П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 46
Текст из файла (страница 46)
(3.2) Если эта точка лежит в первой области, то в уравнении (3.2) нужно заменить Н„1„х, на Нь 1„х, н х, на — хс. Положив для краткости Л(, =ао Л(в =аз, Н4Н, =)в, нг/х, = т, получим из уравнения (3.2) хгс Н(сЬ ав вЬа|+ ивьагси а,) 2Т 2 сЬ а, (сЬ а, + )в сЬ а,) + в)1)в (сЬ а, вЬ а, — и вЬ а, сЬ а, ) + вЬ 2а)' + 2н (и + ) ) вь 2а, вЬ (ав — а) 2 сЬ ас (сЬ а, + )в сЬ а,) При 1, =1,=1, т.
е. при а, =а„последнее уравнение приобретает вид хгс х,Н~ — хвНв ( х) 2Т х~ (Н1 + Нв) 2Т зи точечныв шпзнты в двгслопном гззнтв З з1 к,н Т и! — 10, = —. м! Л1+ г кзН 1 — 1з и,— !о, = —. п! 1+г и ) (3.4) м, — м~ И= „,+к, На рис. 210 построены линии тока и эквипотенциали для точечного шпунта, когда и!/мз = '/з. Рис. 210.
Интегрируя уравнения (3.4), получим для комплексного потенциала обеих областей соогветственно аз (г) = — "'. [1и (1 + г) + )з !и (1 — г)[ + Сн сзз (г) = — ', (1 — И) 1и (1 + г) + Сз. 2. Т о ч е ч н ы й ш п у н т в б е с к о н е ч н о й п ол у п л оскости.
Положим в формулах предыдущего случая Н,=О. Тогда будем иметь шпунт лишь в точке г= — !н Обозначим !! =!, Н, = Н. Тогда формулы (3.1) примут вид — св (Л!) з1з (Лг) + — ~ з!з (Л1) сь (Лг) к,кзН кз 1Т(к, +кз) зь(Л (1+ г)) зн(Л(1 — г)) ' (3 3) м~кзН 1 и 1Т (к~ + кз) зЬ (Л (1+ г)) Л 2Т / ' Рассмотрим теперь случай грунта бесконечной глубины, т.
е. положим Т = со (Л=О). Уравнения (3.3) после преобразований примут вид 312 НЕОДНОРОДНЫЕ И АНИЗОТРОПНЫЕ ГРУНТЫ !гл чп! Нетрудно видеть, что в первой (левой) области линии тока представляют «обобщенные лемнискаты», т, е. линии, уравнение которых есть !1+ г) (! — г(Р = сопз!. Во второй (правой) области линии тока являются дугами окружностей. 9 4. Точечный вихрь в многослойной области. Для решения задачи о движении грунтовых вод под гидротехническими сооружениями в среде, состоящей из горизонтальных слоев грунта различной проницаемости, можно поступить подобно тому, как это делается в гидродинамике в задаче об обтекании тел, а именно, заменить контур основания гидротехнического сооружения системой точечных вихрей и подбирать плотность интенсивности этих вихрей так, чтобы удовлетворялось условие на кон- Г, туре — нормальная составляющая скорости равна нулю (Полубаринова-Ко- чина 1942, ! ) .
Го, ® Для составления интегрального уравнения, которому должна удовлета о! у, ворять интенсивность источников, нуж- но найти выражение комплексного поой ® тенциала точечного вихря в многослой- ной области. Рас. 2!1. На рис. 211 изображен горизон- тальный слой грунта толщины А с коэффициентом фильтрации хь далее слой толщины с!о с коэффициентом фильтрации хо и т.д., наконец, нижний слой грунта толщины е!„с коэффициентом фильтрации х„. Наряду с величинами е1, будем рассматривать их суммы Т„ так что Т! = с(ь То = с!1 + ды..., Т„= с(~ + до+...
+ Н„. Линия у = — Т„представляет непроницаемую границу. В точке го = хо+ !уо верхнего слоя поместим точечный вихрь, интенсивность которого равна единице. Обозначим через ш„ = и„ вЂ” !о, комплексную скорость в точке г, принадлежащей г-му слою, обусловленную наличием точечного вихРЯ в точке го. БУдем искать фУнкцию Ге, в виде интеграла Фурье Ге,(г)= ~ (А„(а)е'«'+В,(а)е ' '!да (Г=2, 3, ..., и), (4.1) о где А„(а) и В„(а) — комплексные функции действительной переменной и. Что касается скорости в точке верхнего слоя, содержащего точечный вихрь, то в ее выражении выделим член 1 ! 2п~ о —.о $ 4! ТОЧЕЧНЫЙ ВИХРЪ В МНОГОСЛОЙНОЙ ОБЛАСТИ я!3 ге,— —,.
+ „,. + ~ [А1(а)е'а'+В,(а)е "аа)о(а> (4.2) о где В, (а) = — А, (а). (4.3) На непроницаемой границе нижнего л-го слоя вертикальная скорость должна равняться нулю. Это определяет зависимость между А„(а) и В„(и) вида В„(а) *= е' "аА„(а). (4.4) На границе раздела г-го и (г+ 1)-го слоев нормальная к границе составляющая скорости должна быть непрерывна, касательные же составляющие пропорциональны соответствующим коэффициентам фильтрации.
Поэтому при у = — Т„имеем о о.~=о х е, х или иначе 1по (гео ы) =1гп ю„х, йе (ю,+,) = х,+, йе(и,). Наконец, последнее условие можно переписать так: ю'о~ ге»~ = ща гег х, (ю,+, + гео ы) = ха ы (в, + ы,). (4.5) При г=х — Т,1 имеем Ю [А ( ) т а+(ах + В ( ) -г а-!аа1 о ге,(г)= ~ (А,(а)е~ "+~""+ В,(а)е " ~"")о(а. о Условия (4.5) должны выполняться не только для самих Функций, но и для их подынтегральных выражений. Поэтому Вдоль оси х, соответствующей границе водного бассейна, горизонтальная составляющая скорости равна нулю, что можно записать так: 1т((ю~) = О. Отсюда следует, что функция комплексного переменного йе, может быть продолжена в верхнюю полуплоскость (в область, представляющую полосу между прямыми у = 0 и у = +ог1), причем в точке г функция йе1 переходит в — йеь Это позволяет искать в1 в виде 3!4 НЕОДНОРОДНЫЕ И 'кНИЗОТРОПНЫЕ ГРУНТЫ 11'Л.
Ч!П получаем (А 1 ) г а+1ах ! (В В ) — г а-1ак (А 1) т а- ак+ (В В) -г а+1ах (х,А„+1 — х,+,А,)ег а+'а" +(х,В,.„— х,.„В,)е Г " '"= (,1 А,о+ А)е „а- а' (х В х В),-г,а+1ах Эти уравнения должны выполняться тождественно относительно х, поэтому можно приравнять между собой коэффициенты при ега" и е-оа". Это даст четыре уравнения, из которых выпишем два: (А+, — )е "— (В+, — В)е "=0 (4.6) (НА — х А)ек +(х — Н„В)е ха=О.
Два других уравнения получим, если заменим в (4.6) все комплексные величины их сопряженными. Уравнения (4.6) имеют место для г = 2, 3, ..., л — 1. Что касается линии у = — 111 = — Ть то для того, чтобы использовать условие на ней, представим главную часть выражения и11 в виде определенного интеграла: ка — =1~ е "1'- '1(а при 1Гп(г — г,) < О. 1 2 хо о Вдоль линии у = — Т1 условие 1гп(г — го) ( О, равно как и условие !гп(г — го) ( О, выполнено. Поэтому функцию ш1(г) можно представить в виде а ГР,(г) = ~ ~А1 (а)е'а + В,(а)е 'ах+ — е "'1 — к1с!1(ауо)~ 1(а 1 о (у у,<О), а при г=х — Т,1 в виде ГЕ (г) — ~ ~А (а) ЕГ а+1ах ! В (а) Е-Г а-1ах + о -1- е-г,а-1а 1х — х,) с)1(ауо) ) 11а 1 ТОЧЕЧНЫЯ ВИХРЪ В МНОГОСЛОЯНОЯ ОБЛАСТИ з!а $4! Условия на линии раздела дают (А! — Аг) ет,о (В, Вг) е-то е-тое-оог, с)1(ауо) х (х,А!+ х,А,)ет" + (х,В, — х,Вг) е-т" = — г Е-т,с-гаго е)1(огу ) (4.7) Введя обозначения — е'""" с)з (ау,) = Ь, 1 хг х хою е о =а гт о г А, + В, а!А! — В, — а,А, + Вг а,А, + В, — Х,а,Аг — а!Во а,Аг — Вг — агА~+ Вз а,А, + В, — 2огагАз — 2огВз =О, =Ь, = — Ь =О, (4.8) а„А„— В„= О.
В частности, при и = 2 получаем В, = — А„ В, = а,А,, (а!+ 1) А~+(аг — а,) Аг=Ь, (а! — 1) А! — Х(аз+ а!) Аг= — Ь, откуда найдем 1 са (ауо) (х~ ск (о(га) — хг зЬ (о(га)1 гог, Ел 2х хг он (о(~а) зн (о(га) + х~ с14 (Аа) сн (о(га) А, сн (ауо) 2х хо з!г(о(~а) он(о(га) + хг сн(о(га) с)з(о(га) где Т = д! + с(г.
Для комплексных скоростей первой и второй областей движения будем иметь аг,(г) ( + — ~ М(а)з(п(а(г — гс))е ~" 4(а 1 1 1 1 2(Г 2х( г — го 2тн г — го х с азг (г) = — з( Ф (а) соз (а (г — го)) Йс„ 2 Г с систему уравнений (4.3), (4.4), (4.6) и (4.7) можно переписать в виде НЕОДНОРОДНЫЕ И АНИЗОТРОПНЫЕ ГРУНТЫ (гл. юн 3!6 где сь (ау,) (к, си (ооа) — к, ои (2(оа)1 (к, + к,) сь (Та) + (к, — к,) ск ((д, — а2) а) ' ТУ (а)— сь (ауа) (к~ + к,) сь (Та) + (к~ — к,) сЬ ((А — о2) а) ' Отметим частные случаи. 1. кг = О, т. е. нижний слой непроницаемый. Тогда 2.
кг = са, т. е. линия у = — с(2 представляет линию равного напора. Тогда 3. Нижний слой бесконечно глубокий, т. е. Г(2 = оо. Этот случай был рассмотрен Б. К. Ризенкампфом (1940, 2). Для него можно написать (считая вихрь находящимся на оси х, т. е. г = хо) Ю га,(г) = —. — + —. 4! ! ! 1 (к, — к,) г)и (а (г — хо)) е а а с(а, 2ГИ г — хо 2л1 к, сь(Аа)+к, ок(Аа) о или в виде ряда по степеням л=(к, — кг)/(к, +к,): ! 1 Л (г — хо) Л' (г — хо) н2, (г) — —— + 2 + 2лг г — хо л1[4а~+(г — хо) ] л! [9И, +(г — хо) ] Перейдем теперь к составлению интегрального уравнения.
Пусть основание гидротехнического сооружения ограничено лииней АВ (рис. 212). Отразив эту линию в оси абсцисс, получим замк- 4 нутый контур С. Будем считать, что О контур С в каждой точке имеет касательную. Распределим вдоль конго тура С вихри с интенсивностью Г(з)21з на элементе дуги с(з. Обозна® чим чеРез н2(г,го) комплекснУю ско- рость, происходящую от действия Рис.
2!2. вихря с интенсивностью, равной еди- нице, в точке г,. Тогда элемент дуги дз будет вызывать в точке г скорость Г(г)га(г,го)о(г. При этом го — — хо(з) + ! уо(з) будет функцией дуги з. Скорость ((Р(г), происходящая от действия на точку г системы всех вихрей, зм пгоствишие движения в слоистых ггтнтех з)т распределенных по контуру С, буде! Ф (з)= ~ Г(5)ж(з, зо)из. с (4.9) Положим ! ! 2 ' + ф(З~ Зо), где Ф(з, зо) — голоморфная функция.
Будем приближать точку г к точке контура г„= ь(о), где о — длина дуги в точке г„. Б пределе для интеграла типа Коши (Смирнов 1967) получим (0(о) — угол касательной с осью х) (нп —. з! ! Г Г(е)не 1 .е ! Г Г(е)ее = — Г(а)е 'о!о!+ —. 2п(,) а — г 2 2гн З 1(о) — 1(е) +Фк ' с с (4.10) Умножив (4.9) почленно на еее(о! и перейдя к пределу прн г- г„, получим ЯГ (г„) е' ем! = — Г (о)+ —, ~ Г(з) ге(г„, го) е' е-(о) !(з. (4.11) ! ! с 2 Г(о)= ~ Г(з)Е(о, з) !2з, ! с где Е(о, з) =и(о, з)ейп 0(о) — п(о, з) соз8(о), и уравнение пер- вого рода с несобственным ядром ~ Г(з) 6(о, з) оЬ=О, с где О (о, з) = и (о, з) соз 8 (о) + п (о, з) з!п 0 (о).
Н К. Калининым (1941) и Б. К. Ризенкампфом (1940, 2) указаны некоторые возможности для отыскания решения последнего уравнения для плоского флютбета. $ б Простейшие движения в слоистых грунтах. Остановимся иа простейших одномерных движениях в неоднородных грунтах (ОпРп!! 1863) Но ()2(г„)е'е(о) = г', — (У„, где 1/, — проекция скорости на касательную к контуру, г'„— проекция на нормаль. Поэтому, отделив в (4.11) действительную часть от мнимой и учитывая, что на контуре У, = Г(о), У„= О, получим два интегральных уравнения: уравнение второго рода с обыкновенным ядром з!в НЕОДНОРОДНЪ|Е И АНИЗОТРОПНЫЕ ГРУНТЫ !ГЛ.
Ч!И 1. Фильтрация вдоль напластования. Схема таного движения изображена на рис. 213: грунт состоит нз параллельных (горизонтальных) слоев, толщины которых !1!, Г(ь ... ..., !(л. Коэффициенты фильтрации слоев обозначены соответственно через /гь йь..., й„. Первый и последний слои граничат с водоупорами. Расход, проходящий вдоль напластования через каждый слой, вычисляется по элементарной формуле, вытекающей непосредственно из закона Дарси: ф = — й! ' ' а!!. (5.1) Здесь Н, — Н! — разность напоров на р .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
