П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Рис. !68. Рис. !67. Для ь = $ (О ( $ ( 1) функция ю принимает действительные значения; значит, Гв при этом пробегает некоторый отре4ок оси абсцисс. при ь = $ ( 0 имеем (считая агц ь = 0 при ~ = = $ ) О): ь" = е""( — $)'. Следовательно, св пробегает точки отрезка прямой АС (рис. !68). Дробно-линейное преобразование А+ Вчу АУ+ Вр С+ Ось С!7+ РУ (4.8) переводит прямые в окружности, и, следовательно, в окрестности точки ~ = 0 некоторому отрезку действительной оси ~ = С отвечают дуги пересекающихся окружностей.
Для рассмотрения окрестности особой точки ~ = 1 перейдем От системы функций У, )7 к системе (уь )71 с помощью вспомогательной подстановки (у=ри, +4УИ У -г(7,+а)7н (4.9) Будем считать для простоты а и 6 отличными от целых чисел и нуля. Коэффиценты ан ам..., Ь1, Ьн ..., сн см ... рядов (4.4) — (4.6) — действительные числа. При этом ряды (4.4) сходятся в круге Сс (рис. 167) с центром в точке ь = О, проходящем через ближайшую особую точку, т.
е. Ь = 1; ряды (4.5) сходятся в круге Сь для которого 1ь — 1) ( 1; ряды (4.6) сходятся для ~ Ь1 ) 1, т. е. вне круга С,. Уравнение (4.2) связано с задачей о конформном отображении кругового треугольника на полуплоскость. Для того чтобы это показать, составим функцию 248 ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ !ГЛ, ЧИ С помощью (4.9) можно переписать (4.7) так: ! гт,+псу, Ргт + еу! (4.10) Рассу!кдения, аналогичные предыдущим, показывают, что в точках ~ = 1 и ь = оо также получаем пересечения дуг окружностей.
Имеет место теорема: функции вида (4.7) или (4.8) преобразуют конформно верхнюю полуплогкогть в круговой треугольник, не имеющий внутри точек разветвления. 9 5. Гипергеометрические функции и их свойства. Гипергеометрической функцией называется функция Р(и Ь 'с х) =1+ — + '+ (5 1) Она является частным решением следующего уравнения: х(! — х)У" + гс — (а+ Ь+ 1) х] У' — айу = О, (5.2) У=Р о а О оо 1 х ! — с Ь с — а — Ь (5.3) Отметим свойство символа Римана для любого числа особых точек. Пусть т а! а.... а» оо У вЂ” Р~а! а,...а» а х рр, й» (5.4) Если в выражении У выделим множитель (х — а!)Р, то во втором множителе показатели около точки х = а, уменьшатся на р и будут, следовательно, а! — р, 5! — р, а около бесконечно далекой точки показатели увеличатся на р, так что вместо а и р будем иметь а + р, 5+ р.
Другими словами, а, а! .. а„а> Р~а! а, ...а» а х р! р! р» р а, а,...а» со =(х — а,) Р а~ -Р а! " а» а+я х, (5,5) Р+Р называемого уравнением гипергеометрического ряда. Уравнение (5.2) получается из (4.2), если положить у = а, у' = Ь, а = = 1 — с, 5 = с — а — Ь, с учетом соотношения (4.3). Всякое рещение этого уравнения выражается с помощью символа Римана (Смирнов 1969; Голубев !950): 4 5! ГипеРГГометРические Функции и их своиствА 249 В частности, можно с помощью этого преобразования получить функцию Римана, имеющую по одному равному нулю показателю около каждой особой точки на конечном расстоянии, Пользуясь символом Римана, можно отыскивать другие решения гипергеометрического уравнения.
Так, для получения решения уравнения (5.2) около х = О, отличного от г"(а, Ь, с, х), выделим множитель х'-' в (5.3). Получим О 00 У =х'-'Р с — ! а+ ! — с О Ь+1-а ! О х с — а — Ь О са ! =Х! — а/5 О а+ ! — с О х, (5,5) !с †! Ь+1 — с с — а — Ь У =х' 'Р(а+! — с, Ь+ 1 — с, 2 — с, х). Эта функция линейно независима с Р(а, Ь, с, х), поэтому в каче- стве фундаментальной системы решений около х = О для урав- нения (5.2) мы имеем (/ = г"(а, Ь, с, х), у' = х'-'Р (а + 1 — с, Ь + 1 — с, 2 — с, х).
(5.7) Аналогично можно найти системы решений около особых точек х = 1 и х = оо: (/! — — г (а, Ь, а + Ь вЂ” с+ 1, 1 — х), (5.8) $'~=(! — х) ' г" (с — а, с — Ь, с — а — Ь+ 1, ! — х); А' ! Х (5.9) Р„=х-ЬР(Ь, Ь вЂ” с+1, Ь вЂ” а+1, — „). Ряды (5.7) сходятся при !х)(1, ряды (5.8) при !х — ! ) ( (1, ряды (5.9) при )х) ) 1. Замена х соответственно на ! — х, 1/х, 1/(1 — х), (х — 1)/х и х/(х — 1) меняет коэффициенты уравнения, но сохраняет в качестве особых точек О, 1 и аа.
Отсюда можно найти новые формы интегралов уравнения (5.2) Вместе с уже указанными получаются 24 формы Куммера. Выражение, являющееся множителем при х' ', есть гипергеометрическая функция, в которой первыми аргументами являются показатели на бесконечности а+ 1 — с н Ь + 1 — с, третий же аргумент представляет дополнение до единицы отличного от нуля показателя при х = О. Таким образом, получаем 266 теопия линейных дневкпснцнлльных т хвпеннй (гл. чп Между различными ветвями гнпергсометрической функции суп(ествует линейная зависимость, выражаемая вспомогательной подстановкой вида (4.9). Так, гч(а, Ь, с, г)=рг(а, Ь, а+6+1 — с, 1 — г)+ -(- д (1 — г) ' ь Р (с — а, с — Ь, с -1- 1 — а — Ь, 1 — г), г'-'Р(а+1 — с, Ь+! — с, 2 — с, г)= =гг" (а, Ь, а+ Ь+ 1 — с, 1 — г)+ + з(! — г)' ' Р(с — а, с — Ь, с+! — а — Ь, 1 — г), (5.10) Г(1 — с) Г(1 — Ь) Если с — а — Ь ) О, то гипергеометрический ряд сходится при г= 1.
Поэтому из (5.11) для этого случая получаем Г(с) Г(с — а — Ь) Г(с — с) Г(с — Ь) ' (5.12) й В. Общий случай кругового многоугольника. Предположим, что имеем круговой многоугольник, т.е, многоугольник, ограниченный дугами окружно- стей 1ш ! з * ) = О (з = 1 2, ..., ч ч + 1). (6 1) хт +пзю Углы в вершинах многоугольника обозначены через ниь пп,, ..., пасть Отобразим его конформно на верхнюю полуплоскость вспомогательного ком. плексного переменного ь. Пусть вершины многоугольника переходят в точки вещественной оси а, (з = 1, 2, ..., и+ 1), причем пусть стьз = со.
Если выберем произвольно аффиксы еще двух точек с„то положение остальных точек будет вполне определенным (но заранее неизвестным) для данного многоугольника. Функцию ю можно представить в виде отношения двух линейно независимых частных решений дифференциального уравнения + У О. а +,и +, (6 — Л,) ... (ь — Л» т) (Ь вЂ” с|) (ь — аз) ... К вЂ” сч) (6.2) Здесь иь аз..., ач суть деленные на и углы в вершинах многоугольника, переходящих при конформном отображении в точки вещественной оси Г„лел жащие на конечном расстоянии, ач+~ и пт+~ таковы, что н и„,+ — а +,— — а +! (6.3) где Г(с) Г(с — с — Ь) Г(с — а) Г(с — Ь) ' Г (2 — с) Г(с — а — Ь) г— Г(с) Г(с+ Ь вЂ” с) Г(с) Г(Ы 1' (2 — с) Г (а + Ь вЂ” с) (5.1 1) Г(с+ 1 — с) Г(Ь+ 1 — с) ' ОБЩИН СЛУЧАИ КРУГОВОГО МНОГОУГОЛЬНИКА 4 а) 251 Здесь т — число особых точен, находящихся на конечном расстоянви от начала.
Наконец, величины Ль йь ..., Л,-, в уравнении (6.2) представляют так называемые акцессорные параметры, которые заранее не известны. В случае кругового треугольника эти параметры, как мы видели, отсутствуют, что и облегчает решение задачи. Обозначим линейно независимые интегралы уравнения (6.2) около точки а. через (/, и У,. Тогда величина ю будет дробно-линейной функпией от них: А(/,+ВУ, = Си,+ВУ, где А, В, С и /7 — постоянные. Рассмотрим частные случаи круговых многоугольников. 1.
Треугольник. Вернемся к треугольнику рис. 168 и выясним связь постоянной р в формуле (4.7) с размерами треугольника АВС (рис. !68), которые можно выразить через отрезки а и т. Прежде всего отметим, что произвольный нруговой треугольник с отлич. ным от нуля углом пи можно с помощью дробно-линейного преобразования перевести в треугольник с двумя прямолинейными сторонами вида рис. 168.
При этом уравнения сторон АВ и АС можно записать соответственно в виде 1ш в =О. !ш (епг"ю) О, (6.6) а уравнение окружности ВС и виде ~ е" ~(ю — а)~ (6.7) Для рассматриваемого треугольника имеют место уравнения (4.7) и (4.9), причем р, д, г, з и р — действительные числа. Если перейти с отрезка (О, 1) плоскости ь на отрезок ь) 1, то там фуякция У~ уже не будет иметь действительных значений, Можно положить -ыв У, =е "1ВУ . где функция У' имеет действительные значения при ь) 1.
Тогда получим е"га (ю — а) ея'Б (рг — ра) (/~ + (рз — да) У (рг — рт) (/, + (рз — дт) е и! У Если выполняется уравнение (6.7), то необходимо должны одновременно выполняться равенства 1ш ~епга (рг — рг) (рг — ра)) = О, 1ш 1геп!Б (рз — дт) (рз — да)1 О, !ш ~етлгв (рг — па) (рз — дт)1 О Так как рз — дг = О, то одновременно рг — да = О и рз — дт = О, откуда для М получаем два выражения: р дт/з и р = ра/г, для совместности этих равенств необходимо, чтобы (6.8) а дг (пот+, есть угол при вершине, переходящей в точку ь со). При этом между и числами сс. (з = 1, 2, ..., У), ат+, и от+, должно выполняться соотношение Фукса а, + а + ...
+ а, + а',+, + а,"+, т — !. (6.4) 252 ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ !ГЛ. ЧЫ В теории гипергеометрическнх функций выводится соотношение рз з!п п(а+ у) з!п п(6+ у) ЦГ з!и пу 31п пу' С другой стороны, рассматривая треугольник АВС, найдем для косинуса угла прн вершине С псозп(а — ()) — тсозп(а+ (!) (6.10) т — и соз гг(у — у ) Решив последнее уравнение относительно т/о, получим выражение, стоящее в правой части (6.9), что и доказывает справедливость тождества (6.8). Уравнение (4.7) дает вполне определенное (и единственное согласно теореме Римана о конформном отображении) выраже4ь В ние функции, отображающей треугольник АВС на полупло- 6'ь ттрн скость так, чтобы вершины его УА-А) перешли соответственно в точки О, 1, ее 2.
Четырехугольник. А Аналогичным образом можно рас. гг Ю смотреть четырехугольник с непг равными нулю углами. С помощью дробно-линейного преобразования переведем его в четырехугольник, две смежные стороны которого суть прямые. Пусть это будет четырехугольник, представленный на рис. 169. Напишем уравнения его сторон в форме 1гп(е Я!аш) =0 (6. ! 1) )шш О, Для отыскания функции, дающей конформное отображеняе внутренности нашего четырехугольника на верхнюю полуплоскость ь с переходом точек А, В, С и В плоскости а соответственно в точки О, 1, а н оо плоскости Ь, составим линейное дифференциальное уравнение второго порядка У" + ~ — + — + — 1 У'+ У= О, (6.13) ь — 1 ь — а / ь(ь — 1) (ь — а) Это уравнение определяет функцию, две ветви которой имеют около особых точек показатели, соответственно равные 0 и сг около ь = О, 0 и 6 около ь = 1, 0 и у около ь = а, у и у' около ь = со.
Эти показатели должны удовлетворять соотношению Фукса и+ 6+ у+ б+ б' = 2. Уравнение (6.13), в отличие от уравнения, соответствующего треугольнику, кроме заданных параметров а, (1, у, б и б' содержит еще два неизвестных параметра а и Х, которые зависят как от углов данного четырехугольника, так и от других параметров, определяющих этот четырехуголышк. Поэтому нужно получить два соотношения, могущих послужить для определения а н А. Фундаментальные канонические системы решений уравнения (6.13) обозначим соответственно через (У, )г), (Уь )г~), (У„)г,), (У, р ). Коэффи- ОВЩНИ СЛУЧАИ КРУГОВОГО МНОГОУГОЛЬНИКА 253 4 6! Рз и! Ог (6.14) которое теперь представляет уравнение, также содержащее неизвестные а и Х, Для того чтобы получить еще одно уравнение между а и )ч обратимся и неиспользованному еще нами последнему из уравнений (6.12) четвертой стороны четырехугольника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
