П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 53
Текст из файла (страница 53)
дх' ду' Если пьезометрические напоры Н 1 и Нпы в соседних пластах изменяются настолько слабо, что их можно считать постоянными, то и Н, будет постоянным. Если же Нп 1 и Нп+, Теперь найдем выражения вертикальных скоростей ге1 и шо на кровле и подошве и-го пласта. Согласно сделанному выше замечанию можно считать, что фильтрация в слабо проиицаемом пласте происходит по вертикали. Обозначая напорные функции для (и + !)-го н (и — !)-го проницаемых пластов соответственно через Н„+~ и Н„ ь по закону Дарси будем иметь (так как скорость фильтрации при наших предположениях будет пропорциональна разностям напоров иа границах плохо проницаемого пласта и обратно пропорциональна его толщине) Ип — Нп, Ип+, — Нп ш,=хп, ", в, =хп .
(8.5) ~л-1 и зво колодцы и сквлжины, гогизонтхльныв дгвны (гл. ~х переменны, то нужно составлять и для них уравнения, аналогичные (8.9). Если нижележащий или вышележащий пласт совершенно непроницаем, то соответствующее значение х„или х ~ равно нулю. ф 9. Движение в одном проницаемом пласте. Предположим, что движение происходит параллельно оси х. Отбросим значок и в уравнении (8.9) и перепишем это уравнение применительно к рассматриваемому случаю в виде —, — а (Н вЂ” Н') = О. ч'и (9.1) Общее решение этого уравнения можно представить в виде Н вЂ” Н" = С1е-х ~Г0 -1- Стаха~. Нужно поставить два граничных условия для определения постоянных С1 и Сз. Так, С~ и Сз будут определены, если будут известны значения напора Н в двух точках пласта.
Если рассматривается приток жидкости из бесконечности, например, приток из бесконечности справа к ханаве, то, поставив условие конечности напора при х = +со, получим, что Сз = 0 и Н=Н'+Се " и, Зная величину напора в какой-нииг и" будь точке, определим Сь Напри~~Г Т мер, если Н = Н1 при х = О, то Н = Н" + (Н) — П")е '-"~' (9.2) Рис.
240. Величина Н* будет в этом случае напором при х = со. Если Н~ ) Н', то кривая (9.2) лежит над асимптотой Н = = Н* и вогнута кверху; если Н, ( Н", то кривая лежит под своей асимптотой и выпукла (рис. 240). Направление выпуклости пьезометрической кривой можно определить непосредственно из уравнения (9.1), переписав его так: и'и — „, =о(Н вЂ” Н"). Так как а) О, то при Н) Н* вторая производная положительна, т. е. кривая вогнута, прн Н ~ Н' она, наоборот, выпукла.
$10. Совершенные скважины в напорном пласте. Предполо>ким сначала, что имеется одна цилиндрическая скважина, ось которой совпадает с осью г и приток к которой со всех сторон одинаков, так что течение не зависит от полярного угла, а за- СОВЕРШЕННЫЕ СКВАЖИНЫ В НАПОРНОМ ПЛАСТЕ зв! г го! висит только от радиуса-вектора г. Оператор Лапласа приве- дется при этом к виду доН дгН дгН ! йН КН=— — + — = — + — —, дхг дуг дгг г дг и вместо (8.9) будем иметь (отбрасывая значок п) — + — — „— а (Н вЂ” Н)=0 (а =а). (10.1) дН ! дН * г дг' г дг Это уравнение Бесселя, общее решение которого представляется в виде Н вЂ” Н = Сг!о(аг)+ СЕКО(аг), (10.2) где Го — цилиндрическая функция мнимого аргумента нулевого порядка первого рода, Ко — соответствующая функция второго рода.
Если известно значение напора на двух окружностях радиусов г! и гг, то постоянные С~ и Сг определяются. Рассматривая движение в бесконечном пласте, поставим условие: Н должно оставаться ограниченным при г, стремяшемся к бесконечности. Так как функция !о(х) неограниченно возрастает при увеличении аргумента, то следует положить Сг= О. Получаем (10.3) Н вЂ” Н' = СгКо(аг). Функция Ко(х) стремится к нулю при возрастании х; поэтому Н стремится к Н' при г- оо. Следовательно, Н' есть невозмушенное значение напора.
Можно ввести величину 5 = Н' — Н, называемую понижением напора. Тогда для Я получаем выражение (10.4) 5 = — СЕКО(аг). Обозначим радиус скважины через го и вычислим расход(!с через боковую поверхность цилиндра радиуса г,, пересекающего весь пласт, мошность которого обозначим через Т: (!0.5) Я, = 2пг,Т7„ где )г, — скорость течения на стенке цилиндра. Имеем 1', = — й — „~ = — йСга Ко (аг,) = Сгиба К, (аг,), (10.6) дН ! Г, с где К! — цилиндрическая функция мнимого аргумента второго рода первого порядка.
362 кОлодцы и скВАжины, гоРизОнтАльные дРены (гл. 1х Подставляя (10.6) в (10.5), найдем Яс 2пагса К1(агс) Т ' и уравнение (10.3) дает 5=Н вЂ” Н=— К, (аг) 2яаг аТ К| (аг,) (10.7) Так как через горизонтальные плоскости, ограничивающие хорошо проницаемый пласт, происходит просачивание жидкости, то расход Я„через цилиндр радиуса г будет зависеть от г. Мы получим Я„, заменяя в (!0.7) г, на г". Я, = 2пйгТОС,К, (аг).
Деля это выражение на (10.7), получим г К, (аг) (~г Яс г К~ (агс) (!0.8) Если х ( 0,02, то можно пользоваться приближенными формулами (С вЂ” эйлерова постоянная) К, (х) ж — 1п х+!п 2 — С = 0,1159 — !п х, (10.9) х ' 1 (10.10) или Я вЂ” — Ко (аг). 2ИАТ (10.12) Полагая в уравнении (!0.8) г = г„найдем понижение напора на скважине: Н Н( ) 5( ) Ос Кс( с) ЪЙТ аг,К, (аг,) ' где Н(гс) — напор иа стенках скважины. Воспользовавшись приближенными выражениями для Ко и Кь напишем Я( с)= 2 А'Т ( — (п(агс)+0,1159) = — „' !п — ' 'сс Яс 1,123 аг, Отсюда для дебита скважины находим 2ВАТ рг' — н (.,)! Н. 1,123 (10 18) (п Ф"/гс) ' а Сравним эту формулу с формулой ( 1.4 ), полученной дл я дебита совершенного колодца в пласте без перетоков, которую можно Обычно агс < 0,02; поэтому К,(аг,) 1/(аг,), и формулу (10.7) можно заменить такой: Н вЂ” Н'= — — ', Ко(аг), (10.! 1) з»о1 сОВеРшенные скВАжины В нАНОРном плАсте переписать так: Я— 2КАГ (Н Я) — О (гс)1 (10А4) »п 1Я/»„) Здесь Н(»с) — напор в точке, лежащей на расстоянии»с (произ.
вольном) от центра колодца, в то время как Н* формулы (10.13) есть напор при г = ОО. В знаменателе (10.13) вместо»» стоит»с' — выражение, зависящее (через а) от интенсивности фильтрации через слабо проницаемые грунты, которые в формуле (10.14) рассматриваются как совершенно непроницаемые. Вычисления А. Н. Мятиева (1947) показывают, что Я тем ближе к Я„чем ближе»с к г,. Если производится откачка воды из скважины, то на некоторых расстояниях от нее г», ге,..., г„могут быть расположены наблюдательные колодцы, в которых отмечаются понижения напора соответственно 5»,5ь ..., 5„. Имея по крайней мере две пары значений (г,5), можно вычислить величины а н йТ.
Если считать вышележащий пласт совершенно непроницаемым, то можно по формуле (8.7), зная мощность подстилающегослабо проницаемого пласта, вычислить коэффициент фильтрации последнего. По данным наблюдений можно вычислить два параметра, входящих в уравнение (10.12): А = Я((2пяТ) и а. Эти параметры характеризуют суммарно свойства пласта. Если известны некоторые из величин, от которых зависят А н а, то можно вычислить еще какие-нибудь иэ мощностей слоев н коэффициентов фильтрации.
В действительности обычно не бывает известной достаточно точно ни одна из величин б», н», Й», поэтому можно, когда известно Я, смотреть на величины а и ЕТ как на некоторые постоянные, суммарно характеризующие область движения грунтовых вод. Опытные откачки дают возможность определить эти важные постоянные. Перейдем теперь к случаю а совершенных скважин, центры которых находятся в точках (хну,), ..., (х„,у„). Обозначим через г; расстояние от произвольной точки (х, у) до точки (х», у»): г, = 1,»(х — х,)'-1- (у — у»)з. Функция КВ(»хг») при любых значениях (хь у») является решением уравнения ~, + ~, — а(Н вЂ” Н)=0. Ф Поэтому понижение от действия всех скважин будет равно сумме понижений, вызываемых отдельными скважинами. С помощью 364 колодцы и скВАжины, ГОРизОНТАлъиые ЛРеиы !Гл. !х формулы (!О 7) можем написать и -Х а! Ко (вг!) 8= 2иаг,!аТ К, !аг,!! Двих:ение подземных вод в системе нескольких водоносных пластов исследовал Н.
К. Гиринский (1951). Взаимодействие группы скважин и ряд других вопросов о движении подземных вод при наличии перетоков через слабо проницаемые пласты рассмотрены в книге П. Я. Полубариновой-Кочиной с соавторами (1969). 5 1!. 0 пространственной форме напорной поверхности. Перепишем уравнение (8.9) для пьезометрического напора л-го пласта Н„(х, у) в виде — + — =а (Н вЂ” Н), д'Нп д'Нп е * дх! дй! и (11.1) Н„( Н". (1 1.2) При этом суммарная вертикальная скорость ш й„г(„о„(̈́— Н') будет направлена внутрь пласта.
Следовательно, а-й горизонт обогащается водой других горизонтов. Так как величина ю= — "' (Нп — Нп !)+ — п(Нп — Нпэ,) 6п-! и состоит из двух слагаемых (скоростей просачивания через каждую из двух границ и-го пласта), то одна из этих скоростей может быть направлена и из пласта, но другая скорость, направленная внутрь, должна быть при этом больше. Поэтому мы получаем три возможности, схематически изображенные на рис.
24! посредством стрелок различной длины. где Н' согласно (8.8) есть некоторое среднее из значений напоров в двух соседних с п-м водопроницаемых пластах. Это величина напора, который обеспечивается в и-и пласте двумя соседними пластами, так как уравнение (11Л) имеет частное решение Нп = Н', соответствующее покою (считаем Н* по. стоян ным) . Предположим, что под влиянием каких-нибудь причин (на. пример, откачки или нагнетания) происходит движение грунтовых вод.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
