П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Й(х, у, г)=Й(х, у, го)+( —Š(2 — го)+ . (1А) Будем считать малой величину дй/дг, пропорциональную вертикальной скорости, и произведением этой величины на малую величину г — го будем пренебрегать. Другими словами, заменяем действительный напор Й(х, у, г) величиной Й(х, у, го), зависящей от средней глубины потока го, но не зависящей от координаты г. Будем его обозначать через Й(х, у), ЗЗО ГИДРАВЛИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ [ГЛ. Х 4 и ГидРАВлическАя теОРия и ее Основные положе!!Ня 333 Это означает, что напор считается постоянным вдоль каждой вертикали, или, иначе, поверхности равного напора принимаются за вертикальные цилиндрические поверхности. В плоском течении линии равного напора будут вертикальными прямыми. (Ниже мы увидим, что в это основное предположение гидравлической теории можно будет внести некоторые поправки.) Теперь можно считать уравнение (!.3), приняв вместо й(х, у, г) осредненное по высоте значение й(х, у), уравнением свободной поверхности: г=й(х, у).
(1.5) Таким образом, в гидравлической теории напор в каком-нибудь сечении принимается за уровень воды в этом сечении. Выведем уравнение неразрывности для потока со слабо изменяющейся свободной поверхностью. Горизонтальные составляющие скорости и и и выражаются через напор й(х,у) при помощи равенств дь дь и= — й —, о= — й —. дх ' ду ' (1.6) д,ду= — й(йф) ду. (1.7) Здесь й и дй/дх берутся в точке (х,у).
Расход через правую грань равен такому же выражению (1.7), в котором надо лишь заменить х на х+ г(х: у +л иу — й(й ) !Гу Разность между количеством жидкости, вытекающим в единицу времени через грань х+ !(х, и количеством се, втекающим через грань х, равна (д„4л„— д„)4(у; по формуле Лагранжа ! (х + дх) — !' (х) = ) ' ($) с(х Выделим в жидкости элементарный столб, ограниченный сверху свободной поверхностью, снизу — го- лу ризонтальной плоскостью (х, у), представляющей для лл простоты основание проницаемого пласта, с боков— вертикальными плоскостями, образующими в основа- Рас е43.
нии прямоугольник со сторонами дх и г(у (рис. 249). Расход через левую грань полученного тела равен площади грани йду, умноженной на скорость и. Обозначим через д„ расход в направлении оси х (на единицу длины в направлении оси у). Тогда расход через левую грань тела будет равен (где я — некоторое число, лежащее между х и х+ г(х), и изменение расхода в направлении оси х преобразуется так: (ух+ах — ух)пу= " пхх(у= — в д (Ь д ) пхг(у.
(1.9) Точно так же найдем изменение расхода в направлении оси у: дну д / дИ'А — пх г(у = — й — ( Ь вЂ” ) йх йу. ду ду ~ дух (1.10) В выражениях (1.9) и (!.!0) нужно считать независимые переменные равными величинам $, т1, лежащим соответственно между х и х+ пх, у и у+ г(у. При переходе к пределу, когда пх- 0 и г(у- О, получим вместо ($, т)) значение (х, у).
Общее изменение расхода через боковые грани, равное сумме выражений (!.9) и (1.10), в установившемся движении несжимаемой жидкости может компенсироваться поступлением или оттоком жидкости сверху или через основание пласта. Сверху на свободную поверхность может падать дождь или вода при поливе — эти явления называют инфильтрацией; исаарение дает отток жидкости с поверхности. Через основание пласта может происходить слабое просачивание, если нижележащий пласт является не абсолютно водоупорным (что обычно и имеет место в действительности), но слабо проницаемым. Такой случай будет рассмотрен ниже в этой же главе. Пусть иа единицу площади (горизонтальной проекции свободной поверхности) поступает сверху расход В и снизу расход шо. На площадку йх г(у соответствующие расходы будут: е йх г(у, а~а с(х а'у.
(1.1 1) Складывая выражения (1.9) и (1.10) и приравнивая их сумме (!.! 1), после деления на пх йу получим дух дчу — + — =Е+Ш, дх ду или й) Д 1~ д )+ д !й д 1)+В+~о О (! 12). Величина е положительна, если вода поступает в область движения, т. е. в случае инфильтрации или в случае превышения интенсивности инфильтрации над интенсивностью испарения, и отрицательна в случае испарения или преобладания испарения над инфильтрацией. Вертикальная скорость и, положительна, если вода просачивается из нижнего грунта в верхний, и отрицательна в обратном случае. 384 ГИДРАВЛИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ !ГЛ, Х Э А) ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ С ГОРИЗОНТАЛЬНЫМ ВОДОУПОРОМ ззв Если основание грунта непроницаемо и отсутствуют инфильтрация и испарение, то е = шб 0 и уравнение (1.12) можно переписать в виде — дт — + д, =О.
да (/аа) да (/аа) (1.13) В этом случае функция й' удовлетворяет уравнению Лапласа. $2. Плоское течение с горизонтальным водоупором. Рассмотрим движение грунтового потока в плоскости (х,е) (рис. 250). Уравнение (1.13) переходит в данном случае в следующее: г — = О. (2.1) да (/аа) дхл ду ///х/ Интегрирование дает параболу /уг (А и  — произвольные постоянные) э йг Ах + В. (2.2) Рис. 250.
Можно также получить эту параболу, исходя из выражения расхода д через сечение х (рассчитанного на единицу длины потока в направлении, перпендикулярном к оси х) д= — йй —. дЬ дх ' (2.3) Интегрируя это уравнение и подставляя координаты точек (хь/г~), (хь /ге), после преобразований получим (2.4) Формула (2.4) называется формулой Дюпюи. Мы видели, что такая же формула получается при точном решении двумерной задачи о притоке к горизонтальной дрене (см.
$ 11 главы !1). В $9 главы !/1! эта же формула выведена для земляной перемычки, где, однако, /уе не есть ордината свободной поверхности. Мы уже указывали, что в гидравлической теории вертикальными скоростями обычно пренебрегают. Однако можно дать способ приближенного учета вертикальных скоростей в потоке. Напишем уравнение неразрывности ди два — + — =0 дх дх и проинтегрируем его по г, помня, что у нас и есть функция только от х, определяемая уравнением и = — й й/у/йх. 13 П Я. Полубарннава-Канина заа гидгхвличвскля теогия тстхновившнхся движении ~гл, к Учитывая, что на водоупоре при г * 0 вертикальная скорость равна нулю, получим Г ди Г д2л — И~ й ~ — Иъ. З дх дх2 Так как г1зг1)г(хз не зависит от х, то интегрирование дает щ = лг~Рй/Нхз.
С помощью выражения (2.3) найдем вторую производную: р~л и ихг фаз . Отсюда На свободной поверхности, где х Ь, имеем га — ~ = — й (-2-) Отсюда видно, что над непроницаемым водоупором вертикальная скорость отрицательна, величина ее пропорциональна высоте. А ~х~~ ~й й) + 0 (3.1) Интегрирование его дает Ю+ ахз С,х+ Сз. (3.2) В случаа инфильтрации, при е) О, имеем уравнение эллипса, в случае испарения, когда можно положить е = — е (е) 0), получим уравнение гиперболы ййз — С,х+ С,. (3.3) Для определения постоянных С~ и Сз нужно задать два условия, например две точки свободной поверхности.
Перемещая начало координат вдоль оси х, можно добиться, в частности, обращения С1 в нуль. 2 3. Свободная поверхность при инфильтрации или испарении. В уравнении (1.12) примем ю, =О, но оставим слагаемое е, определяющее инфильтрацию или испарение. Ограничиваясь рассмотрением плоского движения, перепишем уравнение (1.12) так (см., напримар, Аравии и Нумеров 1948): э и ФильтРАция В неоднОРОдных пО ВеРтикАли ГРунтАх ззт Пусть, например, фильтрация происходит через прямоугольный массив грунта из бассейна глубины Н~ в бассейн глубины Н, и на поверхности имеет место инфильтрация (рис. 251).
Обозначим максимальную ординату свободной поверхности через Н, расстояние ее от водных бассейнов соответственно через т'.1 и Ьо и совместим с ней начало кооРдинат. УчитываЯ, что при этом С~ — — О, перепишем уравнение (3.2) следующим тттттототттттттттт образом: Ьт+ о хз =Но. А При этом, полагая х — Еь лт Н Ь = Н, и х = Ео, Ь Нгь по- % лучим зависимости ,4 в Нз + — (,о Н . (3.4) Рас. ЯВ1. А Обозначая расстояние между водоприемниками через Ь, будем иметь уравнение 1., + Ц=Е. (3.5) Два уравнения (3.4) и уравнение (3.5), в которых Г., Нь Н, являются заданными, служат для определения неизвестных (.ь АгиН. Что касается случая испарения, то здесь представляются две возможности в зависимости от знака Сз (если выбрать С, = О), так как может получиться одна из двух сопряженных гипербол.
В случае вырождения свободная поверхность обращается в отрезки двух, прямых. $4. фильтрация в грунтах, слабо неоднородных по вертикали. Мы уже встречались в $5 главы ЧШ с простейшими напорными движениями в неоднородных (слоистых) грунтах. Рассмотрим здесь движение со свободной поверхностью в грунте, коэффициент фильтрации которого является функцией от высоты г. Вычислим расход д, в направлении оси х, протекающий через прямоугольник высоты Ь, основание которого равно единице длины и плоскость которого перпендикулярна к осн х.
Разбивая Ь на элементы нг, весь прямоугольник разобьем на элементарные прямоугольники с расходами — Ь(г) (дЬ/дх)йг. Проинтегрировав это выражение по г в пределах от нуля до Ь, найдем расход д„через упомянутый прямоугольник высоты Ь: Л о чо = — ~ Ь(е) дх (х = — дх ) Ь(х) «х дь да Г (4.1) о о 13' ЗЗВ ГИДРАВЛИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИИ ГГЛ, Х Через нее, как нетрудно проверить, просто выражаются д„и ду. чх чу дФ дФ дх ' У ду (4.4) Если грунт однороден, то АА' Ф (х, у) = й (г — и) Г(г = — —. 2 о (4.5) Функция (4.3), как нетрудно проверить, удовлетворяет уравнению Лапласа по переменным х, у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
