П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Автор приводит задачу к системе интегральных уравнений типа Фредгольма второго рода с регулярными или сингулярными ядрами. В названных работах изложен один нз возможных способов решения интегральных уравнений, основанный на приведении их к вполне регулярной бесконечной системе алгебраических линейных уравнений и решении этой системы методом последовательных приближений. Следует отметить, что С. Н. Нумеров использовал в !939 г, свой метод решения смешанной задачи в полуплоскости, основанный на применении интеграла Коши, независимо от Ф. Д.
Гахова и Н. И. Мусхелишвили, которые в дальнейшем широко развили соответствующий общий метод. Эта работа С. Н. Нумерова, посвященная частной задаче теории фильтрации, осталась неизвестной математикам. $6. О фильтрации при наличии дрены или канала в случае наклонного водоупора. Схема рассматриваемого движения дана иа Рис. !56. Дрена имеет вид горизонтальной щели, граница водоупора составляет угол ап с горизонтальной прямой (Нумеров 1951, 1; Аравии и Нумеров 1953).
Обозначим через 1,! и Я! расходы соответственно на бесконечности слева и на бесконечности справа; при этом величина ДРЕНЫ И КАНАЛЫ В СЛУЧАЕ НАКЛОННОГО ВОДОУПОРА 233 ф может быть отрицательна, если приток к дрене происходит и из бесконечности справа. Будем различать четыре случая: 1) всесторонний приток воды к дрене, когда расход Я балыке расхода ЯН при этом правая ветвь депрессионной кривой имеет максимум в точке ветвления потока Мо (рис. 157); 2) расход нз дрены в грунт, т.
е. фильтрация из канала; при этом левая часть кривой депрессии имеет минимум в точке Мо (рис. 158); Рис. 160. 3) в верховой части дрены имеет место приток грунтовых вод, в низовой — просачивание из дрены в грунт, и точка ветвления М, расположена на дрене (рис. !59); 4) поток поступает в дрену с у двух сторон из бесконечности, и точка ветвления мо находится на водо- ссВ Агд дую гта т ссгу упоре, а расход Я, отрицателен Рис. 161. (рис.
160). Соответствующие области комплексного потенциала ш = = ср+ !зр изображены на тех же рис. 157 — 160. Конформное отображение области ш на полуплоскость ь (рис. 161) во всех случаях дает е) ш = — сЯ вЂ” — 1,) агс)т + — 1,), агз)с ~ . (6.1) 2 1 2 1 — В ~Вй н '~ В(1-и ' В самом деле, пусть конец разреза на плоскости ш, т. е. точка Ма, переходит в точку а плоскости ь.
Тогда формула Кристоффеля — Шварца, примененная к любой из трех фигур ) Четвертый случай здесь не рассматривается. С. Н. Нумеров (1947, 1) Чал его решение для сс = О, т. е, для горизонтального водоупора. СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФУНКЦИИ [ГЛ. Ш 234 плоскости Ге, даст = Ма ~ ~ + М(1 — а) ~ . (6.2) 1 l! — Рй К- !) ! — Р1 Учитывая, что полувычет первого интеграла правой части около точки !, = 0 равен — !1,), а полувычет второго около ~ = 1 есть — !Яь и вычислив указанные интегралы, придем к формуле (6.1). Теперь введем в рассмотрение функцию Жуковского О=О, + !О,=Ге — !йг. (6.3) Для промежутков ( — СО,О) и (1, со), т. е.
вдоль депрессионной кривой и вдоль контура дрены, давление равно атмосферному, а потому !гп (!9) = О, = ~р + )зу = О. (6.4) На промежутке 0 < ~ < 1 имеем х ейп ап + у сов ап = — Т сов ап, ф = — Я. (6.5) В силу (6.3) О, = у+ йу, Ов = ф — йх, а потому (6.5) перепишется так: 1гп !!е""'О] = — О, в!пап+ О, совал= = — йТ сов ап + !') З)п ап + ~р (~) сов ая, (6.6) причем <р(в) = — — агой = + — агв)з А/ р . (6.7) 2о ! 201 / !— я ~/рт я р (! — $) Бесконечно удаленная точка плоскости ь для О является нулем.
Применяя формулу (1.7) к функции (!О+ НТС(пан — ),))~ "(ь — 1)" 1 получим г(ь) = — Тс!дал+ 1 + —,— — — — ь'(ь — 1) '„. (6.8) о Определение постоянных. Уравнения (61) и (68) содержат две неизвестные постоянные: 9~ и 6. Величина Я является заданной, она выражается через глубину Ь потока на бесконечности слева: — = Ь в! и ап сов ап. О (6.9) СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФУНКЦИЯ !гл. ч! и имея в виду, что Я!:Я=А!: Ь, найдем ! ! — — ' зl~ — В Ь (6.16) Превышение отметки максимума иад горизонтом воды в дрене вахах 2а7 . Ь вЂ” Ь! ъ~! — В 2!71 lз(! — В (А — Ь! з/1 — В ) = — агсБ ле А — — агс!! х! ч А~В (6.17) В силу условия для $ а„заключаться в промежутке (1, 1/В) имеем и, Ь откуда получаем неравенство ! Точно так же для левой ветви депрессионной кривой в случае фильтрации из канала получаем значение минимальной ординаты 2!7 .
/ь! з/! —  — ь у ы =+ — агсЬ 'у „+ + — агой 2!7 ~ ЛП (6.18) при условии —" < )/! — В. Ь! Случай малого уклона. Если угол ал мал, то ряд формул можно упростить. А именно, положим !дал=у (6.19) и обозначим через (Гп — — (! — Я, фильтрационный расход единицы погонной длины дрены. Положим также л «Ь~ -!-!75 2 АТ Тогда получаются приближенные равенства: — 'ж3Т, Вж! — е-ат л,= . ' жТ. (6.21) Й й 5!пОл 505 пл $ б! ДРЕИЫ И КА!!АЛЫ В СЛУЧАР !!АКЛОИПОГО ВОДОУПОРА 237 Далее, найдены приближенные значения экстремальных ординат депрессионной кривой при малых ап! причем Л' = Ь/Т > ет, причем Ь* ( е-У. Отсюда следует, что при Ь' > ет имеем случай всестороннего притока грунтовых вод к дрене, при Ьа ( е-У— случай фильтрации из канала в грунт.
Для е-т ( Ь' ( ет имеет место случай рис. 160. Для внешней и внутренней ширин щели Ь и Ь! (Рис. !56) получены приближенные выражения Ь ж — „~ — — 1 — агссов Ь), Ь, ж — ~ — „— 1) . (6.22) 2Оа/ 1 Оа/ 2 еа ) 2-а~па где 2Е. (6.23) l (ь+Ф) Формулы (6.22) являются точными в случае одиночной дрены в безграничном массиве грунта, что видно из формулы (3.11) главы 1Ч (в которой Я соответствует нашему 92), При Ь! —— 0 имеем 6 = 2/и, поэтому здесь Ь ж — „л — — 1 — агссов — 1 — ' ~ 0 262 — '. (6.24) По формулам (6.22) найдем разность Ь вЂ” Ь, ж — ' ~1 — — — агссов 51.
(6.25) Яа ! 2а 2 '= ° !. и(,/1=за+ 1) Производная этого выражения положительна: а(ь-ь,) О. ! — ч/! — Ьа /й а" 62) АА —— -а а >О 1 =2 Следовательно, при заданном приведенном расходе дрены Разность между ее внешней и внутренней шириной уменьшается с Ростом внутренней ширины. Наибольшее значение этой разности будет при Ь! = О, оно равно 0,26292/й. В случае фильтрации воды из дрены в грунт имеем Ь = Ь!. Рассмотрим частный случай: фильтрацию из канала при отсутствии естественного потока (рис. 162). В этом случае Я = О. $6! ДРЕНЫ И КАНАЛЫ В СЛУЧАЕ НАКЛОННОГО ВОДОУПОРА 239 Найдем границу распространения подтопления каналом /.
и от- метку Н кривой депрессии на этой границе. Рассматривая про- межуток — оо ( $ ( О, напишем с помощью (6.8), учитывая, что иа свободной поверхности гр = †/су, х= — ТС1пап— — —,1совал( — $) (1 — 9) 1! (1 — !)а 1агз)! пг)г Р(! — !) 1 — 1 ' о 2Я1 / ! — в У = — — агз)1,6/ М Р()-и ' Положив != — Ет под знаком интеграла в выражении для х и переходя к пределу при 9 — «О, найдем /.=Т с1пап+ — с1ианагс)! =, 2о1 ЛА з/р ' 26)1 / ! — !) 201 ! Н = — агз)! т/ — = — агс)1 —. Ъ Другой частный случай: приток к горизонтальному фильтру (рис. 168). Здесь имеем Ь=оо, 91=0, 8=1, поэтому фор- мулы (6.1) и (6.8) дают со = — — агс)! = — 10, 2О а/г х= — Тс)пан+ — + — агс1=+ Я 2О!, ! НА ' З/~ + 2О согаа а ( !)1-а 1 ! (! — !)~ ! ! га ,/7 " Уравнение ветви свободной поверхности получим, полагая ь = в и рассматривая 9 в промежутке ( — оо, О): х = — Т с1пап— 1 1-а (! !)6-1 у = — агз)1 = 2Я л а/:г ' Для ширины верхней части щели Ье найдена приближенная формула Ь ж яийгТ.
На рис. 164 дана фотография эксперимента в щелевом лотке при фильтрации из канала над наклонным водоупором (м. Н. Эмих и Е. М, Эмих !968). Глава Р11 ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ й 2. Условия на действительной оси для двух основных функций. В главе 11 были рассмотрены условия на границах, которые являются отрезками прямых и депрессионными кривыми. Можно заметить (см.
$2 главы Н), что все эти условия представляются или в виде равенства нулю линейных функций от координат (уравнения прямых) или линейных функций от координаты и потенциала скорости или функции тока. Другими словами, на каждой из границ контурные условия могут быть представлены в виде двух уравнений вида й,я+1нт+ т, Р+ пф=д, ~ й2х + 129 + ш2Ф + пэт ч где коэффициенты суть постоянные. (2.1) А. ОБШАЯ ТЕОРИЯ й 1. Вводные замечания.
Как известно (Полубаринова-Кочина 1938), идею применения к задачам о движении грунтовых вод аналитической теории линейных дифференциальных уравнений дал Н. Е. Кочин. Эта мысль была принята за основу метода, развитого в работах автора (1938 — 1939), а также Б. К. Ризенкампфа (1940, 1). Метод был применен к решению задач о фильтрации в земляных плотинах: в прямоугольной перемычке и плотине, поперечное сечение которой представляет прямоугольную трапецию. В случае более сложных плотин приходим к дифференциальным уравнениям с большим числом параметров, подлежащих определению, что затрудняет эффективное применение метода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
