П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В. Голубевой и А. Я. Шпилевым (1967). Задачи с эллиптическим контуром рассматривались также Шт. Георгицэ и Э. Унгуряну. Приведем изложение теоремы об окружности по О. В. Голубевой (1966), которая получила эту теорему независимо от предыдущих исследователей и применила ее к течениям с источниками и стоками.
Пусть фильтрация в безграничном пласте с постоянным коэффициентом фильтрации й, определяется комплексным потенциалом а = 1(г), причем особые точки !(г) располагаются только вне (только внутри) окружности [г[= К. Далее, пусть будет внутренность (внешность) этой окружности заполнена грунтом с коэффициентом фильтрации йа Тогда комплексный потенциал а1 течения вне (внутри) окружности и комплексный потенциал ао течения внутри (вне) окружности будут иметь вид йзй колодцы и скважины.
гогизоитлльныв дианы [гл, гх Теорема об окружности получается отсюда как частный случай при Л = 1. Нетрудно проверить, что на линии раздела двух грунтов 22 = Й' выполняются необходимые условия цч/й~ ~== ор2/йо и ф! = ф2. Если граница раздела между двумя грунтами— ось у = О, то уравнения (5.3) заменяются следуюгцими: го~ = ! (2) + Л ! (2), гоа = (1 — Ц ! (2). (5.4) П р и м е р. Скважина (точечный сток) находится в точке 2 = 2, безграничного пласта с коэффициентом фильтрации Аь причем имеРис.
235. ется круговое включение с коэффициентом фильтрации йз прн [2[( Й (рис. 235). Тогда, обозначая через Я дебит стока, полУчим в слУчае, когда точка 2о находитсЯ вне кРУга [ 2 [ = )г, [ (2) = — †, (п (2 — 2о), Р (5.5) го, = — — '[1п(2 — 2,)+ Л!и( — — 2о) [+ Сь (6.6) ,= — ~О (1 — Л)1п(2 — го)+ С . Видно, что особыми точками оо1 являются, кроме 2 = ао, также 2 = )г'/2о внутри круга и 2 = оо вне круга, Если точка го находится внутри круга [2[= Й, то исходная функция (5.5) содержит особенность прн г = оо и условие теоремы об окружности (особенности должны быть только в одной области) не выполняется. Правильный результат получим, если во второе из выражений (5.6) введем слагаемое — (ЛЯ/2л)1п 2: ы, — — ~!п(2 2о)-1 Л1п['2 )~+С>, (5.7) го, = — — [(! — Л) ! п (2 — 2,) + Л 1п 2] + С,.
2л Здесь в области [2[(К имеет место коэффициент фильтрации йь а йо — в области [2 [ ) 1с. Если скважина находится в точке 2о в области, ограничен- ной окружностью радиуса г = 1, где грунт имеет коэффициент ЗАДАЧИ О ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ДРЕНАЖЕ 1 Х глг,",+' и,— !О1= — — ~ + +(1 — А) 2 2 2 — 20 2 — 1/Йа г-н 20 — А л 0 О)! — А х 220 + +( )~н 20 ' + 2л ~ г га г ~ л"+2-А л-0 (5.8) аа л Н-ал — 0)~ .„', ].
л Л. И. Костицына обобщила теорему об окружности на случай двух концентрических окружностей. Используя ее результаты, формулы (5.8) можно представить в таком виде: Л х Лл и, — !О! — — — — 1 — + 2п 1 г — га г — 1/2а 2 — й /20 Л л ! Я(1-А! ! ! х Ал т Ал-' 2 + А„н 20,Р0 'л ьг 20 2 — 202л 2 — Я /20Л (5.9) Н. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ 00РЕНЫ 6 6. Применение метода источников к задачам о горизонтальном дренаже. Поверхность земли может оказаться заболоченной по разным причинам: вследствие выхода грунтовых вод на данный участок, под влиянием а2мосферных осадков, при поливах, предназначенных для промывки засоленных почв, и т.
д. Рассмотрим случай, когда над горизонтальной поверхностью грунта находится слой воды высоты Н. На некоторой глубине д от поверхности заложена горизонтальная труба радиуса б, собирающая воду и отводящая ее в камой-нибудь коллектор. Будем считать, что примерно в центре трубы находится точечный сток, расход которого на единицу длины трубы равен Я, в пусть ось абсцисс совпадает с поверхностью груп га, а координаты центра стока будут (О, — 02). В точке (0,0!) поместим источник такой же интенсивности, как сток.
Тогда для комплексного потенциала скорости будем иметь ГР= — 1п~ . ~ — йН= — !п О ! 2 — щ 22.! !и — иР 2л ~ г -1- щ ~ 2л га -1- !и -1- и!2 — йН. (6.1) !2 П. и. Палулааннааа Качана фильтрации Фь а в кольцевой области, между окружностями радиУсов ! и /Г, находитсЯ гРУнт с коэффициентом фильтРации Йг, причем внешняя окружность является эквипотенциалью, то имеем такие формулы для скоростей (Полубаринова-Кочина 1952, 1): колодцы и скважины. горизонтхльныя дрепы (гл. ~х Произвольная постоянная выбрана равной — йН для того, чтобы удовлетворить условию ~а= — 'яН на поверхности грунта (у=О).
Предположим, что на контуре дренажной трубы напор равен Ндр, тогда 2яй (Н вЂ” одр) (и (2с(/а) (6.2) На рис. 236 представлена сетка движения и эпюра скоростей на поверхности грунта, построенные В, В. Ведерниковым (1939) Рис. 236. для одного частного случая. Он решал эту задачу, так же как и следующие в этом параграфе, методом конформного отобра- жения области движения и области комплексного потенциала на полуплоскость. Рис. 237. В случае бесчисленного множества параллельных дренажных труб, находящихся на расстоянии ( друг от друга (рис.237), будем иметь Ми ( — (и — ~ц)) — йН.
— (г+ с(ю)) 'х 1 Ф= — !и Я 2я подзвмнын водоздвор 355 Полагая ~р = — ЙНир при х = 0 и у = — д+ б, получим выражение расхода 2иа(Н вЂ” Н„) 2ий ие )и дн — — )и див 1 ! Заметим, что мы считаем бД настолько малым, что вместо з)1 (п611) можно взять нб11. Этим объясняется различие во внешнем виде формул, даваемых в подобных задачах различными авторами. Рис. 238. Аналогичным образом рассматривается случай дрены на водоупоре (рнс. 238). Обозначая через Т глубину проницаемого слоя и располагая поочередно источники н стоки вдоль вертикали на расстояниях )-2пТ от основного стока, имеем здесь р — — — )п(» При этом Я вЂ” расход единицы длины дрены, равный половине расхода стока, помещенного в ее центре: )си (Н Ндр) Ьи (Н Ндр) )и )и— 2Т )и— 2Т 9 7.
Подземный водозабор, питающийся водами соседнего водоносного пласта. Предположим, что напорный водоносный пласт, простирающийся вниз до бесконечности, имеет естественный напор Нс (отсчитываемый от его кровли) и коэффициент фильтрации й. Сверху он ограничен слабо проницаемым слоем пород мощности Т с коэффициентом фильтрации йь Над этим слоем залегает хорошо проницаемый артезианский пласт с естественным постоянным напором Н1 или слой воды глубины Н~— — Ть В некоторой точке М (г = ги) нижнего пласта помещен точечный сток (рис.
239). Изобару его, близкую к окружности, можно принять за контур дрены (Веригин !949, 1). Считая фильтрацию в слабо проницаемом слое происходящей по вертикали, примем, что вертикальная составляющая скорости фильтрации на кровле нижнего водоносного пласта 'уд та гг Рис. 239. определяется непосредственно по формуле закона Дарси (см. также ниже $8): (7.1) где Ь, = й~(х) — напор на кровле водоносного пласта. Составим функцию рт=ф — ф(н, + — ",). (7.2) Если найдем (й' = г"(г), то после интегрирования получим ы — и-аа ~ еаа [Р(г) — аа] с(а+ Се (7.3) где 1Ф, а ат' иветт, 6= —— т Нетрудно видеть, что в случае одного стока, помещенного в точке г = аа, имеем (Π— постоянная) 2я ( и — иа и — ао) (7.4) В случае бесконечного ряда стоков, отстоящих от точки г ге на расстояниях 2л1 (и = -ь1, -~2, ...), зы колодцы и сквхжины.
гояизонтлльныв д~ еиы 1гл. ~х вывод р лвнвнии звт В самом деле, так как при г =х имеем в обоих случаях 1гп г" (г) = О, то поэтому условие (7.1) оказывается выполненным. Обычно принятые условия на бесконечности также выполняются. Постоянные С и Р определяются из условий ~Р = — АНр при х = оо, фл — фа — — Я. Для определения расхода дрены Я служит условие /г = 0 р в верхней точке дрены (при г = гр + 81, где 8 — радиус дрены).
В. ДВИЖЕНИЕ В ПЛАСТАХ, ГРАНИЧАЩИХ СО СЛАБО ПРОНИЦАЕМЫМИ ПЛАСТАМИ 9 8. Вывод уравнений. Напорное движение грунтовых вод к совершенным, т. е. проходящим через весь пласт, колодцам выше рассматривалось как плоское движение, а скважины интерпретировались с помощью источников и стоков. Однако в действительности абсолютно непроницаемых «водоупорных» пластов нет. Обычно хорошо проницаемые пласты перемежаются со слабо проницаемыми. Отношение коэффициентов фильтрации двух соседних слоев может быть порядка 10-'— 1О-", и все же слабо проницаемый грунт может оказывать влияние на общую картину фильтрации, если она происходит на большой площади.
Теория движения в таких пластах с пере- токами развита А. Н. Мятиевым (1946 — 1948) и Н. К. Гиринским (!947). Предположим, что горизонтальные слои хорошо проницаемых грунтов перемежаются со слабо проницаемыми грунтами. Пусть п-й водопроницаемый слой имеет мощность (толщину) г(„ и коэффициент фильтрации й„нижележащий слой плохо проницаемого грунта — толщину Ь„и коэффициент фильтрации х„, вышележащий плохо проницаемый слой — толщину 8„~ и коэффициент фильтрации х„, (считаем величины х»/Й» и х» — 1/Й» малыми). Каждая линия тока, переходящая нз слоя г(„в нижележащий, будег преломляться, причем, как было указано в э 3 главы П, если линия тока образует с нормалью к границе двух грунтов углы а и р, то (8.1) 1ка Ф„' Для любого значения а, отличного от и/2, получаем вследствие предположенной малости отношения х„: й, что угол р будет малым, и, следовательно, после преломления линии тока в слабо проницаемом грунте будут близки к вертикальным прямым, Этим замечанием мы воспользуемся ниже.
Обозначим через и, о, го проекции на оси х, у, г скорости фильтрации в какой-нибудь точке М(х, у, г) хорошо проницаемого пласта толщины Т и примем для простоты начало координат лежащим на основании этого пласта. Считая жидкость несжимаемой, т. е. плотность ее постоянной, будем иметь уравнение неразрывности — + — + — = О. ди до дм дх ду дх (8.2) Предположим, что горизонтальные скорости мало меняются с высотой, и введем в рассмотрение средние по высоте значения этих скоростей ([ и У, полагая ([ (х, у) = — и[ и (х, у, г) г[г, У (х, у) = — ~ о (х, у, г)[(г.
1 Г 1 Проинтегрируем уравнение (8.2) по г (как это делают иногда в динамической метеорологии, принимая за Т толщину слоя атмосферы). Примем во внимание равенства ди д Г дУ х ~[г дх ~и[[а Т х ди дУ вЂ” г[г=Т вЂ”, ду ду о а также то, что интегрирование третьего члена уравнения (8.2) дает г дэ [[г [ох — го[ дх В о где го[ — значение вертикальной скорости на нижней, гоэ — на верхней границе пласта. Теперь уравнение неразрывности примет вид Т( + — )+шэ го[ О. д0 др (8.3) Пусть напорная функция неосредненного движения будет л(х, у, г), так что и= — й —, о= — й —, в= — й —. да дй дй дх ' ду ' дх ' Применив осреднение к горизонтальным составляющим скорости и и о, мы тем самым осредним и напорную функцию 358 КОЛОДЦЫ И СКВАЖИНЫ. [ОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ДРЕНЫ [ГЛ.
[Х вывод увавнвнип з в! й(х,у,г). Будем обозначать осредненное значение этой функции через Н(х, у): Ф ~й( и )(х. 1 о Тогда можно написать (7 = — й дН(дх и У = — А дН/ду. Применяя эти равенства к и-му проницаемому пласту, получим дНп дНл (8.4) При Н„+1 ) Н, получаем и, ) О и наоборот. Подставляя выражения (8.4) и (8.5) в уравнение (8,3), получим (ۄ— мощность и-го пласта) К д'Нп доил Х Нп — Нп-ь Нпл-~ — Нл и-1 ~л (8.6) Введем следующие обозначения: нл ил- ~ — +— ал ал-1 дплп (8.7) хп нл Нп,— +Н„+,— ел-, дл (8.8) — + лл-~ дл-~ Тогда уравнение (8.6) перепишется в виде —." + —" — о„(̈́— Н„) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
