П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(4.14) Подставим это выражение ф в равенства (4.11) и (4.13). После простых преобразований получим для у<$< 1 У1 ! Х(~) в!пйл — Уф) сов()л = !Те[е ~' 2Х~ = = бо — — ', ~ (2. у') — —,', ~' Р1 у') = х1 Й); для — !<в< — у (4.16) У1 Х($) в!пал — У($) совал = Йе~е"' ~~' 'Ь1= = ао — —" Р (л, у') — — '5, Р' (л, у') = х2 (В для !я!<у и !В(> 1 У=О. При этом нН231п !!л О 3!и !!и 2О 2н ь а""р 2 2н бо = ! з4п рл + Н2 сов рл + Носоврл— 14 51П (!Л н нН! 51п ал Н, сов ал + '2!1 Н! совал+ (4.16) 'н 31П ПЛ 2н 14 51П ПЛ а2 —— 2н п!= Таким образом, задача свелась к следующей: на сторонах прямоугольника плоскости оо заданы линейные комбинации функций Х и У; найти функцию Х+ГУ внутри прямоугольника оо.
Это так называемая задача Римана — Гильберта. Далее С. Н. Нумеров заменяет область оо полуплоскостью плоскости 1;, на которую отображает область движения, и затем приемом, указанным у нас в $2 этой главы, сводит задачу к задаче Дирихле. Мы получим зависимость ы от я, выражающуюся формулами (4.6) и (4.8), для двух отрезков оси $, на которых имеются ненулевые условия (4.11) и (4.13). Принимая во внимание, что на этих отрезках соответственно ф = ~нН/2, найдем по формулам (4.6) и (4.8), что в обоих случаях, для у < я < 1 и для — 1<$< — у, !гл.
ч! СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФУНКЦИИ 2!а Отсюда видно, что иа отрезках действительной оси получились такие условия, какие были у нас отмечены в 5 2. Составам функцию Т(Ь)=!(у — ~)а(у+ Ь)' '(1 — Ь)~ а(1+ Ь)'. (4.17) Т($) =!(у — ~) (у+ ф) '(1 — в) (1+ $)', для у<3<1 т(в)=(' — у) (у+ $) (1 — $) (1+ $) е для — ! <в< — у Т($)=(у — $) ( — у — $)' '(1 — $)' в(1+ 4)'е' для — оо <в < — 1 Т(ь)= — !(у — ь) ( — у — ь)' '(1 — ь) "( — 1 — ь)', для 1<$<со Т (~) = — ! ф — у)'(у+ $)'-'($ — !)' '(! + $)'.
(4.18) Произведение Т(ь) 2(ь) будет чисто мнимым для ~ Ц ( у и !$!) 1, т. е. для него действительная часть равна нулю на этих промежутках. На промежутках у ( $ < 1 и — 1 ( $ ( — у известна действительная часть функции ТЦ)Х(с). Для того чтобы можно было применить формулу Коши в целях отыскания Т(Ь)2(Ь), нужно исследовать это произведение при Ь = оо. Так как 2(ь) — аналитическая функция, ограниченная на всей полуплоскости ь, то на бесконечности она разлагается в ряд Лорана вида (4.19) Прн этом, заметив, что на отрезках !5!) 1 мнимая часть 2 равна нулю (у = 0), по принципу симметрии Шварца для функции 2(ь) получим следующее свойство: она принимает в сопряженных точках ь и ь сопряженные значения.
Отсюда вытекает, что коэффициенты с„должны быть действительными числами. Эта функция принимает чисто мнимые значения для действительных значений ь = $, причем — у ( $ ( у. Примем ее аргумент равным и/2 для О < $ < у. Тогда на различных участках действительной осн $ для Т(ь) будем иметь следующие выра.
жения: для )$!(у $ о) земляная плотина тгопецеидольного пгоеиля а!т Что касается Т(ь), то около ь = оо можно положить причем все коэффициенты с(„ действительны. Произведение Т(ь)Е(ь) на бесконечности имеет вид Т (~) Я К) = — ГсД' — 1(с, + сод,) ~ — ! (с, + с,д, + соо(,) + Функция ЯГ (Ь) = Т (Ь) У (Ь) + Ест + 1(с, + соо(,) Ь (4.20) функции.
Получаем Х (Э)Л (Э) для у<й<1, 1($) = Йе ЯТ (э) = — Хо (5) Л, ($) для — 1 < $ < — у, (4,21) 0 для 1$~ < у н 1$!) 1, где Х, ($) и )Го($) имеют значения (4.15), причем )О( +э)г-о(1 )~-6(1+ )о Л (~) ( ч)О( )~-а(1 )~-в( + )о Задача оказалась сведенной к задаче Днрнхле, для решения которой применима формула (1.6) этой главы: В'(ь) = — — ~ — + 1С, Г 1 ()) й я -1 (4.22) где С в произвольная действительная постоянная. Подставим в (4.22) выражение (4.20) для )Р'(ь) и, использовав равенство (4.!7), получим, сокращая на 1, (сос(~ + с~) ~ + со~о + (у — (,) (у + 1) (1 — 1) (! + 1) л (1) = 1 — — — й + С.
(4.23) ! Г 1 (о) -! будет ограниченной на бесконечности, и ее удобно принять в качестве вспомогательной функции. На тех участках, где У = О, новая функция обладает тем свойством, что ее действительная часть равна нулю. Что касается остальных отрезков, то на них нетрудно найти значение действительной части этой СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ (гл.
у! 2!8 Полученное уравнение содержит неизвестные постоянные см с, и С. Их можно исключить, полагая в (4.23) последовательно ~= ~ у и ~1. При ~=у ! (с,!(!+ с!) у+ сау = — — з! + С. Г !(!) и! я З ! — у Вычитая это выражение из (4.23) и сокращая получающийся результат на у — ь, получим са!(!+с!+Еа(у+1) — (у — 1) '(у+О' '(1 — 1)' '(1+0 2К)= ! 1(!) и! н 3 ((-у) (!-0 ' -! Вычитая из этого равенства аналогичное соотношение, соответ- ствующее !. = — у, получим с — (у — ь)~ ! (у + ь) (1 — ь)~ в (1 + ь) у.
(ь) = ! 1 С ! (!) л я ,) (! — у)(Е + у)(! — С) -! Полагая !, = 1 и вычитая соответствующие уравнения, исклю. чим сз и найдем у- 1)'-'(у+1)-'(! -1)-'(! +1)'г(1) = ! 1«) и! = — — „! ((! у!) (! !) (! ь), (4.24) -! Наконец, положим в последнем уравнении !. = — 1.
Так как левая часть при этом обратится в нуль, то правая даст следующее уравнение: (4.25) Вычитая из правой части (4.24) левую часть (4.25), приведем (4.24) к более симметричному виду. После этого, решая (4.24) $41 звмлянля плотина тглпецендхльного пгоенля 219 относительно 2(с), получим ! 2(ь) = — — (у — М в(у+ь) (1 — ь) (1+ь)' ' Х х (, 1,) (1 1,) (, й) . (4.26) Наконец, вспоминая зависимость (4.9) между 2 и г, напишем уравнение для г(ь): (4.27) где т! (ь) = (у — ь) (у+ ~) (! — ь) (! + ь) Уравнение (4.25) содержит неизвестный параметр у и может служить для определения значения этого параметра. Когда найдено у, расход (;) определится по формуле (4.5). Перепишем более подробно уравнение (4.25), используя выражения (4.21) и (4.15): — ч , ) /(„,,)(,,9) ь, ь,,~ а,(!)л! Здесь г =Р(агсяп,, у').
з/1 — !' ч' Уравнение (4.28) можно переписать иначе, вводя обозначения — ч ! л (!)л! О= ! (г! )(1 !!) =- ~ф(т)!(т~ -! ч -ч ! (,, ', (...) = з! Ф(т) Р (агсз(п, ч, у') Ит, -! ч ч ! 7 =, ! = ! Ф(т) рч~агсяп "1 ч '),( А! (!) Р! !)! Г / . ч/ 2 ,) (! -Ч)(1-!) -) (, ",, у т, где Ф(г)=(у+т)в-!(.
)- (1 1 ) в(1 СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФУИКЦИй !гл, ю аао а также УО= ~ Ф1(1)1Й, 1 У',=- ~Ф,(Г) р(агсз(п, и, у')й, 1 У' = ~ Ф, (1) г"з (а гсгп,, у') 1УГ, т где Ф,(1)=(1 — у)з '(!+у) '(! — 1) з(1+1)' '. Теперь перепишем (4.28) в виде азУ1 — — У вЂ” —, Уз — ЬЗУР + —, У1 + —, У-' = О. з( а1 ь, , ь, К' К' К' К'1 (4.29) Подынтегральную функцию в Уз заменим на (1+1) '(Š— у) '(! — 1)' '~ ~ (У вЂ” у) '(1 — 1)" '. (4.31) Тогда интеграл ! Уо ~ ) (1 — у) (1 — 1) ог т приводится к бета-функции подстановкой ! — 1=(1 — у)а Уож уз' '(1 — з) 1УЗ= з В(а,! — а)= 1 з 1 Г -а 1 л -2У' 2 ' 2з1паз о Точно так же найдем приближенное равенствоУа и/(2З!ИРй). На основании рядов (4.30) и (4.31) можно сделать оценку принятых приближений.
Для случаев, имеющих место на практике, обычно ЦН ) 1О. При этом параметр у очень близок к единице, у' очень близко к нулю. Интегралы У„и У', можно тогда упростить, принимая В(В,у') = О, у=1. Рассмотрим интеграл УФ Положим (у+ 1)' '=(!+ 1)' '(1+ ',+',)' ' = =(1+1) +(3 — !)(у — 1)(1+1) + ... ж(1+1)~ ', (4.30) % 4! ЗЕМЛЯНАЯ ПЛОТИНА ТРАПЕЦЕИДАЛЪНОГО ПРОФИЛЯ 22! В интеграле 11 примем г'(агсз(п, . у'/ ж агсз(п —, т' Тогда, применяя те же упрощения, что для 18, напишем 1, т- (! — у) "(! — !)" 'агсз!и —,с(!. У Сделаем подстановку з/!:н' агсз!п, = —, т. 2 Тогда 1 1, ж" 1„(,~-з./-') а Точно так же ! 1, = — ",' ~ "с(д -'( — ";) о д' дт = — /1(а). дз 4( = — / (). 4 Аналогично дз Г гдтх дз 1 )~. г („, в-1(дт) 1, '1 / (! дн) о Равенство (4.29) содержит величину К'.
Для у' близких к нулю можно принять К' = д/2. Интересно отметить, что параметр Т совсем исчез из всех приближенных формул. Подставим теперь найденные приближенные выражения интегралов 18, 1н ... в (4.29). Сократив на общий множитель д/2, получим з!д ад з1д Рд — а1)1 (а) + 01/1 (! — дР) — 2аз/з (а) + 2Ьз/з (! — Й = О. Здесь через /1 (а) и /з(а) обозначены функции, представляемые соответствующими определенными интегралами. Переходя к интегралу 11, напишем 1 11 — — ~ (/ — у) (! — 1) агсз(п —, Ы! = ! Г 8-1 -в з/! — н 1 ~ те(йЗ8-1(ДТ) 1!т " /,(! РЯ) о СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ФУНКЦИИ [ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
