Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Л., пь 135, 1932, перев. е сборнике «Проблемы турбулентности, ОНТИ, 1936. 9 5) полтэипивичвскив таоеин тттвтлвнт>гости 469 потоке 470 (гл. хп туРБулентнОе движение д» м ду ' (5.21) Для прямолинейного осредненного течения вихрь б> дет представляться в виде ыи 2 г1у' Следовательно, пульсация напряжения вихря в рассматриваемом случае будет; г' (5.22) Возьмем теперь уравнение плоского движения в проекции на ось х без Учата вязкости ди д ГР из+- Ре ) Полагая в этом уравнении и =(1+и', н ==' О .
ы =. го+ ы, проведем осреднение и примем скорость осредненного течения не зависящей от времени, а среднее значение квадрата скорости не зависящим от х. При этих предполонгениях получим: — 1 дгг — 2м'о' = — —— р дх Подставляя значение пульсации вихря из ~5.22) и сохраняя знак осреднения над произведением 1н', получим слелующее окончательное урав- По этой причине им было обращено основное внимание не на перенос количества лвижения, а на перенос завихренности, на изменении которой не сказываются местные перепалы давления, так как при веучете влияния вязкости взвихренность неотлелима от частицы, т. е.
ка>ггдая частица сохраняет свою завнхренность при движении. Дальнейшие рассуждения в теории Тэйлора схолны с рассуждениями в теории Прандтля. Масса жидкости, переходя из одного горизонтального слоя (у) в другой (у+1) благодаря пульсанионному движению переносит с собой вихрь. Перемешиваиие завихренности может произойти тогда, когда величина поперечного смещения будет превышать длину пути перемешивания 1.
При этом принимается, что пульсация напряжения вихря пропорциональна разности взвихренности осреднзнного течения в рассматриваемых слоях, т, е. 9 б) полуэмпиеичвскив твогии тугвулвнтности 471 пение в теории турбулентности Тэйлора: др †, д'и дх т1уе ' 43.23) т) Тв, туоп Кйг ш й и, Наскг1ск1еп б.
Осз б, Ъшшеп. хо Оон1пяеп, 1930, русский перев, в сборнике сйроблекы турбулевтностик ОНТИ, 193б, Сравнивая уравнения (3.20) и (5.23), мы видим, что эти уравнения различны в своих правых частях. Правые части этих уравнений будут совпадать только тогда, когда срелнее значение произведения пути перемешиванкя на поперечную составляющую вектора скорости пульсации не булет зависеть от расстоянияу. В своей статье Тэйлор указывает на то, что различие >казанных теорий должно обнаруживаться при сравнении распределения скоростей осреднвнного течения и температуры позади нагретого цилиндрического тела.
По теории Прандтля распределение скоростей н температур лолжно быть одинаковым, а по теории Тэйлора распределение скоростей не должно совпалать с распрелелением температур. Приведенные в работе экспериментальные данные подтверждают это различие распределения скоростей и температур в потоке позади нагретого тела.
Однако при обтекании плоской нагретой пластинки распределение температур совпалает с распределением скоростей. В заключение Тэйлор указывает на то, что теория турбулентности на основе переноса вихрей согласуется с теорией турбулентности на основе переноса количества движения для того случая, когда поле скоростей пульсаций является плоским и перпендику.лярным к вектору скорости осредненнаго течения гсоставляющая, параллеаьная скорости основного потока, отсутствует). Таной именно случай булет иметь место для течения вблизи неподвижных стенок, Если же осреднйниое течение и пульсационное движение будут происходить в одной и той же плоскости, то обе теории будут приводить к разным результатам.
Общим в рассмотренных двух теориях турбулентности является то, что в исходных рассуждениях прослеживается лвнжение фиксированной частицы до ее перемешивания с другими, т. е. используется подход к движению жилкости с точки зрения Лагранжа. В теории турбулентности, предложенной Карманом' ), с начала ло конца используется подход к изучению движения жидкости с точки зрения Эйлера, т. е.
с точки зрения рассмотрения полей скоростей и лавлеиия. Область, занятая жидкостью в турбулентном движения, рассматривается, с одной стороны, как единое поле скоростей осреднбнного движения жидкости, а, с другой стороны, как множество полей пульсационного движения жидкости в окрестности каждой геометрической точки. Затем принимаются следующие две гипотезы: 1) структура полей пульсаций и его масштабы не зависят от вязкости, за 472 1гл. Ен тувзулентное дВижение ,ы ии ау яу Поскольку размерность первой производной есть то в качестве масштаба времени для поля пульсаций можно выбрать величину, пропорциональную обратному значению первой производной по у от средней скорости, т. е. 1 Т вЂ” —.
сг ьГ Йу 15.24) В таком случае на основании размерностей скоростей пульсациИ и и о' н высказанной выше гипотезы подобия полей пульсаций можно положить: нег и' — —. — ! —, ? ф' аи о' .— 1 —. Т ЛУ' (5. 25) Таким образом, выбором масштаба времени в виде (5.24) гипотеза о ~годобии полей пульсаций приводит к тем же результатам, к которым приводит теория Прандтля о пути перемешивания, В то же время гипотеза о подобии позволяет получить и совершенно новый результат, непосредственна не получающийся иа теории пути перемешивания.
Дело в том, что предположение о зависимости поля пульсаций только от первых двух пронзволных позволяет вполне определанным образом выбрать масштаб расстояний для поля пульсаций. Отношение первой производной ко второй имеет размерность длины, а поэтому в качестве масштаба линейных размеров пульсаций может исключением тех полей, которые относятся к точкам, расположенным вблизи стенок; 2) по своей структуре все поля пульсаций полобны между собой и отличаются только масштабами времени и расстояний. С качественной стороны указанные гипотезы имеют общий характер, однако количественное претворение эти гипотезы пока получили лишь для частного случая прямолияейного осреднанного течения при выполнении предпосылок (5.1), (5.2), 15.3) и <5.4), т.
е. для того случая, когда все паля пульсаций являются плоско-параллельными. Кроме того, при выполнении вычислительных операций делается предположение, что масштабы времени и расстояний в кажлом поле пульсации могут быть поставлены в зависимость только от первых двух производных скорости осреднанного течения по координате у, т. е, й 5) ПОЛУЗМПИРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 473 быть выбрана величина, пропорциональная отношению первой производной ко второй производной от скорости осрелнвниого течения по координате у, т.
е. Систему координат х и у выберем подан>ямой с пачзлом в какой- либо точке, переносимой со скоростью осредненного течения и(0) в данной точке. Относительная скорость осредненного течения в окрестности подвижного начала координат может быть тогда представлена в аиде ряда Тзйлора и — и (0) = и',у+ —,' и".уз+... (5.28) Тогда функция тока результирующего движения жидкости в окрест- ности нзчала равна р = —,' и,'у" + —,' и",уа+... +,(, у), где ф(х, у) --функция тока поля пульсаций в окрестности начала по- движной системы коорлинат.
Подставляя выра>кение (5.29) в уравне- ние (5.27) и ограничиваясь только множителями, содержащими ко- ординату у в первой степени, получим уравнение для функции тока поля пульсаций ( ' — ) — — ' — '== и',у+ — ) — ' — — и', — =-0, дйт дар дф ~ дй ддф ду) дх дх дх ду (5.30) Перейлзм теперь к безразмерным величинам, полагая П (5.29) (5.31) у = (ть ф = А7'(.", «). 1 ди (=я —, ду лаи (5.26) 4у' где я — числовой козффициеит, определяемый из условия согласова- ния результатов расчета с результатами опытов. Таким образом, теория Кармана позволяет определять длину пути перемешивания, входящую в теорию Прандтля, через дифференциальные характери- стики осреднвнного течения, а не задавать его в виде функции от расстояния от стенки, Основные результаты (5.2о) и (5.26) теории турбулентности Кар- мана были получены выше только с помощью анализа размерностей и гипотезы о подобии полей пульсаций.
Самим же Карманом зти результаты были получены с помощью уравнений движения жидкости без учета вязкости, представленных через функцию тона: двуд Ьж дФ'а'%' 0 (5.2?) ду дх дх ду 474 [гл, хп тугеулентное дВижение В безразмерных величинах уравнение (5.30) представится в виде ' А даУ ° А ду, АэгдудДУ дУдДУ'4 и дго ! дд ! ~дч д; да дч ) = (5. 32) ЕА Аэ (у г4 Отсюда получаем: ото ! и",' (5.33) Так как проекции вектора скорости пульсаций представляются в виде ду ! дч ' дф А дУ дх ! да то эти проекции должны быть пропорциональны первой производной и величине характерного линейного масштаба пульсации, т. е. (5.34) Приведенные соотношения пропорциональности позволяют считать касательное пульсационное напрюкение пропорциональным произведению квадрата линейного масштаба поля пульсации на квадрат первой производной от скорости осреднанного течения, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
