П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Если на отрезке МАМО считать агдь = О, то ага ь = 9 П. Я. Поаубарннона.кочана Так как функции 0 и (У линейно независимы, то коэффициенты при иих должны равняться нулю: 1т (й,А + 1,С) = О, 1гп (й,В + 1О0) = О. Таким же образом получим еше два уравнения 1т(туА+ пОС) = О, 1~п (тОВ+ ДО0) = О. (7.8) 258 теоРия линепных лиатеРН!!и!Ал! ных уРАВнений !Гл. чн = и на отрезке М!Ме, а следовательно, на отрезке М!Мг при ф<0 =]ь] е, ь =]ь]" е Полагая для ь=$ < 0 Р=ел!а Р', 1г=е"! Г, где (1' и )г' действительны при в < О, на отрезке 11!Мг получим 1ш(л!2+1!Р) = 1ш [(й А+1 С)ел!а'Г+ (и В+1,Р)еагаЪ'] = О.
Отсюда 1ш [(л!А+ 1,С) е"!а'] = О, 1ш [(лгВ+ 1!Р) е"'""] = О. (7.9) тгА + пгС вЂ” т,А — ляС = О, (л!А + 1,С) е'"'" — л!А — 1,С = О, (тгА + п, С) ее"" — т, А — й! С = О. (7.11) Для того чтобы система (7.11) имела отличные от нуля решения, необходимо равенство нулю определителя леал!а' л,гага' т л г,,ггаа' ге т ега'а тге !г ~г 1г ггг тг лг Если в этом определителе заменить а' на а", то получим условие того, что система уравнений для В и Р имеет отличные от нуля решения. Это показывает, что е'"' ' и ег"!а" являются корнями следующего уравнения второй степени относительно Л: а!Л г,Л й! 1, тгЛ л!Л т, л! (7.12) !гг !г аг 1г т, л, тг л, Получили, таким образом, характеристическое уравнение для Л = ег"!а.
Хотя при выводе мы пользовались условием вещественности а' и и", однако уравнение (7.12) годится и для ком- Аналогичным путем найдем 11п [(т,А + п, С) е"'а'] = О, 1ш [(тгВ + пгР) е"""] = О. (7.10) Полученные восемь уравнений (7.7) — (7.10) распадаются на две группы, в одну из которых входят А и С, в другую В и Р. Перепишем уравнения первой группы, вводя комплексно сопряженные числа: йгА + 1ЕС вЂ” йгА — 1ЯС = О, в в1 ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ОСНОВНЫХ СЛУЧАЕВ ТЕОРИИ 259 плексных а', а", в чем можно убедиться, преобразовав уравнение (3.6) к виду (7.12).
Предложен также способ получения показателей около регулярных Особых точен в тригонометрической форме (Кгау(с(тепко и др. 1955, 1 и 2). й 8. Показатели для основных случаев теории фильтрации. Приведем результаты, относяшиеся к способу определения показателей около особых точек для различных комбинаций граничных условий, которые встречаются при изучении движения грунтовых вод. Рассмотрим некоторые комбинации границ, которые могут встретиться в задачах о земляных плотинах (Ризенкампф !940, 1).
Границами области фильтрации могут быть (а) прямолинейные непроницаемые стенки, (б) прямолинейные границы водоемов, (в) прямолинейные промежутки высачивания, (г) свободные поверхности, вдоль которых может происходить испарение воды (или к которым может притекать вода извне). Всего имеем шесть возможных случаев соединений (аб), (ав), (аг), (бв), (бг), (вг) вышеуказанных границ. 1. С л у ч а й (аб). Пусть откос плотины составляет угол па с линией непроницаемого основания (рис. 171). Тогда конформное отображение области е на полуплоскость Ь вблизи точки В, Рис.
!Тк если считать, что точка В переходит в начало координат плоскости Ь, имеет вид е = ь"' (ав + ОД + ...). Для функции 2 получаем 7. = — „~ =~' ' (Ь, + ЬД+ ...). Следовательно, функция 2 принадлежит показателю а — 1. вво теоиия линяниых диеевивнциольных чиовнении 1гл. чп На плоскости оо = ф+ 1ф в точке В сходятся линии ф = = сопи( и ф = сопз1; поэтому оо=1а(со+ сД+ ...), Р= и~ =Га(1о+1Д+ ...), т. е.
функция Р принадлежит показателю — '/о. Таким образом, для функций У и Р имеем показатели со — 1, — Ъ Если угол поо прямой, то показатели будут — '/о, — Ъ В этом случае на годографе скорости точка В будет обыкновенной точкой. Подстановка приводит к функциям 2, и Рь для которых точка В является также обыкновенной точкой, т. е. разложения этих функций имеют вид Я,=по+ аД+ ..., Р~ Ьо+М+ Такие точки, особенность в которых можно устранить подстановкой вида У= ~"'(/ь можно назвать устранимыми особыми точками (Ризенкампф 1940, 1). В нашем случае можно Рис. 172.
составить линейную комбинацию функций 2~ и Рь принадлежащую показателю +1, и считать, что функции Е~ и Р~ принадлежат показателям 0 и 1, а функции Е и Р— показателям — '/и и '/о. 2. С л у ч а й (ае). Непроницаемая стенка соединяется с про. межутком высачнвания (рис. 172). Как и в предыдущем случае, для о имеем й=ь" ~(ао+аД+ ° ) ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ОСНОВНЫХ СЛУЧАЕВ ТЕОРИИ $8! Рассмотрим плоскость комплексной скорости. На ней имеем прямые, пересекающиеся в точке В под углом л('/2 — а). Следовательно, для и — !о получим и — 1'О = с —— Ь ' (СО+ СЛ+ ° .) Отсюда у=я~'* '(с,+ ..
)=ГА(посо+ . ) Таким образом, функции Е и Р будут принадлежать показать лям а — 1, — '/2. Здесь, в отличие от предыдущего случая, при а = '/, разложения для и, и с' содержат логарифмический член. Действительно, в этом случае на плоскости и — !о прямые становятся параллельными, а потому и — /О = — =ис!пЬ+ ...
и" х Следовательно, г" = Ъп!п ь +' ... 3. С л у ч а й (аг). Непроницаемая стенка соединяется со свободной по- А верхностью (рнс. 173). На поверхности СВ происходит испарение интен- Рис. !73. сивности с (или имеется инфильтрация интенсивности е = — с), так что 2р+ сх = сопз1. Кроме того, вдоль СВ давление постоянно, т. е. О2+ йу = сопз1. Уравнение стенки АВ пусть имеет вид у соз ла — х з!п ла = О; вдоль стенки 2р = сопз1. Условия на отрезках АВ и ВС плоскости 7 имеют внд !щ с"= = О и 1гп(Хе-™) = О на АВ, 1гп(!с + И) = О и !т(с + '+ сЫ) = О на ВС. Составим характеристическое уравнение: Ле и1а О еи18 О ! ,о ло ! А А — 1 с1 ! — 81 1 Это уравнение приводится к виду Л вЂ” 2Л вЂ” еи"" соз ли + ео"" = О.
2 А — с А+с Каждый раз, когда [(/2 — с)/(й+ с))2 сов'ла ( 1 (в частности, это неравенство имеет место при с ) О, т. е. в случае испарения), в выражении для Ы„ГА — с / си — сх' Л=еим~ — созланс/,~/1 — !х ) соз ла~ ~А+с Ч ~А+с 262 теоРия линеиных диффеРенциАльных уРАВнений !Гл, ч!! можно положить ((/с — с)/(й+ с)!сов па = сов пб, и будем иметь Х = ес!!О*О!, Искомые показатели около особой точки В, определяемые по формулам г! =1п 7'/(2п1), го =!и А"/(2п!), будут соответст- венно !/Е(а+ 6)+т и !/Х(а— ес — 6) + т', где т и т' — целые числаиО<6<1. Ю с Рассмотрение годографа ское рости (рис.
!74) показывает, что т = — 1, т' = О, причем пб есть о" дополнение до и угла АВС на го- А дографе скорости; при этом угол ® и(), образуемый стенкой и линией свободной поверхности, определяется через величины а и 6: ир = и(а+ 6)/2. В данном случае показатели системы функций 7. и Р имеют вид '/о (а — 6) и '/х (а + 6) — ! . Рис. !74. 4. С л у ч а й (бв). Прямоли- нейная граница водоема являет- ся и прямолиненнои границеи промежутка высачивания (рис. ! 75).
Здесь на плоскости г, а следовательно и для функции Я, имеем обыкновенную точку ь = О: Я = ао+ а!ь+... Рис. !76. Рис. !76. На плоскости и — /в точка В находится на бесконечности и представляет пересечение двух параллельных прямых, перпендикулярных к прямой АВС плоскости е. Поэтому около точки В и — !о = со!п ь +... Показатель системы функций Е и г" есть двукратный нуль (О, О). 5.
С луч а й (бг). Свободная поверхность при наличии инфильтрации нлн испарения соединяется с границей водного бассейна (рис. 176). Условия на линии АВ будут такие же, как в ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ОСНОВНЫХ СЛУЧАЕВ ТЕОРИИ В 43 283 третьем случае, а условия на отрезке ВС, наклоненном под углом па к горизонту, имеют вид 1т (Хе-а'а) = О, 1гп (!г") = О. Соответствующее характеристическое уравнение 2Л Л с!А Х вЂ” с4 ! =О е -аса О 0 4 ЕВ42 О о приводится к виду )с2+ 2Л ' гис !Уа-а! сов 221 — и) 1 гса4 пь-а! — О 2+с Х2 Отсюда Г 2 — с с ! А = ЕаЫУ1-а! — СОВ П 4( — — а) Ч- 1. 2+с (2— П('.:)'-".
~ ~ -.)— Полагая при й > с — [(й — с)/(/4 + с)] соби(!/2 — а) = сов 24б, ПОЛУЧИМ А=ЕЛЫЧ а+С!, ОтКУДа ДЛЯ ПОКаэатЕЛЕй ПОЛУЧаЕМ значения '/2 ('/2 — а + б) — ! и '/2 ('/2 — а — б) или — '/4— /2(о б) И /4 /2(О+б). Если нет испарения, т. е. с = О, то б = а + '/и и показатели будут — '/2 и — а. Область годографа скорости для рассматриваемого случая изображена на рис. 177.
/л О Рис. !77. Рис. 478. б С луч а й (аг). Свободная поверхность при наличии испарения (инфильтрации) граничит с прямолинейным промежутком высачивания (рис. !78). условия на отрезках АВ и ВС плоскости Ь имеют вид 1гп(Яе-ис ) = О и 1гп(!г + Ы) = О на АВ, 1гп(О+ с!Х) = О и 1п2(/Р+ Ы) = О на ВС. 264 ТЕОРИЯ ЛИНЕИНЫХ ДИФФЕРЕННИАЛЬНЫХ УРЛВНЕНИИ !ГЛ УН Характеристическое уравнение здесь имеет корни Л, = 1, Лз — е'"1"=е'"1га+"1. Отсюда нетрудно прийти к заключению, что около вершины В показатели будут О и сс — 1/с Если откос составляет тупой угол с линией горизонта, то нр = и, а если острый, то и!! = п(се + 1/е). В заключение сделаем замечание относительно показателей около бесконечно удаленной точки (Ризенкампф !940, !).
Если считать, что данной вершине В соответствует бесконечно удаленная точка плоскости ~, то полученные выше значения показателей нужно увеличить на две единицы. В самом деле, положим ь =!/т. Тогда точка Ь = со перейдет в точку т = О; после преобразования к новой переменной фуикпий 2 = = 1/ЕЩ и г' = 1!се/йь получим выражения ее ЕФ 2 — — т, г" — — т, е Ет откуда и следует высказанное утверждение. Б. ЗАДАЧА О ПРЯМОУГОЛЬНОИ ПЕРЕМЫЧКЕ $9.
Расход прямоугольной перемычки н совершенного колодца. На рис. 179 представлена перемычка с откосами ВС и АВ на непроницаемом горизонтальном основании С/7 длины !. Высота воды в нижнем бьефе Нм в верхнем Н1. Требуется определить элементы движения, в том числе высоту Нс промежутка высачивания АЕ (см. 5 2 главы П).
е' Прежде всего обратимся к зада- че об определении полного расхода уг Уе перемычки (И. А, Чарный 1951, 1). Е Пусть имеем установившееся у ' движение с потенциалом скорости Ю сР(х, у), причем на свободной поверхности АВ удовлетворяется условие постоянства давления Рвс. 179. 1р (х, у) + /гу = О. (9.1) Обозначим ординату свободной поверхности через У = У(х), тогда на свободной поверхности будем иметь тождество <Р(х, У (х)) + /сУ (х) = О. Вдоль откоса ВС для 1Р имеем значение 91(О, у)= — ЕН„ (9.3) вдоль ЕР 41(! у) — "и.
(9.4) % 91 глсход пгямоотольнои пвгвмычки и колодцл 2бб (9.5) Рассмотрим интеграл У (х) У (х) = ~ ф (х, у) о(у о (9.6) н составим производную от него по х; У вЂ” — Ыу+ф(л, У) —. Н Где дУ дх д дх д» ' о (9.7) С помощью (9.2) можно написать Н ду Н о'У Я вЂ” — ф(х, У) — = — + йУ— их дх Ых дх (9.8) Интегрируя это уравнение, получим г а =~ф(х, у)(у+ —,+С. »уо о Учитывая, что при х=О имеем У =Н„найдем иь он"- О- ~ р(О, у)(у+,'+С. о Учитывая (9.8) и вычитая почленно последние равенства, по- лучим а(у»+ Оо) Ях= 1ф(х, у) о(у+ о (9.9) Теперь положим х=1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
