П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Область, ограниченную линией (!.10), можно назвать областью питания колодца (рис. 229). ф 2. Скважина, зксцентрично расположенная в круговом пласте. Пусть контуром питания будет окружность радиуса Р с центром в начале координат (рис. 230). Мощность пласта принимаем равной единице. Скважина радиуса б помещается в точке М,(хь(/~). Возьмем произвольную точку М области ц к з! ЭКСЦЕНТРИЧНО РАСПОЛОЖЕННАЯ СКВАЖИНА 343 обозначим через г комплексную координату этой точки, через г, — координату точки Мь Через Я~ обозначим дебит скважины с центром в точке Мь Тогда комплексный потенциал влечения ы(г) можно получить, поместив сток интенсивности Я1 в точке М1 и источник той же интенсивности в точке М', (с комплексной координатой гх = Д'/г~), представляющей инверсию точки М1 в круге радиуса Н (см.
и' 1 главы Ч): е(г)= — — '1П,' +С= 2п г — Д-'/2, = — — ' [!п (г — г,) — 1П " ~ + Со (2.1) Здесь Я1 — расход стока, помещенного в точке Мь которая рассматривается как центр скважины, С~ — постоянная, пока произвольная. Функция кр(х, у) является действительной частью выражения (2.1), поэтому она может быть представлена ввиде <р(х, у)= — 2' (!п(г — г,1 — (п~,2 ' [) +С(. (2.2) Вблизи скважины линии равного напора близки к окружностям, поэтому за периметр скважины приближенно можно принять одну из таких линий, близкую к окружности радиуса Ь.
()/Й Рис. 23!. Рис. 230. Вдоль периметра скважины напор по условию равен Н,; пусть й = Н, в точке г = г~ + 6. На контуре питания напор равен Н,. В частности, й = Нк в точке, для которой г = Н (рис. 230). Это дает окончательно 2ЛА !Нк — Нк! (2.3) [!и (Як — Я-,') — !и !кса) ! тде Й~ — расстояние точки М1 от начала координат. Если скважина центральная, т, е.
находится в центре окружности, то ее з(е колодцы н скважины. горизонтальные драны (гл. >к дебит равен 2па(Н„ — Н„) ЯО= 1.Я' 1„; Составим отношение ()~ 1и р 0е (а (Р— Р!/Р) где р = /с/б, р> = /1~/б. На рис. 231 представлена зависимость величины Я~/Яе от й,Я при заданном р =!00.
Видим, что дебит скважины резко возрастает при ее приближении к контуру питания. й 3. Случай произвольного контура. Рассмотрим пласт 5, ограниченный произвольным контуром питания Е со скважиной в точке М~ (рис. 232). Совершим конформное отображение внутренности круга !Л) = /с на внутренность области 5 пло- скости г с помощью преобразования у Л = г'(г). (3.1) (г) Пусть при этом контур круга радиуса Нг ° )г плоскости Е перейдет в контур /,. Тогда напор й(х, у) = — у/й в области 5 будет выражаться формулой, которую получим из (2.3) заменой г на Р(г) согласно (3.1): Рис. 232.
2па Я> Р (г) Р (г,)1 где г~ — комплексная координата точки Мь Условие, что в точке г = г, + б напор й = Н„если пренебречь малыми высшего порядка для б, дает *) ~ )! Ь ! г (2!) 1 Л с 2па )>е — 1 Р (г~) (е + Уравнение контура /. согласно равенству (3.!) будет ! Р (г) ! = Р.
(3.4) Возьмем произвольную точку ге контура /.. В этой точке, как и вдоль всего контура Е, пусть напор равен Н„. Из (3.2) ') В самом деле, Ь' г(21+Ь) г(г>)=Ьг (г~)+ г (2!)+ . ~' Ьг (г~), 2 г (а~ +Ь) г (г~) 1Г(г~) !'+ Ьг'(х~) г (г~) + ... ! г (г~) 1К СЛУЧАЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО КОНТУРА 347 имеем тогда (3.5) Принимая во внимание, что 1г'(ао)1=с(, найдем =1 С=О (Кг — Р (со) К (аг) 1 (3.6) и из уравнения (3.3) получим окончательно 2ЛЬ (̈́— И,) (3.7) )п ()(г 1 К (г,) (г) (и (((б 1 К' (аг) 1 ) — г2К .
ах Я =К(а) = )гга* зп ~ — агсяп — ), с)' (3.8) где а* — модуль эллиптического интеграла К, определяемый с помощью равенства — = — аг1)! — = — 1и —. К' 4 Ь 2 а+Ь (3.9) К и а и а — Ь ' Здесь с'=а' — Ьг, а и (г — полуоси эллипса. Составим производную Р'(г) =, и = — агсяп —. (3.10) 2КъгЬ' спас)пи 2К . а и уссг сг ' и с С помощью формулы (3.9) найдем для дебита скважины, находящейся в точке аь выражение (')— 2ЛЬ (Нк — 77о) (3 11) (и ((1 — Ь опг и,) п„(с — а; ) — !и (а 1 си и, г(п и, 1) Здесь 2К .
Вг 2КЬ П/Ь" и! = — агсяп — ', а = и с и Где б, как и выше, есть радиус скважины. Если скважина находится в центре эллипса, то 2ЛЬ (Нк — Оо) (')! = (и (ис) — !п (2 ЬК Ч/Ь" ) (3.12) В качестве примера вытянутой области естественно взять эллипс. Функция, дающая конформное отображение внутренности эллипса на внутренность единичного круга, имеет вид 348 колодцы и сквАжины, ГОРизОнтАльные дРены 1Гл. 1х Отсюда для отношения дебита скважины в эллиптической области к дебиту Яс скважины в круговой области радиуса Й, центр которой совпадает с центром эллипса, получаем Я~ 44 лс — =!и —: 1и Яс 0 26К 'Ъ'А' Рассмотрим скважину в бесконечной полосе (между двумя каналами).
В этом случае (рнс. 233) комплексный потенциал имеет внд а(г) = — — 1!из1п~ — (г — а))— Х21 — !п яп( — (г + а))] + С. (3.13) Для напора имеем выражение й = — '„~1 и ~ я'и ( — (г — а) ) ~— — !и ] 8!и ( — (г + а)) ~ ] + С. (3.14! Ряс. 233. В точке г=а+ б на скважине Л=Н, и Н, = — ' ~!и (лб) — 1и (21 яп — )] + С. (3.15) В точке г=1 считаем й = Н,. Отсюда дебит скважины 2ЛА !̈́— Н,! /21 лаХ' !п ( — 41п — ) \,лб 1) й 4.
Об интерференции скважин. С увеличением числа совершенных сквал,ин, пробуриваемых в пласте, суммарный дебит скважин прн одинаковых разностях напоров ̈́— Н, увеличивается. Однако это увеличение не пропорционально числу скважин, а суммарный дебит л одинаковых скважин меньше, чем л-кратный дебит одной скважины. Это явление называют интерферен1(ией скважин: скважины оказывают влияние друг на друга, уменьшая дебит каждой из них. При этом, чем большее число скважин будет находиться на данной площади, тем меньше будет каждой скважины. При некотором значении и = М дальнейшее увеличение числа скважин уже станет невыгодным, так как затраты на скважину не окупят того малого приращения суммарного дебита, которое получится за счет (0+1)-й скважины.
Вопросы о наивыгоднейшем числе скважин имеют важное значение в теории фильтрации нефти. Ограничимся рассмотрением простейшего случая двух скважин. Поместив в точках г = ~а по стоку одинаковой интенсивности Я, получим схему двух скважин в безграничном пласте. интеРФеРенция скВАжин 349 Комплексный потенциал такого течения будет а = ~р + !кр = — — !и !(е — а) (г + а)) + С, (4.!) где Я вЂ” дебит каждой из скважин. Поэтому, отделяя в (4.!) действительную часть, можем написать Ь = — „„', ы (е — а) (а + а) 1+ Си О (4.2) Для определения постоянной С~ и дебита Я нам нужны два условия. Считая, что радиус скважины 6 мал по сравнению с расстоянием 2а между скважинами, примем за контур поперечного сечения скважины изобару, проходящую через точку г = а+ 6.
При указанных условиях эта изобара близка к окружности радиуса 6 с центром в точке а. На скважине пусть напор равен Н,. Тогда формула (4.2) даст, после пренебрежения величиной бз, Н, = — ! п (2аб) + С н (4.3) Нк = — 1п (У вЂ” а') + Сн Я (4.4) Вычитая (4.3) из (4.4), получим ис и2 — Н = — !и к с Еиа Еиа Отсюда найдем расход каждой из скважин: и — и ис — й2 !и (4.5) Сравним этот расход с расходом одиночной скважины радиуса 6, центр которой находится в начале координат, для которой напоры при г = 6 и г = Н соответственно равны Н, и Н«.
Как мы видели (см. $ !), этот дебит, который мы обозначим через Яь равен к Ик — Ис !ив Ь (4.6) В течении с двумя скважинами эквипотенциали, охватывающие обе скважины, представляют семейство лемнискат. Однако на достаточно большом расстоянии от начала эти лемнискаты становятся близкими к окружностям. Считая й достаточно боль.
шям по сравнению с а, предположим, что при г = Й напор равен Н„(контурному напору). Подставляя в (4.2) г = Н и Н = = Н„, получим 350 колодцы и скважины. гогизоцтлльныв дгвиы !гл. !х Отношение Я/Я! равно Р !3 !и— Ь !ив 6 Ж вЂ” а~ Л гЛ а !л 2аб !и — +!и ( — — — ) 0 ~2а 2Я) Так как мы считаем, что /с ) ., -о второе слагаемое знаменателя положительно и Я/Я! ( 1. $5.
Приток к совершенным скважинам в неоднородной среде. Вторую задачу из $ 3 главы УП! можно интерпретировать иначе, заменив точечный вихрь точечным источником. Для этого Рис. 234 достаточно поменять роли !р и ф А именно, допустим, что напорный пласт, в котором порисходит движение жидкости к совершенной скважине, состоит из двух полуплоскостей с коэффициентами фильтрации й, и йз (рис.
234), причем линия раздела грунтов является осью абсцисс. Тогда, обозначая через Я дебит скважины, можно написать для первой и второй областей, если скважина находится в э о! ЙРиток к скВАжинАм В неОднОРОднОЙ сРеде 35! первой области в точке го, а, (г) = — — [1 и (г — го) + !о (п (г — го)] + Си а,(г) = — 2 (1 — Х)!п(г — го)+ С, ~!! = ' '). К + Рг Для дебита скважины получается формула 2па~(Нк — Нс) !и — +Х!и— д Ь 2Ь (5.2) а!=((г)+Х[( — ), а,=(1 — А)[(г)(Х= „' ').
(5.3) где б — радиус скважины, Ь вЂ” расстояние скважины от оси абсцисс, Н„ — напор при [г — го[ = Н, Н, — напор при г — го = б, причем принято, что Н/Ь » 1 и б/Ь (( 1. Формулы (5.1) могут быть получены также при помощи теоремы об окружности для случая фильтрации в неоднородном пласте. Эта теорема представляет обобщение известной в теоретической гидродинамике теоремы об окружности (Милн-Томсон 1964). Теорема об окружности применительно к фильтрационным движениям была дана Шт. Георгицэ в 1957 г. и К.
Якобом в 1959 г. (см. О(!еогдЩа 1966) и была ими применена к равномерному потоку с постоянной скоростью на бесконечности. Ряд обобщений теоремы дал Шт. Георгицэ, который занимался многими вопросами о течениях в неоднородных пластах. Некоторые общие математические исследования в этой области провела Э. Унгуряну-Давид (см., например, ()пдцгеапц 1969). Для линии раздела грунтов — кривой второго порядка решение построено О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
