Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 70
Текст из файла (страница 70)
102. г) 3 у и й е 1., Ргос. йоу, Бес. (А), 1.опбоп, г. 167, 19Ж На рис. 102 представлена кривая, отделаюшая область устойчивости кругового движения от области неустойчивости, подсчитанная а работе Тэйлора для случая, когда Ь = 3,55 сж н а = 4,035 сж, так что ()= а 1е — 11 = 1,292. По горизонтальной оси отложены значения — "', а по вер- Ь) тикальной — —. Есля внешний цилиндр находится в покое, а внутренний вращается или оба цилиндра аращаются з одну сторону, то появление неустойчивости характеризуется образованием ряда вихрей в плоскости меридионального сечения, заполняющих вса пространство между поверхностями цилиндров, прн этом направления вращений этих вихрей чередуются. Такое образование вихрей хорошо подтверждается экспериментально.
Окрашенная жидкость, первоначально распределенная 6 61 ов истойчивости лвижания взвешенной частицы ч27 в виде тонкого слоя по поверхности внутреннего цилиндра, впоследствии свзртывается в виде чередующихся колец, охватывающих центры вихрей. Если цилиндры вращаются в разные стороны, то неустойчивост>, кругового движения жидкости проявляется в образовании двух рядов вихрей, из которых один. имеющий большую интенсивность, располагается вблизи внутреннего цилиндра, а второй — с меньшей интенсивностью — вблизи внешнего.
В опытах окрашенная жидкость собиралась только вокруг вихрей с большей интенсивностью, а в области, примыкающей к внешнему цилиндру, вода оставалась прозрачноя. Места расположения центров вихрей, установленные на основании вычислений, очень хорошо подтверждены опытами; отклонения вычисленных значений критического числа Рейнольдса от соответственных опытных значений не превышают 2",' . В 6. Об устойчивости движения взвешенной частицы в ламинарном потоке Первые экспериментальные исследования Людвига и Гагена, послужившие оснояаниеи для постановки вопроса об устойчиности и неустойчивости ламинарного движения в цилиндрической трубке, были проведены с помощью наблюдений над движением примешанных к воде видимых частиц.
Такими частицами в опытах Гагена были опилки темного янтаря. В экспериментальных исследованиях Репнольдса наблюдения проводились за поведением тонкой окрашенной струйки, вводимой в поток прозрачной жидкости. Таким образом, при экспериментальных исследованиях производились лишь местные возмущения исследуемого ламинарного течении. а при теоретических исследованиях, рассмотренных в предылущих параграфах, возмущения накладывались на все течение в целом.
В этом и заключаются расхождения между подходами а теории и в экспериментах. Поэтому всякая попытка приблизить подход в теории по вопросу об устойчивости ламинарного течения жидкости к тому подходу, который использовался в ряде зкспериментоа, может представлять известный интерес. Рассмотрим движение частицы, авелэнноя каким-либо образом в поток вязкой жидкости. Чтобы составить дифференциальные уравнения движения такая частицы, необходимо учесть, по возможности, все основные силы воздействия на частицу со стороны окружающая жидкости, находящейся в движении. Будем эти силы относить к единице объема оассматриваемой частицы. К основным силам следует отнести, во-первых, силу веса эа вычетом статической силь> Архимеда Р = — К1р — р)у (6Л>) тле р,— плотность частицы, а у — единичный вектор вертикальной оси у.
Во-вторых, силу сопротивления, пропорциональную в первом гстойчизость ллмиилгных твчвний (гл. хг приближении разности скоростей частицы и местной скорости потока ), = — д,()г — и), (6.2) где )г — вектор скорости частицы. е/ — вектор местной скорости потока и Й вЂ” коэффициент сопротивлении, который для шаровой частицы ралиуса а будет равен й = — —. Я и 2 лз' (6.3) Помимо этих двух сил, необходимо учесть и боковую силу. Зело в том, что благодаря непрерывному распределению вихрей в ламмнарном потоке относительное обтекание потоком частицы будет всегда циркуляционным и, следовательно, всегда будет возникать боковая сила, пропорциональная по теореме Н.
Е. Жуковского относительной скорости набегающего потока н циркуляции. При обтекании плоско- параллельным потоком круглого цилиндра длины ! полная подъемная сила представляется в виде рГ) ), а подъемная сила, приходящаяся на единицу объема цилиндра, будет равна р)г —, Г Таким образом, боковую силу, приходящуюся на единицу объема частицы, можно представить в виде Р,=д.,р(() — ~)Х ((), (6.4) где й,— безразмерный коэффициент, с помощью которого можно приближенно учесть необходимые поправки на те допущения, которые связаны с распространением теоремы Жуковского, применимой к плоско-параллельному обтеканию бесконечного цилиндра, на рассматриваемый случай пространственного обтекания частицы произвольной формы.
Если к тому же учесть, что формула Жуковского о подъемной силе оправдывается экспериментально при малых углах где à — циркуляция, У в скорость потока на достаточном удалении и 5 в площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующей. При применении этой теоремы Жуковского к обтеканию частицы мы принимаем за скорость набегающего потока разность скоростей Гà — У, за вектор присоединенного вихря — вектор вихря рассматриваемого потока го) сГ, за Ья — сечение частицы той плоскостью, которая перпендикулярна к плоскости векторов () — гг и го)К и, наконец, за величину циркуляпии по контуру сечения Ь5 мы можем принять согласно теореме Стокса поток вектора вихря через ЬЗ, т. е.
Г = ~ го) сг'~ з! и ((У вЂ” )г), го) ег) й5. $ 6) ов встойчивости движзния взвяшянной частицы 429 (6.6) 0= — 'т а, и . д (и= — — й. и д (6.7) В этом случае давление в основном потоке постоянно, т. е, кгабр = О. Проентируя уравнение (6.6) на оси координат и используя равенства (6.1), (6.2), (6.4) н (6.Т), получим: р, —" =м,(у у — Ъг )+я.р -Ъ'а, ~Л/а и г(гу р, —" = — — а(р — р) — й~ (та+ ятр л ~, л — )г ) лг Фрь р — = — )егУ„ аг лу Ф (6.8) атаки обтекания продолговатых тел, а во всех других случаях эта подъемная сила фактически оказывается меньше, чем по формуле Жуковского, то введенный коэффициент йз будет всегда меньше единицы.
Введднные силы (6.2) и (6.3) зависят от разностей скоростей частицы и потока з том месте, где частица находится, и они обращаются в нуль, если относительная скорость обращается в нуль. Однако нельзя думать, что в этом последнем случае рассматриваемая частица будет лишена всякого воздействия со стороны прилегающих частиц жидкости основного потока.
Во всяком случае, воздействие окружающих частиц с помощью давления, представляющего собой результат молекулярных движений, должно сохраниться и при отсутствии относительной скорости движения частицы. Это аоздействме 'на единицу объвма частиц со стороны поля давлений основного потока будет представляться з виде Р, = — ягаб р (6.6) м оно будет зависеть только от положения частицы з потоке, а не от разности скоростей частицы и потока. В силу последнего обстоятельства можно полагать, что это воздействие поля давлений на частицу должно учитываться и при относительном движении частицы, в особенностя в тех случаях, когда это воздействие поля давлений не отражено з воздействиях сил (6.2) и (6.4).
Таким образом, векторное уравнение движения посторонней частицы в потоке жидкости будет представляться в виде р, — = Р-~- Р, +- Ря-(- Рз. Рассмотрим случай ламинарного течения между параллельными стенками с прямолинейным распределением скоростей по сечению, для которого 430 тстойчивость ллминьвнык течений (гл. к! Если частица будет иметь плотность, одинаковую с плотностью жидкости, т. е. р, = р, то одно из возможнык движений такой взвешенной частицы будет представляться равенствами )г„=О, )г,=О.
(6.9) Для исследования устойчивости возможного движения (6.9) частицы введвм новые переменные рм уе у уе 1„и! ха= — — —, х. = — — —, х = —,;= —. (6,10) и л' ' л л з (г '= л Тогда нз (6.2) получим уравнения возмущенного движения частицы лх, — = Ь(ха — х!)+Йехе, ,à — ха Лхт — = — Ьхв+ йа (хя — х,), асл г Характеристическое уравнение системы (6.11) будет иметь вид Л(Л + 2ЬЛ+Ь + Фа — (ге) = О. (6.
12) Так как при выполнении соотношения ь()г~ (1 — ь) (6.13) один из корней уравнения (6.12) может стать положительным, то возможное движение (6.9) взвешенной частицы может стать неустойчивым. Если ввести число Рейнольдса основного потока й= —, уд (6.14) 9 (Л)з ! 2 Л а.1 У «з (1 — ФЗ) Прн выполнении неравенства (6.15) движение взвешенной шаровой частицы в потоке (6.7) будет заведомо неустойчивым. Рассмотрим ламинарное течение между параллельными стенками с параболическим распределением скоростей по сечению, при котором () = У„,„~1 — — ) (, го! У= 2У лай.
(6.16) н предполагать частицу в виде шара, т. е. использоват~ (6.3), то кз соотношения (6,13) получим следующее неравенство для числа Рейнольдса: (6.15) $ 6) ов Устойчивости движвния взвяшянной частицы 431 В этом случае основные уравнения движения взвешенной частицы будут представляться в виде (6.17) Решения этой системы уравнений, отвечающие невозмущанному дви- жению взвешенной частицы, будут иметь вид (6.18) Составляя дифференциальные уравнения возмущанного движения ча- стицы и ограничиваясь в ннх слагаемыми с неизвестными величинами в первой степени, получим характеристическое уравнение « ~ — (Л+ — ') +4 — 'Фя(! — «в)~ =О, (6,!9) Один из корней уравнений (6,19) будет положительным, если будет иметь место неравенство 2 ~Уа )г' « (1 « ) ~ гсгм,„' (6.20) Вводя число Рейнольдса (хэ 1' ~пвх~~ (6.21) и предполагая частицу сферической, получим следующее неравенство для числа Рейнольдса: 9 «2 к) — (' — )— 4 ' а / !Ую ! )' «т(1 — «з) (6.22) При выполнении неравенства (6.22) движение шаровой взвешенной частицы в ламинарном потоке (6.16) будет заведомо неустойчивым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
