствует. Действительно, найдется дробно-линейное преобразование л!У! + ЛУ, ЬУ, +11, переводящее разрез, составленный дугой окружностя, в прямолинейный разрез (рис. 170). Но около точки (1 разложение функции ю! должно иметь вид ю! =(ь — с)зР(ь — с), где Р(ь — с) — аналитическая функция, что было бы невозможно, если бы Уз содержала !п(ь — с).
Из выражений (6.21) и (6.22) следует, что около ь = с интегрзлы уравнения (6.19) принадлежат показателям (О, 1), другими словами, ь с теперь будет обыкновенной точкой. Некоторые свойства конформного отображения четырехугольника рассмотрены в специальных работах (Смирнов 1918; Непп 1899). 3. Многоугольники с разрезами.
Во многих задачах теории фильтрации нз годографе скорости имеются разрезы. Для примера рассмотрим пятиугольник рис. 170. Обозначим через Р конец разреза. Около точки 0 угол многоугольника равен 2п, следовательно, показатели около этой точки можно принять равными (0,2). В этом случае можно найти алгебраическое уравнение, тт связывающее параметры задачи. Е Поясним это на простейшем случае круд(е-з) гового четырехугольника с разрезом.
Соответствующее ему дифференциальное уравнение (6.2) перепишем в виде Рис. !70. )7 (1) Я вЂ” )(~ — Ы(~ — ) Пусть точка ь = с соответствует вершине 0 четырехугольника, так что С = — 1; одной из его вершин пусть отвечает ь = со. При этом )7 (Ь) =Е(Ь вЂ” )!) =ЕЬ+ Ем Е= я'е", (6.17) ОВЩИЙ СЛУЧАЙ КРУГОВОГО МНОГОУГОЛЬНИКА 256 5 б1 Имея в виду, что А В С )Г(ь) Р(ь) = — + — + —, Ь вЂ” а Ь вЂ” Ь 7,— с' (Ь вЂ” а)(Ь вЂ” Ь)(Ь вЂ” с)" )7(~) = Е~+ Ео =Е Я вЂ” Л) составим выражения для Р (Ь), Я (Ь) (считаем пока Е Ф 0): А+1 В+1 С+1 Е(ь) Р(~) = — + — + — — —, к — а Ь вЂ” Ь Ь вЂ” с )7(Ь) ' )7 (~) А ) Е(Ц 1 1 (Ь вЂ” а)(ь — Ь)(ь — с) ь — а 1 Е(ь) ь — Ь ь — с 1 В Е(Р ! 1 С га) ь — Ь [ Е(ь) ь — а ь — Ь] ь — с~ ГГ(ь) ( — а ь — Ь Б рассматриваемом нами случае С = — 1 и точка ь = с не должна быть полюсом коэффициента Я(ь) уравнения (6.19).
Поэтому Иначе говоря, получаем квадратное уравнение для акцессорного параметра Е(с — Л) 1 А — 1  — 1 + — + + — — О. (6.24) (с-о)(с-Ь) с-Л с-о с-Ь Если Е = О, то имеем уравне>гие первой степени для акцессорного параметра Ео'. Ею А — 1  — 1 + — + — = О. (6.26) (с — а) (с — Ь) с — а с — Ь Оно может быть получено переходом к пределу при Л-» ою, причем — ЕЛ = Ео. Б задачах о фильтрации в земляных плотинах годограф скорости имеет б, 7 и т д. особых точек, с одним, двумя и большим числом разрезов. Условие для копна разреза получается аналогично (6.25).
Если принять с = О и заметить, что А = 1 — а, В = 1 — 6, то уравнения (6.24) и (6.25) примут особенно простой вид — Лю — 1Х вЂ” + — ! Л + 1 = О Ею + аЬ + ()а = О. (6.26) Е, Гц аЬ ха Ь! Отметим еще случай пятиугольника, для которого вместо (6.16) будем иметь уравнение Е(0 У О. (6.27) (à — с) Я вЂ” Ь) Я вЂ” с) (Ь вЂ” ю() Будем считать 0 = — 1. Полипом Е(ь) можно представить в одном из двух видов: )7 © — Е (~ Л,) (~ Лю) )7 (~) Е~т + Ед~ + Ею Условие в точке Ь ю( может быть записано в следующей форме: Я (ю() )Г' (ю() А — 1  — 1 С вЂ” 1 О.
(ю( — а) (Г( — Ь) (И вЂ” с) Е (о() ю( — а ю( — Ь ю( — с + + — + — + 266 ТЕОРНЯ ЛИНЕЙНЫХ ДНФФГРЕН!ХНА.ЧЬНЫХ ХРЛННЕННЙ !ГЛ. ЧН Полагая А= 1 — а, В=! — 6, С =1 — у. Е= ее' и раскрывая Е(Н) и )7' (г(), можем записать его в виде ее' (и' — Л,) (с! — Лз) 1 1 (и' — а)(о — Ь)(п' — с) о( — Л, о( — Лз + — +— — — — — = О.
(6.28) и — ь л — с При ее'=0 будем иметь другую форму: Е!г(+ Ео, Е! а В у — = О. (6.29) о( — Ь о( — с (и' — п)(п' — Ь)(н' — с) ' Е!й+Ео и' — а Наконец, приняв о( = О, получим соответственно ве'Л,Лз ! 1 а й у + — + — — — — — — — О, аЬс Л, Л, а Ь с. (6.30) Ео Е! а Р у — — — — — — — — 0 (6.31) аЬс Е, а Ь с Недавно А. Р. Пицкншвилн (!973, 1974) предложил для общего случая кругового многоугольника применить теорию сопряжения для нескольких неизвестных функций (Н.
П. Векуа !970) и теорию И. А. Лаппо-Данилевского систем линейных дифференциальных уравнений. Это дает возможность получить систему уравнений для параметров задачи о конформном отображении круговых многоугольников. Некоторые частные типы круговых многоугольников с числом вершин, большим трех, рассмотрены в работах Э. Н.
Береславского (1972). В частности, для случая, когда числа А, В, С, все равны '/,, решение уравнения (6.16) сводится к уравнению Ламе, которое решается в 6-функциях (Уиттекер и Ватсон 1962). 1гп( + ' )=О, (7.1) 1тш! =О, полученных из уравнений (3.14) и (3.15), где гв! — — Е!/2~. Действительно, если окружности (7.1) пересекаются, то сх' — ан— действительное число, так как п(а' — ан) — угол между этими окружностями. Тогда отношение Л'/Л" должно по модулю равняться единице. Координаты точек пересечения являются корнями уравнения з т-йп+и-/щ.
м — йщ О ш+ ш+ =О, (в — /л (а — (п (7.2) й 7. Случай действительных показателей; второй вывод характеристического уравнения. Вернемся к вопросу об определении показателей около особых точек (см. 9 3). Нас специально будет интересовать случай, когда а' и сон действительны. Нетрудно убедиться, что необходимым и достаточным условием действительности а' и ан является условие пересечения окруж- ностей случАЙ депствительных показАтелеп 257 Принимая во внимание неравенство (И вЂ” 1а)з О, найдем, что эти корни действительны при условии (йа — йй + 1т — 1т) — 4 (йт — йт) ((п — 1и) ( О.
(7.3) Так как произведение Л'Л" есть действительное число, то из действительности числа а' — сал вытекает действительность чисел а' и а". В самом деле, если в уравнении (3.!7) положить Л(еп — лу1) = $, то для $ будем иметь уравнение $2 — (А + А) $ + АА — ВС = О, где А = лл — т1, В = 1п — 1й, С = Фт — ет. Условие, что корни $' и $л — комплексные сопряженные, состоит в том, что (А+ А)е — 4(АА — ВС) ( О, что совпадает с условием (7.3). При этом )$'Дл( = (Л'/Л") = 1.
Предполагая теперь выполненными условия действительности показателей и' и ал около ~ = О, вернемся к условиям на отрезках вида (3.1). Предположим, что г=Аи+В(7, Г=Си+0(У, (7.4) где 0 = ~' ~ а„~", $' = ~"" ',Е 6„~", (7.5) о=о л О причем для простоты считаем, что в этих разложениях члены с 1п ~ отсутствуют. Тогда первое из условий на отрезке МОМО (рис. 165) можно согласно (7,4) представить в виде 1гп (й,3+ 1уу) = 1т ((йуА + 1С) 0 + (йуВ + 10) )У) = О. (76) Если показатели около всех особых точек действительны, что считаем выполненным, то коэффициенты в разложениях (7.5) будут действительными. Поэтому (7.6) можно представить в виде 0 1т (й,А + 1,С) + (У 1т (й, В + 1О0) = О. Перейдем теперь с отрезка МОМО на отрезок М1Мм совершив обход около точки ~ = О по полуокружности в верхней полу- плоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
