П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Я= —,Ав!ппе=2о/Хйс+ /с + с//е) /е (! (АО) Для того чтобы найти уравнение свободной поверхности, положим <р + йу = О и ср + сх = О; при этом 1 = и/2 + /Л, где Л ) О. Получим гиперболу яа4 теоРия линейных диФФеРснциАльных уРАВнении !Гл, уи й 12. Фильтрация в трапецеидальной перемычке в отсутствие испарения. Для частного случая задачи предыдущего параграфа, когда величина с = О, т.
е. испарение отсутствует, получаем следующие формулы: 1/П+а! ! Н=В ~ "" '* "+' ' "' /х, о (!- )' 'ч/ ъ'!-(!+ ) 1 о Р(1 — а, 1 — а, '/2 — а, 1 — х) Нх, о (! — х)а '/' З/х (х + а) Г' (! — а) ('/, — а) мп' 0 Я=/гВ Г~(~/, — а) созе / В~Р(а,а, +/,, )д 3 х' а Т/а(х+ а) (12.!) В случае бесконечно пшрокой плотины (/ = ао) С. В. Фальковнчем (Полубарннова-Кочина и Фалькович 1947) найдено выражение для й/а/Я непосредственно в функции от угла наклона низового откоса: м2 — — (с1я х) !п с1д — т/х.
А!о 4 ! ~-Та Х я2 2 о (12.2) (1 2.3) при о- '/, путем такого же предельного перехода им была получена формула д, = /!, — (! — Ь,)! п — „ ! (!2.4) Здесь й„= Н/Н| и Ч«-— — (.)Ям где ЯЕ = /гН1//.— расход прп наибольшем напоре Н = Нь Формулы (12.1) преобразованы Г. К. Михайловым (1953, 1) к виду, удобному для вычислений.
Для этого гипергеометрические функции были разложены в ряды и затем подынтегральные функции почленно интегрировались. По полученным формулам были проведены вычисления. Путем предельного перехода при о- О Г. К. Михайлов получил из приведенных формул простую формулу Ь '= !+,ф:А' 9 и! тРАпецеидАлънАя пеРемычкА В ОтсутстВие испАРения 995 Следует отметить, что при а= О и а = '/и расчетная схема плотины теряет смысл, но формулы (12.3) и (12.4) сохраняют свое значение.
Их можно рассматривать как приближенные при ажОиа- '/м Графики формул (12.3) (!) и (12.4) (2), а также результаты вычислений при а = 0,1 (3) и а = 0,25 (4) приведены на рис. !93. Как видно из рис. !93, формулы (12.3) и (12.4) дают близкие кривые, между которыми лежат кривые для всех прямых наклонов низового откоса (а < 1/а). (у К этим же граничным кривым можно прийти и другим путем. Рассмотрим для этого 43 сначала плотину, сложенную из анизотропного горизонталь- ру но-слоистого грунта, для которого й„ = О (см. 9 9 главы ЧП!).
Движение в таком грун- У» те происходит по горизонтальным прямым, причем ~г Н~ и — й —. х Йх ' у,х" Р» чб РЮ (// Выделим элементарную горизонтальную полоску на высоте у от водоупора (рис. Рис, 193. 191, а). Длина такой полоски равна !и —— ! — ус!а 8 =!(! — у/Н,). Разность напоров иа ее концах составляет Н вЂ” у. Поэтому (12.5) О, у Расход найдем из формулы и Я ~ и — ду ~Н вЂ” (Н,— Н)1п Π— Н1' (12'6 ЙО~ ! и — у Ао г О, о 1 В обозначениях д, и Ь„формула (12.6) совпадает с приведенной выше формулой (12.4). Формула (12.6) была дана и рекомендована в качестве приближенной для изотропных плотин Н.
Т. Мелещенко (!932) Рассмотрим теперь фильтрацию в вертикально-слоистом грунте при й„= оо. В этом случае вертикали х = сопз1 являются линиями равного потенциала. Эта схема есть точная интерпретация уравнения дюпюи, описывающего неравномерное движение грунтовых вод в гидравлической теории (см. $1 — 2 286 ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ !ГЛ.
УН главы Х). При этом линия свободной поверхности представляется параболой Дюпюи вида у2 = ах+ (2. Найдем постоянные а и (2 из условия, что парабола проходит через точку С(0, Н) и пересекает прямую низового откоса в некоторой точке В(хо, уо) (рис. 191, а). Очевидно, 2 КЮ у2 Ч2 х хо Расход Я через сечение СВ составляет ко 2 2 я= /г — — о.
йохо (12.7) Во всем треугольнике АВВ' горизонтальная скорость фильтрации постоянна. Разность напоров в точках В' и А равна уо, длина пути фильтрации между ними 1 — хм Поэтому фильтрационный расход в сечении ВВ', равный расходу в сечении СВ, со- ставляет Д=йд,, ' =йУ,188, Уо (12,8) Присоединяя к соотношениям (12.7) н (!2.8) условие, что точка (хо, у,) лежит на прямой низового откоса, получим окончательно для фильтрационного расхода формулу Н' Я й ! о ' о — о' оооо' 'оо (12.9) В обозначениях д„и й, формула (12.9) принимает вид формулы (12.3).
Формула (!2.9) была рекомендована Н. Н. Павловским в качестве приближенной для изотропных плотин (193!), Так как кривые зависимостей д, = д,(л„) для случая изотропного грунта следует предполагать лежащими между кривыми формул (12.6) и (!2.9), то приведенные соображения о фильтрации в предельно-анизотропных грунтах позволяют довольно точно оценить величину фильтрационного расхода в плотине. Применение модели предельно-анизотропных грунтов оказывается полезным и в некоторых других задачах теории фильтрации (см. $9 главы 2!1П).
Кривые расходов д, = д„(л,) в реальных плотинах, как по,казывает рис. 193, получаются очень близкими к кривой, построенной по формуле (12.3) или, что то же, по формуле (!2.9). Поэтому для практических расчетов можно рекомендовать формулу Н. Н. Павловского (12.9).
Что касается зависимости отношения величины участка высачивания к фильтрационному расходу й(о/Я от угла наклона низового откоса, то эта зависимость получается, как показы- вают расчеты, практически одной и той же для всех реальных плотин. При значениях Н/~!, не превышающих практически встречающихся, отношение й/О/(,) зависит только от угла наклона низового откоса к горизонту.
Поэтому для этого отношения можно использовать формулу С. В. Фальковича (12.2), которую Г, К. Михайлов привел к двойному ряду л а)О 4о ~л ~л (- 1)"~~ Г (т — 1+ 2о) () л' ~ ~ (л+ о)О Г(- 1+ 2о) т) 12.10 О-От О Иа рис. 194 приведен график этой зависимости, причем для удобства при 0 ( и/2 вместо й/О/Я отложены значения й/О з!п ВЯ, чаще встречающиеся в практических подсчетах. При ж 4)) ж' /'Р' Ю ГД2 У Рис. 194. 9 ( и/2 формула (12.10) может быть с точностью свыше 3% представлена приближенной зависимостью (Михайлов 1953, 1) Л), а с(е В+ 6 — а О 4 О)п 6 (12.11) где а= 4 при С1дй > 1 и а=3 при С1дй ( 1.
Для того чтобы перейти от рассмотренной схемы к реальным профилям плотин, необходимо рассмотреть различные наклоны верхового откоса, отличные от вертикального. Известно, что уклон верхового откоса плотины оказывает малое влияние на величину фильтрационного расхода. В связи с этим часто Э Ш тРАпецеидАльнАя пеРемычкА В ОтсутстВие испАРения 267 эав теогия лнненных диеееленпилльных эг~вннппт ~гл чп используют для расчета плотин прием приведения наклонного верхового откоса к вертикальному путем замены действительной плотины в расчетной схеме эквивалентной ей в смысле величины фильтрационного расхода плотиной с вертикальным верховым откосом. Для ширины основания б(, эквивалентного прямоугольника, заменяющего в указанном смысле треугольник верховного откоса, были предложены различные полуэмпирические формулы.
гр Р Рем УЮ гг РЯ Ю4 Юб Р8 10 /ф Рис. 195. Г. К. Михайлов из анализа существующих гидромеханических исследований нашел, что при !дф ( '/з эта величина довольно точно выражается формулой э 9 ! ° Э= 9+!яф ' (12.12) (12.! 3) Влияние воды в нижнем бьефе. Для получения ориентировочной оценки влияния глубины воды в нижнем бьефе на расход плотины Г.
К. Михайлов рассмотрел треуголь- где ф — угол наклона верхового откоса к горизонту. Прн 1й'ф ) % формула (12.!2) может быть заменена более точной для этого интервала зависимостью й(, = — соз Ф н 4 и! творимы сэшвствовхния и вдинстввнностм йвй ную плотину при наибольшем уровне воды в верхнем бьефе, достигающем гребня треугольника. Для такой плотины с пологими откосами, когда угол при вершине больше прямого, при максимальном заполнении верхнего бьефа сохраняется участок свободной поверхности; точное решение задачи в этом случае является сложным. Если же угол при вершине меньше прямого, то грунтовый поток сплошь заполняет треугольник плотины. Точное решение задачи в этой постановке может быть получено с помощью конформного отображения треугольника плотины на пятнугольник области годографа скорости. На рис. 195 даны графики, характеризующие влияние воды в нижнем бьефе на фильтрационный расход плотины.
Под Я „ здесь понимается фильтрационный расход прн отсутствии воды в нижнем бьефе. Задача о фильтрации в подобных треугольных плотинах без воды в нижнем бьефе была рассмотрена М. М. Моргулисом (см. Нельсон-Скорняков 1949). Как видно из рис. 195, встречающиеся на практике небольшие подтопления плотины водой со стороны нижнего бьефа уменьшают расход воды в плотине, но немного. Чем положе низовой откос, тем меньше влияние подтопления на расход.
Ряд схем для земляных плотин при наклонном водоупоре рассмотрен А, М. Мхитаряном (1954, 1957) (см. также Мхитарян и Фомин 1959). в 13. О теоремах существования и единственности для задач о плотинах. Вопросы существования н единственности решения задач фильтрации со свободной поверхностью являются сложными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
