П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 44
Текст из файла (страница 44)
2х! ф х!+ к! <~~ к,— к, 1 Х! — Х2 (1.13) Что касается условий на отрезке 22СВ, то в наших новых обозначениях они должны быть представлены в виде 1гп (!Ф;) = О, 1ш (1Ф2) = О, или иначе Ф1+ Ф,= — О, Ф2+Ф2=0, (1.14) откуда Ф! — — — Ф! и Ф = — Ф2.
В равенстве (1.!3) для Ф1, заменяя все величины нм сопряженными, получим ф' к!+ к! ф 2Х! ф 1 1 2. Х! — К2 К! — К1 Сложив последнее равенство с равенством (1.13) для Ф! и принимая во внимание (!.!4), найдем, что Ф! + Ф! = О. Поэтому функции Ф; и Ф.; можно выразить через функции Ф! и Ф,: х, + х, 2к, 1 1 2» К1 — Х! Х2 — К1 ф» 2Х2 ф К2+х! !р 2 Х1 — Х! Х1 — К! 1 2' (1.!б) Как нетрудно убедиться, характеристическое уравнение имеет корни )» = 1, )1' = — 1, Показатели, при которых функции 21! и 212 остаются ограниченными в точке В, соответственно будут !иХ' 1 2Х! 2' 1и Х у = —,=0 2Х1 3 Около ь= ио. Положительный обход вокруг бесконечно удаленной точки может быть заменен отрицательным обходом вокруг точек В и В.
При этом рассматриваемые функции будут 296 ниодногодныв и хнизотгопныв гвхнты (гл. ч)г) продолжены через отрезок ВА, следовательно, формулы (1.!3) сохраняются и в атом случае. Если через Фг и Фг обозначить значения функций до обхода, т. е. на верхнем краю разреза (рис.
200), а через Ф, и Ф, — их значения после обхода, т. е. на нижнем краю разреза, то условия на А0 будут иметь вид 1(п(Фг) = 0,1гп((Фг) =О, или Фг= * гг'г = Фь Фг = — Фг. Во втором из уравнений (1.!3) заменим все величины на сопряженные. Получим Рис.
200. Фг =-Ф.= — 'Фг — Фг. * 2»г н|+ нг »1 хг х! кг йаг 4гг) Складывая полученное равенство со вторым из равенств (1.13), найдем — Ф, — — (Фг+Ф,) = О, 4»г х~ + хг к,— н, ' нг — хг откуда Ф,- — Фг+ 4»г Ф,. к,+н, (1.16) Подставив Ф, и Ф, в уравнение (1.13), получим хг — 6»,хг+ хг г г 2х~ Ф Ф, + — Ф„ (к, — н,) (х, + к,) хг — нг 2»г х~+хг Фг = — Фг + — Фг. х, — х, х, — к, Характеристическое уравнение имеет корни Х Ъ/х + г )/к ггх г ггпу Положим ухг — г З(нг ь'» +(з(гг 1деи = г/ — ', з!пап т/ ', созеп= т/ = / г( к,+кг' х, + хг ' Тогда )г -е""", Х' е г"гг, откуда —.= -е+и. )и )г' г 2»г )»х (! = — = е+л 2х( ! Условие ограниченности функций ы, и ыг при ь=ос дает для а н л' значения л = гг' = 1, так что й = 1 + е и 3' = 1 — е.
Предполагая, что Ф, и Ф, не имеют никаких других особых точек, получаем, что функции Ф, и Фг представляют ветви $1! Флютвет нА двух слОях Одинаковон толшины 297 функции Римана Имеем а=!+ е, Ь=! — е, с ='/,. Функции Ф, и Фе будут линейными комбинациями интегралов уравнения 1(! — 1)ул+ [с — (а+ Ь+ 1)ЦУ' — айу=О, или ((! — ~) Ул+ Я вЂ” 8~) У' — (!в (1.18) А именно, около ~=0 можно взять фундаментальную систему решений У = Р (а, Ь, с, ь) = Р (1 + е, 1 — е, —, ь), 1l =~' 'Р(а — с+ 1, Ь вЂ” с+ 1, 2 — с, ь) = (1.19) — и (! 1 ! ~2 ' 2 ' 2' 'Р( — +е, — — е —, Ь).
Полученные гипергеометрические функции можно представить в виде (бапее 1888) г! 1 ! Р~ — +е, — — е, —, ь)= ~2 2 2 Ь~~ -~+ ~/:0" +(Ъ'! — ~- 1= Ом 2 т'1 — ! (1.20) Р(1+е, 1 — е, —, ~) (ч(! — ь+ т — 6' — ( т' ~ — ь — ч( — ь)м 4е! т'ь(1 — ь! Функции Ф1 и Фе выражаются линейно через Р и У: Ф, = = А'У+ В'У, Фе = С'Р+ Р'К где А', В', С' и Р' — комплексные постоянные.
Так как на отрезке РВ, где 0 ( ь ~ 1 функции У и р "Рн нимают действительные значения, то для выполнения условия !ш(!Ф!) = 1гп(!Фе) = 0 необходимо, чтобы постоянные А', В', С' и Р' были чисто мнимыми. Поэтому, меняя обозначения, имеем Ф! = А!Р-1- ВЮ и Фе = С!У+ Р!1I, где А, В, С и Р— действительные постоянные. Для того чтобы на промежутке АР, где ь ( О, функция Ф, принимала действительные, а функция НЕОДНОРОДНЫЕ И АННЗОТРОПНЫЕ ГРУНТЫ (гл. Рш Фв чисто мнимые значения, необходимо, чтобы выполнялись равенства А 0 = О. Поэтому Ф, = Вй' = = г" ~ — + е, — — е, —, ~), и( у! ! ! з/! 'л,2 2 2 Ф,=С!(/=С!Г(!+е, 1 —., —,, С), з или Предположим теперь, что ь ) 1. Тогда, совершив обход вокруг точки ь = 1 по полуокружности, получим (1 — ь)А =-!- !(ь — 1)/', смотря по тому, в какой полуплоскости рассматривается функция, в верхней или нижней.
Для функции Ф! нужно взять знак минус, для функции Фв — знак плюс. Точно так же при переходе от значений ь ( О к значениям ь ) О получаем причем минус относится к функции Фь а плюс — к Фь При ~ ) 1 функции Ф, и Ф, можно представить в виде Вв в-лв~ ((/~ ! (,(/~ )вв ! лв~ ( Д (/~ !)Ев Ф,—— 2 — ! з/ь (й — !) С влв~ (З/~ — ! ь л/Г)вв е лв ((/~ — ~/~ — !)вв Фв —— 4в( з/ь(й — !) (1.22) Условие !Гп(Ф, — Ф,) =О при ~ ) 1 приводит к равенству лв~ С 1ш ( — Ве "" + — ел" ) = В е!п ел + — соз еп = О 2в 2е в откуда С= — 2е!депВ. Второе условие на отрезке АВ выполняется тождественно. Для функций г, и гв получаем на основании (1.10) и (1.21) и) ((~/Т вЂ” в+ 1/ — в)'+ (л/! — в — л/ — й)- ] 2 Ъ ~ ( ! — Ь) (Ь вЂ” а) я (е ел [(л/~ — г -)- л/ — Г) в ((/~ й,(/ — й) в) (1.23) 2 1/~ (! — й) (ь — а) Фя ОглЮТВЕТ НА ДВУХ СЛОЯХ ОДИНАКОВОИ ТОЛЩИНЫ 299 Вдоль отрезка а < ь < 1 будем считать все корни о/! — ~, Ь/~ — а положительными и ь/ — г,= г ь/~.
Переходя на отрезок 0 < ь < а, после обхода точки ~ = а будем иметь у/~ — а=1 уаа — ь для Р1, ~/~ — а= — 1 ь/а — ь для Рв. Поэтому для 0 < ь < а ( /! в+,.„/и-)вв+ ( /! в 1 /в)вв г/ь 2 в/в (! — Г) (а — и) ~2 ~д и/! (т/~ га+ !т/аг)ва (т/~ г а/.~/аг)вв (1.25) г/~ 2 т/в (! — в)(и — Г) Проинтегрируем (1.24) вдоль отрезка С0 в пределах от Г,=О до ь=а.
Положив ь=яп'т, получим агав/и 1/а и ~ сов (2ет) г/т (1.26) о Ч/и — Мп' т Заметим, что конформное отображение полуполосы АвЕВСА1 на разрезанную плоскость Ь определяется уравнением Г= — + с)г — =1+/г' з)г 2г, (1.27) 2 2 Т причем й' =1 — /ев, /св=а=1Ьв(2,1), ) = —. (1.28) Так как со/=н/Н/2+91 при Ь=О и о!1=® при Ь а, то (1.26) дает агга/и и в= — —, П1// Г сов !2ет] и/т (1.29) 41 ' Ч/г/гг в!Пг.в ' о Подстановка яп т = /с яп т' дает и/в сов (2е вгсв!п (/и Мп т')) г/т' и/1 — /гг вгпа т' о Если проинтегрируем (1.25) в пределах (О, а), то получим значение грв потенциала скорости в точке 01 (рис. 196), симметричной с точкой 0 относительно оси хн агга/и и я10 '! Мп (2ет) и/т о 2/ в' и „) т/Ва в!пг т о неодноиодные и йнизотоопныв гитнты )гл.
вгп! Теперь вернемся к отрезку а < Ь < 1, т. е. к выражениям (1.23). Подстановка г,= з(п'т и интегрирование в пределах (а, 1) для ь дадут пн (го!)в (го!)с = 2ВЕ ~, = (,)о( — Я(, З/в!иг т — й' вгспп й пп (о!в)в — (гов)а = — 2В! 13 не ~ " = Яе!. асса!и й Здесь Яо — значение вр! и фе в точке В (рис. 196), Я вЂ” полный расход фильтрациоиного потока. Вычитание полученных выражений дает, после подстановки н/2 — т =т', агсвги й о Используя (1.29), получим (1.32) — У~= совие ' 2совие причем агсвги й и/2 сов (2ет') г(т' Г сов (2е егсв)и (й' в)и г)) г(т / В то же время, как нетрудно видеть, ил Яо=нгН13па — 1в= ~ в . (134) гв З/в)ив т — й' агсвгп й Перейдем теперь к формулам для скоростей на различных отрезках границ области движения. Для комплексной скорости имеем и, — (о, = — „' = — „„— „(з = 1, 2), (1.35) причем 2й' я яе ие ге ие г(е 2Т 2Т 2Т Т 1.
Вдоль отрезка а < ь < 1 получим 2ВЛ $!! Флютзвт нА двух слоях одннвковои толгпины зо! Имея в виду, что ь = 1 — Уг' яп'(Лу) = яп' т, т. е. т = агссоз(/г' яп(Лу)), найдем окончательно к,НЛ сов (2е агссов (А' 5(п Лу)) 22 вдоль СВ, 'г( ! — (г 5!и (Лу) к,НЛ гя пе мп (2е агссов (А' вш Лу)) ив— вдоль ВЕ. )/! — М 5(пг (Лу) ВиДим, что пРи У=О иг/ив=с[дене=кг/ке. 2. Возьмем 0 < ь < а. Вдоль отрезков СР и ЕР, имеем г=х~-Т[, ь=! — Уг' с]г' (Лх), кгНЛ сов (2е агссов (А' св Лх)) и!в вдоль СР, Ъ/! — А' сУ (Лх) к,НЛ Гя пе вгп (2е агсвш (А' с)г Лх)) Ив 2У °, вдоль ЕРн ')У ! — М с(гг (Лх) Отметим, что в точке Р„где х=[, с]гв(ЛУ) =1/Уг' для ив получается неопределенность О/О, раскрыв которую, найдем к,НЛе (я пе (1.36) 3. Пусть — оо < ь < О.
При переходе через точку ь = 0 в формулах (!.23) ~/~ перейдет соответственно в г Л/ — Ь и — г Л/ — Ь. Поэтому получим Ь = 1 — Уг' с[ге (Лх), + = — Уг"Л с]гв (Лх) и для скоростей кгНЛ [А' сь (Лх) + М)ва+ [А' сь (Лх) — М]га пг —— 2У М вдоль РА, кгНЛ (а пе [й' св (Лх) + М[ге — [М сь (Лх) — М]вв 5 2У м вдоль Рг 45, где М = 'г/Ус" с]гв(Лх) — 1.
При х = 1 для ив получается неопределенность, по раскрытии которой находим прежнее выражение (!.36). 4. Наконец, пусть будет 1 < ь < оо. Здесь г=х, ь=1 + + Уг' з]гв(Лх) и к~НЛ сов пе [Уг' 5(г (Лх) + Н[ве+ [Аг — М вь (Лх)]' 4У Аг к,НЛ Мп пе [А' вь (Лх) + Н]га — [Н вЂ” А' вв (ЛхВ 4У Аг где Л(= !/1+ Уг" з)гв(Лх). ~ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
