П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 40
Текст из файла (страница 40)
При этом интеграл правой части разобьем на два и используем соотношение (9.4): н,+и, и, и1+ ив ф(1, у) 1у= — ~ йн, 1у — й ~ у 1у= о о и, 2 = — — ~гН вЂ” — ~(Н. + Но) — Но|. Вдоль промежутка высачивания АЕ должно выполняться условие (9А): р(1, у)+ /гу=О. Вычислим расход через произвольное вертикальное сечение перемычки. Очевидно, 288 теоРия линейных диФФеРенциАльных уРАВнений [Гл, чи После этого уравнение (9.9) дает 2 (и,+и,)'+и', ф = — йН2 — — [(Но + Но) — Н2 ) + й При этом Но выпадает из правой части и остается 21 а(н2 — и,') (9.10) (9.1 1) [р (г, г) + йг = О. Расход через произвольный цилиндр радиуса г, ось которого совпадает с осью г, выражается так: [.1= 2лг з! — Де, дФ дг о (9.12) где г есть ордината свободной поверхности. Если положим [и г — л=х 2л то задача сводится к предыдущему случаю перемычки.
Для получения окончательного результата достаточно в выражении расхода (9.10) заменить 1 = хо — х, величиной Полученная формула для расхода прямоугольной перемычки совпадает с формулой Дюпюи, которую мы отметили в 5 !1 главы 11 (см. также 9 2 г главы Х). Точно так же выводитд ся формула расхода для осесимметричной задачи 2[ в случае совершенного кои, лодца. Е Рассмотрим колодец не радиуса 6, в котором вода стоит на уровне Но. Пусть цилиндрическая Рис. !80.
поверхность г = К есть поверхность равного потенциала (рис. 180), а ординаты свободной поверхности г = = Но+Нопри г=бнг=Н[ приг=Н. В цилиндрических координатах (г, г) имеем потенциал скорости [о(г, е), так что проекции скорости равны о„= дфдг, о, = = дфдг. На свободной поверхности имеем соотношение, выражающее постоянство давления: $ о! восход пгямоггольпоп пегемычки и колодца 2б7 (1п Р— 1п б)/(2п), что и даст формулу Дюпюи для колодца (см.
$6 главы Х): пй (Н~! — Н~~ !и Н/б (9.!3) 1гп ~го!(г= ~ ~рг(д+ф!(х=О. г лвсовя Примем, что на свободной поверхности АВ имеет место инфильтрация (или испарение) постоянной интенсивности е (см. $ 2 главы П). Обозначая через Я! расход через верхнюю грань ВС плотины, получим, что ф = ех + Я! вдоль АВ и ф = О вдоль С0. Подставляя под знаком второго из интегралов вместо !р и ф соответствующие выражения на отдельных участках контура, начиная с АВ, напишем и, о о йдг(д+ ~ (ех+ Я!) !(х — ~ йН, !(д— и,+и, и, и, и+и — ~ йН, 1д — ~ йд(д=О.
(9.14) и, При постоянных й и е интегрирование выполняется, и после простых преобразований получаем © 2+ 2! о! й (Н1 — Но!) (9.15) Иа низовой части плотины к этому расходу прибавится расход инфильтрации е! и общий выходной расход Яо будет равен о! й (Н! — Н~) 2+ 2! м случае инфильтрации свободная поверхность, конечно, несколько возвышается над уровнем верхнего бьефа у точки В (9.16) Таким образом, не имея в настоящее время точного решения задачи о безнапорном притоке жидкости к колодцу, мы имеем, однако, точную формулу для расхода колодца. Другой вывод несколько обобщенной формулы Чарного для перемычки может быть дан с помощью применения теоремы Коши, говорящей, что интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру равен нулю.
Функция оо(г) = !р+ пр является аналитической, не имеющей особенностей в области движения, ограниченной контуром Г = АВСОЕА (рис. 179). Интеграл по этому контуру от оо !!г, а также его мнимая часть равны нулю: 2бв ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ )ГЛ. Ю! (рис. 179), и над точкой В образуется второй промежуток высачиваиия. Однако на окончательных формулах (9.15) и (9.16) это не сказывается. Обобщение формул (9.15) и (9.16) на случай, когда В зависит от х, а й зависит от у, было дано И.
А. Чарным (!953), а также С. Н, Нумеровым (1953, 2) применившим потенциал Гиринского: ге'и ! н, Н, !Г )Г г(и — ) ыи*+ ~ <и,— д)исаи — ~ <и,— и)ыд)ии~. о о о (9.17) Ю. С. Лапшин показал, что уравнение (9.!4) сохраняется и для кусочно-постоянной зависимости й(у) в случае горизонтальных прослоек с участками напорно-безнапорного движения.
$10. Построение решения для перемычки. Решение этой за. дачи было получено первоначально Б. Б. Девнсоном (1932) и Г. Гамелем (Нагпе1 1934) как решение задачи Дирихле. Здесь дается более простое решение *). Пользуясь результатами $8, найдем показатели системы функций 2 и Р для рассматриваемой задачи (рис. 179, 181). Около точки А (~ = О) имеет место шестой случай, поэтому показатели (здесь еа = '/з) будут О, О. Около точки В (ь = 1) имеет место пятый случай, причем показатели равны — '/и — з/а.
Около точки С (ь = а) соответственно первому случаю имеем показатели — '/м '/м причем здесь особенность является устранимой. Точка е) (ь = Ь) аналогична точке С, и около нее показатели будут — '/а, '/а. Около точки Е (ь = оо) имеем четвертый случай, которому соответствует кратный корень характеристического уравнения, равный нулю. Так как эта особая точка— бесконечно удаленная, то показатели около иее будут 2, 2 (см.
конец $8). Функции Р и 2 являются различными ветвями функции, которая может быть представлена с помощью символа Римана: 1 1 2 1 2 ь 1 — — 2 2 1 — 2 2 у =Р о 2 1 2 (10.1) ') Связь обоих регоеиий показана в книге П. Я. Полубарниовой-Ковииой (!942, !). ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПЕРЕМЫЧКИ ! !а! 269 Отметим, что сумма всех показателйй равна трем, следовательно, условие Фукса (6.4) здесь выполняется (число особых точен ч+ 1 равно пяти).
Применяя (5.6) к функции У", можем написать о ! о о о о (10.2) !/!1 — ь)(ь — а) (ь — Ь) Введенная новая функция У в точках ь = а и ь = Ь имеет показатели 0 и 1 и, как было указано выше, в своих разложениях не содержит логарифмических членов. Поэтому ь = а и Ь являются обыкновенными точками и могут быть исключены из рассмотрения, т. е. функция У имеет лишь три особые точки и может быть обозначена так: (10.3) Функция У есть решение уравнения (4.2), в котором а = р = О, у = у' = '/е и которое можно записать так: ь (1 — ь) У" + (1 — 29) У' — — У = О.
(10.4) При этом, если (/ и У вЂ” его линейно независимые интегралы, то ло+Вк т Си+ т Около ь 0 имеем интеграл этого уравнения, представляюшийся в виде гипергеометрической функции (5.1) прн а = '/г, Ь= 1/, с= !. Р(! ! ~ РУ ~~ зУ, ~! з ЕУь,+ (10.6) К(ь)= ~ "'Р =" ~1 1 Я ~+( — '~) ~'+ ...~. (10.7) У'=(1 — 9) *(ь — а) '(9 — Ь) ьР о 1 аа ! У =Р 2 о о ! 2 Рассмотрим определенный интеграл ал а Ь со о о — с ! 2 ! 1 ! 2 у 27О ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЛИФФЕРЕИЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕР!ИЙ !ГЛ.
Чц Гипергеометрическая функция (10.6) лишь постоянным множителем отличается от этого полного эллиптического интеграла первого рода, рассматриваемого как функция от квадрата модуля й2 = ь. Следовательно, в качестве одного из частных решений уравнения (10.4) можем взять В!2 При замене Ь на 1 — Ь уравнение (10.4) не меняется, поэтому )7=К(1 — ь)=К' (й' =1 — ь) (!0.9) также является решением нашего уравнения, регулярным около точки ь = 1. Ряд для К(Ь) сходится при )Ь( ( 1, т. е.
в круге СВ (рис. 167), ряд К(1 — Ь) в круге Сь для которого (Ь вЂ” 11 = 1. Выясним, как ведет себя К(1 — ь) при ь = О. Между К и К' существует соотношение, получаемое с помощью теоремы об определителе Вронского (Смирнов 1969): ![К', ![К и К вЂ” — К' — =— !Ть ![ь 47„(! — В) ' Его можно переписать в виде Л~ Х К) 4КК(! — Г) л~~+ 2+ [(Ь))' где Р[(ь) — ряд по целым положительным степеням Г.
Отсюда, интегрируя, найдем К' (~) = К(! — ~) = — — „1п ~+ Р Я), (10.10) где Р(ь) имеет вид 2л ~ ~ 1 ° 3 ° 5 ... (2л — [) ~2 '~2 ( — [)~ ~л (!О 11) и 0 т-! Таким образом, К(1 — ~) представляет решение, имеющее логарифмическую особенность около точки ь = 0; следовательно, К(ь) и К(1 — ь) линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений около ь = 0: 12 = К ф), )7 = К (1 — й).
(10.12) На основании формул (5.10) и аналогичных им находим, что построение Решения для пеРемычки 27! ряды для которых сходятся вне круга С, (рис. 167). Конформное отображение модулярного треугольника плоскости из = = и — 1о (рис. 181) на верхнюю полу- плоскость Ь производится по формуле ~ззк к( );- В к З вЂ” э С К(ь)+ 0 К() — й) ' А Ю з' Р с" р .
)в!. Рассматривая промежуток (0,1) для Ь, имеем такое соответствие точек и тр: та=и! при ь=О, из=О при Ь =! и пз = х(1+ 1)/2 при ь = '/з. Отсюда К (! — й) К(й) — (К(1 — й) ' Если точка ь находится в верхней полуплоскости, то имеют место соотношения найдем *) (10.15) К(и — ЮК(! — а)= — 1 Кй= —, ' К(, 1,), (10.16) С их помощью найдем для отрезка 1 < ь < оо (10.17) для отрезка — оо < ь < 0 (10.18) ) В этом параграфе коэффициент фильтрации обозначен через н.
есть фундаментальная система интегралов уравнения (! О 4). Ряды для функций (10.13) сходятся при )г".'! ) 1. Заменяя ~ иа 1 — ь, из (10.13) найдем новую систему инте- гралов 272 таогия лииеиных диааваинцивльных таввнвнип [гл Получим, вводя некоторую постоянную А, вдоль отрезков действительной оси ь = в: для 0 < ь < 1 в. = —,в + ! — „= — А [1', (ь) — ! ~в(ь)], Р = — „~ = — хА!'в(Ь)1 (10.20) для — аа <ь<0 2=1 — „" = А~'[,(ь), Р= — в+ Š— „= — хА [[в(ь) — 1!"4(ь)]1 (10.21) для 1 <в <а Л =- ! + = — А1]в (~), дд Р = 1 — „— хА! 1в (~)1 (10.22) для а<ь<Ь ах 2= — =А[,(~), а'в для Ь<ь<аа 2 =-1 — '„' = А))в(с), Р=+=хА~в(~); (10.23) Р=) — „=хА([рвК).
(10.24) Справедливость (10.17) и (10.!8) проверяется непосредственно из рассмотрения рис. 181. Теперь нетрудно составить выражения для функций Р и Я, исходя из (10.5), с учетом того, что числители этих выражений должны быть пропорциональны соответственно числителям и знаменателям формул (!0.15), (10.17) и (10.18). Введем обозначения ] к)= "", ~л= т)(1 — й) (а — С) (Ь вЂ” Г) Зl(1 — С) (а — С) (Ь вЂ” С) (1 — й) а7(а — Ц (ь — г) (1 — с) з/(а — г)(ь — в) к ( ! ) к ( ~ ' ) [5 (в) Ч/~ (С вЂ” 1) (а — С)(Ь вЂ” С) Ч/В (й — 1) (а — 1) (Ь вЂ” С) 1в(Ь)= 'К) ( — '') ]г (в) В (С вЂ” 1) (С вЂ” а) (Ь вЂ” С) Чlв(й — 1) (С вЂ” а) (Ь вЂ” й) )в (ь)= кЫ) к(' ') 1в Й) = .[ма= .~)1 (С вЂ” 1)(1 — а) Я вЂ” Ь) ' т)1 К вЂ” 1)(1 — а) Я вЂ” Ь) (10.! 9) постоовние ьепщния для пвоемычкн 273 ь ~о! Если ввести интегралы ьо 7,= ~ 1,(~)с(~, (10.29) где а„ и Ь, — соответствующие значения пределов интегрирова- ния, то из выведенной формулы Дюпюи для полного расхода Я следует такое соотношение между тремя из этих интегралов: 2оо77 = 7ь о9.
(10.30) Для удобства вычислений введем обозначения а —, й = — (О < (а < р < 1) (10.31) 1 1 и сделаем в интегралах для 1, Н, и Но подстановку (10.32) Далее, заменим т новымн выражениями„различными для раз- ных интервалов, делающими подынтегральную функцию конеч- ной на пределах интегрирования. А именно, положим т = 8+ (1 — 8) з(пох при 1 < ь < а, т = а+ (р — а)з(пот, при а < ь < Ь, (10.33) я=аз!по!( при Ь (ь(оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
