П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Таким образом, функция Ф (х, у) представляет обобщение функции — ййеГ2 на случай грунта, неоднородного по вертикали. П р и м е р. В качестве примера непрерывного изменения й(г) с высотой возьмем случай линейной зависимости й(г)= = йе(1+ Ьг). Подстановка этого выражения в (4.3) и интегрирование дают для движения в плоскости х, г А,а' А,ьа' Ф(х) = — — — —.
2 6 Считая расход д постоянным для всех х и полагая Г(Ф/с(х= д, после интегрирования получим Ф=ох+С, где С вЂ” произвольная постоянная. В силу (4.6) будем иметь уравнение параболы третьей степени йО» й0 аз — — — 6 =ух+С 6 Э (4.7) нли й + — ойз= — — чх+Си 1 2д з (4.8) Здесь дп/дх можно вынести за знак интеграла, так как й согласно рассматриваемой гидравлической теории не зависит от г (см. 5 1), Точно так же определяется расход ду через плошадку высоты й с основанием, равным единице, перйендикулярную к оси у: ау = — — 1 й (г) дг. де ~ (4.2) о Н.
К. Гиринский (1946) ввел функцию, которую теперь называют потенциалом Гиринскоео: л Ф (х, у) = $ (г — Ь) й (г) дг. (4.3) 0 З ЗО ДВУСЛОЙНЫЙ ГРУНТ С НАКЛОННОЙ ЛИНИЕЙ РАЗДЕЛА ззэ Задание двух точек (хь Ь,) и (хм 'оз) свободной поверхности дает нам .('- 4 + +з(К+"о+ Э1 2 (хо — х,) Если Ь ) О, то коэффициент фильтрации возрастает с высотой, а абсолютное значение д больше, чем при Ь=О; если Ь ~ О, то й убывает с высотой, и д по абсолютной величине меньше, чем при Ь = О. Рис. 253. Рис. 252.
Исследование формы свободной поверхности (можно принять С1 = 0) показывает, что при Ь ) 0 получается кривая (рис. 252), лежащая ниже параболы Ь = — — х. 24 Ао При Ь ( 0 в качестве возможной формы свободной поверхности получается лишь участок кривой, на котором Ь меняется от нуля до Ь, = — 1/Ь, а х — от нуля до х, = — И(54Ь'), т. е.
участок от точки перегиба до нижней вершины параболы. Этому участку отвечает изменение коэффициента фильтрации от йо до нуля (рис. 253). $ 5. Фильтрация в двуслойном грунте с наклонной линией раздела. Рассмотрим двуслойный массив грунта, расположенный на горизонтальном водоупоре. Пусть прямолинейная граница раздела грунтов наклонена под не слишком большим углом а к горизонту и уравнение ее имеет вид у=(х,где(=(п со (рис.254).
Верхний грунт имеет коэффициент фильтрации л, а нижний — йо Полуось у = 0 (х ) 0) является при этом границей водоупора, и движение рассматривается только в области х ) О. Вудем считать, что градиент напора постоянен вдоль каждой вертикали, и вычислим фильтрационный расход д, протекающий через вертикальное сечение АВС с глубиной Ь (рис. 254).
З99 ГИДРАВЛИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИИ ~ГЛ. Х Вычисляя расход по отдельности через отрезки АВ=(х и ВС= = й — (х, получим НА . ЕА д = — Йс(Х вЂ” — й (й — ГХ) †. сх сх ' При этом д ) 0 для течений, направленных вправо, и д < 0 для течений, направленных влево. Поскольку фильтрационный расход потока грунтовых вод д постоянен, перепишем полученное у уравнение так: С вЂ” — х+ — 6=0. (БА) дх (А Ао) Г дь д ч Это линейное уравнение первого порядка.
Общий его инте- О 3 грал имеет вид е й — !х+ Н = Сем", (5.2) Ояе '=('- '~:)' "= й Ркс. 254. Интегральные кривые имеют асимптоту Ь = (х — Н. Произвольная постоянная С может быть определена, например, из условия прохождения интегральной кривой (депрессионной линии) через некоторую заданную точку (хь Ь~).
Для Ф~Г Рис. 255. определения отношения д/Ф (или величины Н) следует задать Еще одну точку (хь йе) на депрессионной линии. $6! СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПОРНЫМИ И ВВЗНАПОРКЫМИ ДВИЖЕНИЯМИ 391 Решения (5.2) имеют смысл лишь прн х ) О и й ) 1х, т. е. в области верхнего грунта.
На рис. 255 представлены четыре возможных случая расположения депрессионных линий в зависимости от знака величин Ь вЂ” Йе и а. Пунктиром на рисунке указаны не отвечающие реальным движениям ветви решений (5.2). По поводу последнего случая (Ь(йм д)0) заметим, что если отношение Йв/Й велико, то асимптота будет близка к вертикали и депрессионная линия может оказаться сильно изогнутой, тогда излагаемая гидравлическая теория неприменима.
При Ье — — 0 рассматриваемые течения обращаются в течения в однородном грунте по наклонному водоупору. Асимптоты при этом параллельны водоупору и из четырех указанных на рис. 255 случаев остаются только два различных. Эти течения были рассмотрены Ж. Дюпюи (Рпрц(1 1868) и подробно исследованы позже Н. Н. Павловским (1930). В частности, при 1 = 0 из уравнения (5.1) получим параболу Дюпюи. В. БЕЗНАПОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И ПОЛУНАПОРИЫВ ДВИЖЕНИЯ 2 6.
Связь между пространственными безнапорными и плоскими напорными движениями. В 9 1 было выяснено, что задача о пространственном движении грунтовых вод при условии слабой изменяемости свободной поверхности при наличии горизонтального водоупора приводится к уравнению Лапласадля функции Ьз(х, у). При этом И(х,у) есть осредненный по высоте напор и вместе с тем ордината точки свободной поверхности. С другой стороны, в плоском напорном движении, в пласте, ограниченном двумя горизонтальными плоскостями, напорная функция, которую мы обозначим через Ик(х,у), удовлетворяет уравнению Лапласа Лй, О. Если граничные условия для двух задач одинаковы, то между Йз и И должна существовать линейная зависимость.
В дальнейшем удобно использовать введенное Н. Н. Павловским понятие о приведенном напоре И, = Ь|Н, т. е. напоре, деленном на действующий напор О. Прн этом Павловский принимал, что й„= 1 вдоль границы верхнего бьефа и й„= 0 вдоль границы нижнего бьефа. Допустим, что действительный напор И вдоль верхнего бьефа равен Иь вдоль нижнего — йв Тогда зависимость между Ь и й, можно выразить с помощью уравнения Л вЂ” Лз Ле (6.1) Л| — Л 1 В более общем случае, когда задано соответствие между напоРами И и И, в двух произвольных точках, причем значению й= 399 ГИДРАВЛИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ )ГЛ.
Х = Й, СООтВЕтСтВУЕт Й„= Йгь а ЗНаЧЕНИЮ Й = 62 ОтВЕЧаЕт Й„= = Йнь будем иметь 62 42 Аг2 (6.2) Теперь приведем в соответствие два движения — безнапорное и напорное. Тогда в левой части уравнения (6.2) нужно заменить Й, Й~ и 62 соответственно на 62, Ь", и Ь„ и мы получим соотношение Форхгеймера (Форхгеймер 1935; см. также, например, Аравии 1947) АŠ— Ь' 6 — 6 2 г г2 (6.3) а — а А — а ! 2 г! г2 В качестве примера рассмотрим приток к котловану, круглому в плане.
Такой котлован есть не что иное, как скважина большого радиуса. Обозначим этот радиус через гн а соответствующее значение Й через Йь Пусть при г = г2 напор Й = 62. Соответствующее напорное движение определяется функцией Й, вида Й, А!пг+ В. (6.4) Пусть при г = г1 имеем Й„= Й„ь при г = г2 Й, 6,2, где Ь,1 и й„2 — произвольные числа. Из (6.2) с помощью (6.4) получим Тогда (6.3) дает 2 2+( 2 62) 2В(г7гг) !и (г,/г2) ' Отсюда с помощью равенства ЛА ~ 1;) 2пг2626 — ~ Ыг ~, где г2 — радиус скважины, получаем формулу Дюпюи для дебита скважины АГ (см.
также 5 9 главы ЧП): ЙА (62 — 62) о!и— Г2 г~ $7. Напорно-безнапорные движения. В 5 10 главы П упоминалось о существовании таких движений, для которых область движения распадается на ряд областей с безнапорным и напорным движениями (Аравии и Нумеров 1948). Так, может случиться, что напорный поток под флютбетом отрывается и дальнейшее движение происходит с образованием свободной поверхности С7) (рнс. 266). В области 1 имеем на- НАПОРНО.БЕЗНАПОРНЫЕ ДБИЖЕНИЯ 393 порное движение, в области 2 — безнапорное. На границе между ними, которую можно принять за линию равного напора, Ь = Ь (напор пограничного сечения). В данном случае Ь = Т. Рис.
256. Для области 1 применима формула (6.2), которую можно переписать, принимая во внимание, что Ь, = Т, Ь, = Н, + Т, И,з*= = Ь„, и Ь„1 — — 1, следуюшим образом: А — т А,— а,„ (7. 1) Через Ь обозначен неизвестный пока приведенный напор на границе раздела. Для области 2 нужно воспользоваться формулой (6.3), которая дает, если учесть, что теперь Ь1 Т, Ьз = Нм Ь ~ = Ь„„и Ьа = О: аз — НЗЯ А„ (7.2) гга Для определения неизвестного напора пограничного сечения Ь, можно воспользоваться условием равенства расходов через зто сечение в областях 1 и 2.
В качестве примера рассмотрим подробнее случай, изображенный на рис. 256. Грунтовый поток, обтекая флютбет, отрывается от него в точке С, образуя свободную поверхность С11 и впадая дальше в реку или дрену. Разбивая течение на две части, применяем к левой части формулу для расхода при обтекании плоского флютбета ширины 21 (см. $ 7 главы 1Н): 'ч К ( ' 27)' Для правого участка вычисляем расход по формуле Дюпюи: т' — и,' а=Ь- ( —,1'.
Сравнение этих формул позволяет найти положение точки от- рыва потока, т. е. отрезок 1. 394 ГИЛРЛВЛИЧВСКЛЯ ТГОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖГНИИ (ГЛ. Х 9 8. Фильтрация в обход сооружений. Рассмотрим движение грунтовых вод в берегах реки, вызванное разностью уровней воды в верхнем и нижнем бьефах плотины, снабженной противофильтрационной завесой. Завеса представляет собой вертикальную стенку, расположенную вдоль берега нлн врезанную в берег, предназначенную для уменьшения фильтрации из водохранилища (верхнего бьефа) в нижний бьеф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
