Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 75
Текст из файла (страница 75)
(2.38) дх ду дг дт 2 дха ,Тля центра объема осреднения должны выполняться равенства ~ Ц х'г)х'ду'дл' =О, Щу дх ду'наг=О. (2.39) Г' д( = О. ~ г'дх'дуг дат = О, ьг Таким образоль в атом случае разность скоростей истинного движения в двух рассматриваемых точках четырехмерного пространства не будет равна азностн скоростей пульсациоииых движений в окрестности зтих точек.
множая абе части равенства (2.34) на злеллентарный объем четырехмерного пространства дг'дх'ду'дг' и проводя интегрирование по четырехллерному объбму с центром в точке х, у, г и г, получим: ф г! 449 мптод оствднкния Если провести осреднепне равенства (2 37) в смысде (225) я учесть (2.27), (2.38), (2.39), то получим; Т ж„р„т 1+ дз(у Т Юи Т дуз ) дла д 1д,~дзи ~" ~ ьг -1- ) дг» ~ ~ ~ У»(л+х»,у+у',л+л»,1+1',0:,0,0,0)дл»ду»да» О. (240) дУ д(г ду' — = — +— дх дл дл ' (2.42) Левые части равенств (2.41) и (2.42) представляют одну и ту же вели.
чипу, Различие же правых частей снова указывает на различие величин Скоростеи пульсаций а зависимости от того, считается ли осреднбнноедпижение в ираде»йх фиксированного обьбма осреднения одмим и тем же или оно выбирается для каждой точки зтого объбма особо. Только при использовании скользящего объема осреднеиия производная по какой-либо координате или времени от той или иной характеристики потока может быть представлена в аиде суммы производных от осреднбниого и пульсационного значения атой характеристики. Иначе говоря, а зтам случае »южно производить разложение той или иной величины на осредиениую и пульсационную под знаком производной. Вопрос о возможности перестановок операций осреднеиия и дифференцирования может ставиться только тогда, когда предполагается, что не только сами величины, но н их произвол>гые также непрерывны. т) ке> по(ба О., РН(1.
Тгапз. о1 гйе коу. Вос., 1395; русский перевод в сборнике гПроблемы турбулентности», ОНТИ, 1936. На основании равенства (2,40) приходим к заключению, что осреднбнное по первому объему осреднения значение вектора скорости пульсаций ао второй точке может считаться равным нулю тогда, когда все производнме от вектора скорости осреднбнного движения, начиная со вторых, равны нулю. На зто обстоятельство и было обращено аниыание еще в основной работе О.
Рейнольдсаг), где перечислены те случаи осредненных движений, а которых осредибнйое значение вектора скорости пульсаций во второй ~очке внутри первого объема осреднения строго равна нулю. Допустим, что в отношении, например, координаты л векторы скорости истинного движения и пульсациоиного движения являются дяфференцируемымн функциямн. В этом случае можно обе части равенств (2.3!) и (2.34) разделить на приращение л' й перейти к пределу. Тогда получим даа выражения для первой производной от вектора скорости истинного движения в центре первого фикснроианного объема осреднения'. дУ дУ дУ» дх' дл дх' ' (2А1) (гл. хц туввклйнтнбк движпнпй При этих дополнительных предположениях можно выполнять дифференцирование по параметрам под знаками интегралов в равенствах (2.25), (2.27) и (2.36).
Только в этих случаях осреднанное значенне произяодной от динамической нлн кинематической характеристики потока равно нулю строго для центра объЕма осреднения н приближбнно длп другой точки в этом объеме, т. е. а дх~ ду' дяг О (2 43) дх ьс ш 1'„~( ~Г— (я+х У+У~ Я+Я~, Г+Гг~ О, О, О, О) ьт т (2.44) з Таким образом, результаты осреднения существенно зависят от того, как производится переход от одного фиксированного четырехмерного объбма осреднения к соседнему. Прн втором описанном выше переходе центры фиксированных объемов осреднення могут быть взяты как угодно близко друг от друга, но зато каждый новый объбм будет обязательно налагаться на предшествующий.
Первое обстоятетьство обеспечивает сглаживание функций, т. е. получение непрерывных полей осреднбнных величин. Второе же обстоятельство может сосдавать помехи к применению тех законов механики, которые относятся к взаимодействию фиксированных частиц среды. Наконец, следует сделать замечание ещп и относительно самих размеров фиксированных объемов осредневия. Если ме налагать никаких дополнительных требований, то размеры четырбхмерных объемов осреднення могут быть как угодно большимн и как угодно малыми. Если не исключать случаи конечных разрывов скоростей истинного движения среды в ряде точек фиксированного четырбхмерного объйма осреднения, то с помощью уменьшения размеров объема осреднения значение отношения модуля скорости пульсации в точке разрыва скоростей.к модулю скорости осредибнного движения можно несколько уменьшить, но при этом возрастут отношения модулей пульсаций к модулям сноростей осреднбнного движения в точках по соседству с точками разрыва скоростей истинного движвния среды, Таким образом, малость размеров объема осреднения ещб не предопределяет собой малость относительных величин пульсаций, если под последними подразумевать только разность истнннога значении соответственной характеристики потока и еб осреднеиного значения а рассматриваемой точке внутри фиксированного объбма осредиения.
Если четырбхмерные объемы осреднения выбирать не налагающимися друг на друга, то с помощью уменьшения размеров этого объема можно уменьшать отношение модуля разности значений осреднанных величии в центрах двух примыкающих друг к другу объемов осредиения к молулю однои из них. Благодаря этому обстоятельству, например, дискретное поле скоростей можно считать достаточно близким к непрерывному полю скоростей. Если же объбиы осреднения будут налагаться друг на друга, то непрерывность полн осреднйнных скоростей будет обеспечиватьсв независимо от размеров объема осреднения непрерывным сдвигом центра объбма, но при этом с увеличением размеров объбма осреднения могут, вообще говоря, увеличиваться модули максималь.
иых скоростей пульсаций и будут увеличиваться размеры тех областей по- мвтод осгяднвння 461 тока, примыкающих к его границам, в которых осреднеиие с помощью этого объема проводить нельзя. Во всех случаях по мере приближения к границам потока объемы есреднеиия должны уменьшаться для того, чтобы получать осреднеиные яеличнны для точен вблизи границы. Обратимся теперь к вопросу об осреднении с точки зрения возможностей эксперимента.
Во-первых, как бы малы ни были раамеры приамной части прибора, с помощью которого определяется скорость или давление, все равно прибор регистрирует осреднанное значение этой величины, причам осреднение этим прибором производится одновременно и по объйму и по времени. Во-вторых. каждому данному прибору присущ свой фиксированный объем осредиения, и его варьировать нельзя. Что же касается интервала времени осредиения, то его можно варьировать в сторону ббльших интервалов времени, превышающих время срабатывания одного измерения, Таким образом, здесь представляется возможность определять пульсацию измеряемой величины в виде разности показания одного измерения и вычисленного осреднзнного ва некоторый интервал времени значения.
Следовательно, в этом случае имеют место два осреднения: одно из них проводится самим прибором по объему и времени, з второе проводится эксперимеятатором по времени по отношению к показаниям прибора. При наличии двух приборов или двух приспособлений, позволяющих без особых помех измерять скорость в двух точках, достаточно близких друг от друга, можно составлять разности показаний приборов, отнесенных к одному и тому же моменту времени, Эти разности можно осреднять только по времени.
Если обозначить мгновенные показания прибора через У, и У, осреднбнные значения этих показаний †чер (т, и Из, а пульсации — через Уг и У,, то будем иметь: з (У,(х, у, г, г)= У,= — ~ У,(х, у, г, с+У)г)У, и з Уг(х, у, г, У+У) =(гг+ Уг(х, у, г, с+У), Уч — — О. Оя(х+х', у+у', «+г', () = Уз; Уэ(х+~, у+у', г+", с+У) = = 0 +У (х+х, у+у, г+г, г+г), Уя — У, == бэ(х+х', у+у', г+г', С) — (у,(х, у, г, г)+ + У,'(х+х', у+у', г+г', с+У) — у„'(х, у, г, (+У).
(2,45) 452 туввулвитиоа данжвниз '>гл. хи Если выполнить осреднение по времени обеих частей выражения (2.45) для разности мгновенных показаний и учесть предшествующие равенства, то получим: Ъя — '>г! = г>я(х+х', у+у', г+г', Г) — С>>(х, у, г, й). (2.46) ТакиМ образом, среднее значение риэкости измеренных скоростей в двух близких точках области. течения равно ризкости осреднеккых ло времени измеренных скоростей з этих лсе точках.
На основании того, что сказано вь>ше, можно придти к заключению, что определение пульсаций скорости Нли давления зо времени и проведение осреднения измернемых величин ло зрел>ени сравнительно просто могут быть осуществлены при экспериментировании, например, с помощью термоанемометра с некоторыми приспособлениями. Что же касается пульсаций скорости или давления в лрострпкстзе, то лля их определения надо измерить скорость или давление однонремгкко почти во всех точках внутри некоторого объема, что осуществить без искажения самого течения пока не представляется возмо>кным. В этом случае приходится довольствоваться одновременными намерениями в небольшом числе точек, на основании которых можно найти лишь приближщшое аначение осредкйккой ло обэйму измеренной величины. Составляя разность измеренной величины в какой-либо геометрической точке и вычисленного осреднвнного по объему значения этой величины, можно получить пульсацию рассматриваемой величины з прострикстзю То обстоятельство, что энспериментально проще проводить осреднение измеряемых величин по времени, служит некоторым основанием к тому, чтобы и в вычислениях ограничиваться только осреднением по времени.
Во всех последующих параграфах осреднение будет проводиться только по времени. $ 3. Дифференциальные уравнения осреднйнного движения жидкости Кзк уже было указано в 4 1, турбулентное лзижение жидкости характеризуется неупорядоченностью траекторий отдельных частиц, наличием пульсаций скоростей и давлений во времени и интенсивным обменом всеми качествами между соседними областями течения, Вса это соэлаат весьма большие трудности для теоретического изучения закономерностей турбулентного движения жидкости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
