П.Я. Полубаринова-Кочина - Теория движения грунтовых вод (1132345), страница 82
Текст из файла (страница 82)
А. Галина — верхней линией рис. 309. Заметим, что методика, изложенная в $1, была применена н к другим задачам. Группа задач была рассмотрена Н. К. Калининым, в том числе задачи о неустановившейся фильтрации в случае дрены в водопроницаемом слое бесконечной (Калинин и Полубаринова-Кочина 1947) и конечной глубины (Калинин 1948). Решение строилось в виде рядов по степеням времени й Задачам, которые рассматриваются с помощью формул $ 1, предшествовали задачи о стягивании контура нефтеносности (у нас простейшая из таких задач указана в 6 6). В них течение рассматривается в горизонтальной плоскости, следовательно, без учета силы тяжести, когда формулы немного проще, чем в $1. Для такого рода задач доказано, что их решение в виде рядов по степеням ! сходится, но радиус сходимости не определен.
На практике удается определить коэффициенты разложения по степеням ! лишь для небольшого числа членов ряда, так как с каждым следующим членом их вид усложняется. Отметим, что Г. Даган рассматривал также пространственные задачи растекания грунтовых вод (1)арап 1964, 1967). При этом он применял метод разложения решения по степеням малого параметра.
3 3. Те же задачи при линеаризоваином условии. Отбросив в уравнении (1.10) члены (дф/дх)з, (дф/ду)', получим линейное условие на депрессионной кривой -Д-+с+=0 (с= — ). (3.1) Считая свободную поверхность слабо изогнутой, перенесем граничное условие на ось абсцисс. При этом уравнение свободной поверхности будем определять из условия (1.4); переписав его в виде у = — ф(х, у,/)/й и полагая в правой части у = О, окончательно примем уравнение свободной поверхности в форме ф(х, О, 11 у =— А (3.2) Сделанные допущения соответствуют тем, которые принимаются в гидродинамической теории длинных волн.
Рассмотрим задачу: грунтовые воды занимают нижнюю полу- плоскость у (О. В начальный момент времени линия свободной поверхности имеет форму кривой, заданной уравнением (3.3) эм ТЕ ЖЕ ЗАДАЧИ ПРИ ЛИИЕАРИЗОВАННОМ УСЛОВИИ 555 ГИДРОДИНЛЛ1ИЧЕСКЛЯ ТГОРИЯ (гл, хчп Сопоставляя (3.2) и (3.3), найдем граничное значение для <р(х, у, !) прп ) =О: ~р (х, О, О) = — й ! (х).
(3.4) Зная значение гармонической функции на действительной оси и задавшись условием, что ~р обращается в нуль на бесконечности, можно построить начальное значение функции га = у+ !ф с помощью интеграла (см. Кочина 195!): га(х, О) = —, Г !(!)дй (3.5) Теперь сделаем замечание по поводу равенства (3.!). Так как функция ~р является гармонической, то такова же будет в нижней полуплоскости и функция Ф(х У !) дг +с д де де Из условия, что Ф(х, у, !) = О на оси х и Ф(х, у, !) ограничена на бесконечности, вытекает, что Ф(х, у, !) равна нулю на всей полуплоскости, т.е. уравнение (3.1) имеет место для всей полу- плоскости. Отсюда следует, что ~р(х,у,!) зависит от линейной комбинации у и 1: <р(х, у, !) = ~р(х,у — с!). Это же относится и к комплексному потенциалу.
Поэтому для нахождения ге(г,() достаточно в полученном выражении для ы(г) заменить г = х+ (у на х+ ((у — сг): га(х, р, !) =<р+ (ф= — „, 1, „)(' ) . (3.6) Г 1(й) д! Отделив действительную часть, найдем Ч~(х,у, !). Положив в полученном выражении у = О, по формуле (3.2) найдем уравнение свободной поверхности: 1 ( с)!($)нй и ($-х) +с! Эти же результаты можно получить другим путем, дающим сразу наглядную геометрическую картину движения (Кочина, !95!).
Сначала рассмотрим случай, когда начальное возмущение сосредоточено в бесконечно малой окрестности точки х = О, у = О. Пусть 5 будет величиной площади, заключенной между профилем начального возмущения свободной поверхности и осью х. ЗЗ) тг. жа задачи пвп липа»сизов»пном условии 557 По примеру Н. Е. Кочина (1935), применившего принцип размерности к одной задаче теории волн, составим безразмерное выражение ф(о, у,1) у 5 с которое является функцией от единственной безразмерной переменной и = с1/у.
Условие (3.!) должно, как сказано выше, удовлетворяться не только на границе, но и во всей области движения. Функция ф(О, у, 1) также удовлетворяет уравнению (3.1). Подставляя выражение ср(0, у, г)= — (/(и) в уравнение (3.1), получим уравнение (/'(1 — и) = (/, общее решение которого имеет вид (А — произвольная постоянная) А Ау (/= — = —.
1 — и у — сс' Следовательно, для ф(О, у, /) получаем выражение (О /) с5А Заменив в нем у на у — (х, получим комплексный потенциал а(г,1) рассматриваемого неустаиовившегося движения: а(г, 1) = ф(х, у, /) + / ф (х, у, 1) = Отделив в нем действительную часть от мнимой, найдем Ас5 (у — с() Ас5х (у — сба+»' ' т (у — сср+»' ' Чтобы получить уравнение свободной поверхности, нужно в выражении для ф (х, у, 1) положить у = О.
Получим Асгхс (с (ссср + »2) Определим произвольную постоянную А так, чтобы площадь, ограниченная осью абсцисс и линией свободной поверхности, равнялась 5: А = й/(сп). Следовательно, аг 1)= М5 »5 (у — с1) и(г — (сС) ' ф и[(у — с()'+х'! ' Уравнение свободной поверхности окончательно запишется так; и (х' -1- с'с') !гл хчи ГИЛРОДИИАМИЧГСКАЯ ТЕОРИЯ зва (' Н прц !х((17, 1 0 при !х)>!с, (3.9) Как видно из выражения для комплексного потенциала, при этом имеет место течение с диполем в точке х = 1с1. В начальный момент времени диполь находится в начале координат, затем он перемещается вверх по оси ординат со скоростью с = й/т.
Таким образом, для моментов времени, близких к начальному, диполь попадает в область движения. Найдем момент времени, когда диполь окажется в вершине свободной поверхности. Для этого нужно максимальную ординату свободной поверхности 5/(пс1) приравнять величине с1. Получим /л с А/и Для 1) 1> область движения уже не будет содержать особенностей. Если принять за начальный момент времени значение 1с ) 1>, то получим движение без особенностей с начальной формой свободной поверхности сЗсо п(х + с С~~) Мгновенные линии тока в рассматриваемом течении суть окружности (рис.
3!0), проходящие через точку х = О, у = с1 и касак>щиеся оси ординат, мгнос1 венные линии равного потенциала — ортогональные к ним окружности. В общем случае, когда начальная форма свободной поверхности задана уравнением у = = /(х), решение задачи, т. е. значение потенциала скорости, Рис. 3!ц получим, заменив в выражениях (3.8) 5 ца Я)с$, х на х — ~ и проинтегрировав по е в пределах от — ОО до ОО. В результате получим те же выражения (3.6) и (3.7). Если сделать в (3.7) подстановку с — х = с1(па, то получим другое выражение для у(х,1): ил у (х, 1) = — ~ / (х + с1 ! и а) с(а.
(3.7') — и>2 Из него видно, что у(х, О) =/(х) при 1=0. Рассмотрим в качестве примера случай прямоугольного в начальный момент времени бугра, когда начальная форма свободной поверхности задается уравнениями % З! ТЕ ЖЕ ЗАДАЧИ ПРИ ЛИНЕАРИЗОВАИИОМ УСЛОВИИ 559 Форма свободной поверхности в последующие моменты времени определится уравнением Н/ х+й х — Я ! у = — (агс1д — — агс1и — ) . и с! сг (3.10) Комплексный потенциал течения сэ(г, 1)= „!и (3.10') представляет плоскопараллельное течение с парой вихрей в точках (~ )с, с(). Эти точечные вихри перемещаются вверх параллельно оси ординат со скоростью с = Цт (рис.
3!1). В пачаль. ный момент времени особые точки (~)х, 0) находятся на свободной поверхности. Они сходят с нее в момент времени гь определяемый урав- © пением Н 2Я вЂ” агс1п — = с!и и сй Если рассматривать уравнение свободной поверхности Рис. 3!!. в момент времени ! ) 1ь то особые точки течения будут уже находиться вне области, занятой движущейся жидкостью. Мгновенные линии тока здесь — аполлониевы окружности, мгновенные линии равного потенциала — ортогональные к ним окружности.
Поостранственные задачи можно рассматривать аналогичным образом (Кочина 1953). Вместо условий (1.4) и (1.!0) теперь на свободной поверхности будут иметь место условия (ось г направлена вверх по вертикали) сс+ йг=О Будем считать эти условия выполненными на плоскости г = О. Пренебрегая квадратичными членами, получим при г = 0 (3.! 1) свободной Отсюда следует, что у = у(х, у, г — с1) и уравнение поверхности будет я(х, у, — сО (3.!2) !гл хги ГИГ1РОДИИЛМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 560 Пусть на свободной поверхности задано условие ф(х, у, 0) = = — й)(х,у). Решив задачу Дирихле для нижнего полупространства, найдем 60 ( ()= 'ч 1, . (3.13) 2 Э !(х — Е)г+ (у Ч)г+(г — с))г)'6 ' В качестве примера рассмотрим случай бугра, имеющего начальную форму в виде параллелепипеда, причем ) (х, у) = Н внутри прямоугольника (х)()г, )у)()сг и )(х, у) = 0 вне его.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
