Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1132339), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Следовательно, кривая (4.1 4) сг(а, Я) = О (4.1 5) р Сг ! д + Сайз + Сз 4з + С4 4 4 Используя однородные граничные условия (4.7), мы получим однородную систему четырвх уравнений относительно постоянных С,, Сю Сз и С,. Условие разрешимости этой системы уравнений ласт нам на плоскости параметров а и гх будет разграничивать области устойчивых и неустойчивых течений. К построению такой разграничительной кривой и должна сводиться рассматриваемая аадача об устойчивости ламинарных течениИ. Такая зависимость межлу параметрами должна быть установлена с помощью четырех независимых решений уравнения (4.3) и соответственных однородных граничных условий. Если независимые реше- ниЯ обозначить чеРез Р4, Рз, Ра и Р,, то общее Решение УРавнениЯ (4.3) представится в виде в 4) 415 течяния мяждэ пьвлллвльными стенками уравнение ~,(о) р,(о) р',(о) р,'(о) йз(У1) ', (Уг) э!(Уг) Р,'(Уг) характеристическое или вековое р, (о) р',(о) 'рг (У1) р',(у ) р,(о) р',(о) Ря(У~) Р',(Уг) (4.16) Это уравнение как раз и будет прелставлять собой зависимость (4.12) между параметрами я, )х и с для случаи лзминарного течения между параллельными неподвижными стенками, Для течения в погрзничном слое мы должны одно из независимых, например лм отбросить как не удовлетворяющее условию ограниченности решения (4.! 1).
Следовательно, общее решение уравнения (4.3) в этом случае должно представляться в зиле ~=Ср,+С,р,-+Сэр,. (4.17) Это общее решение должно уловлетворять граничным условиям (4.8) и (4.10). Но так как прн приближении к границе слоя уравнение (4.3) должно вырожлаться в уравнение (4.9), то на этой границе третье независимое решение ра должно оказаться несущественным и его можно отбросить при удовлетворении условию (4.10), В таком случае вековое уравнение для случая течения в пограничном слое будет; р,(о) р,(о) р,'(о) р,'(о) = о, «.!8) з4,(У,)+ Р.,'(У,) О р,(о) р,'(о) Яфг (Уг) + фг (Уг) Чтобы из вековых уравнений (4.16) и (4.!8) получить уравнение разграничительной кривой (4.14) в конкретном зиле, необхолимо в явном виде построить четыре независимых решения уравнения (4.3); в этом-то и заключается основная математическая трудность рассматриваемой задачи об устойчивости ламинариых течений.
Наиболее распространенным методом решения обыкновенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами является метол представления решения по степеням соответственно выбранного малого параметра. Так как ламинарное течение теряет устойчивость при сравнительно больших значениях числа Рейнольдса, то в рассматриваемом случае в качестве малого параметра но>кис было бы выбрать 1 отношение —. Но в уравнении (4.3) этот малый параметр входит ай множителем при старшей производной.
Это обстоятельство создаЕт дополнительные трудности в применении метода разложения решения 1 по степеням малого параметра —. Этн трулности возникают, ай 416 гстойчивость ллминьвных течений (гл. х~ во-первых, оттого, что в нулевом приближении мы получим дифференциальное уравнение второго порядка, а не четвертого.
Следовательно, в этом приближении можно построить только два независимых решения, а не четыре. Во-вторых, для дифференциального уравнения второго порядка точка У = у„ для которой будет выполняться равенство (4.19) чв (у,) = с, будет особой точкой, тогда как для полного уравнения (4.3) эта точка не будет особой. На это обстоятельство раньше не обращалось внимание исследователей; именно по этой причине и не удавалось обнаружить неустойчивость ламинарного течения между параллельными стенками. Наличие особой точки У = У, вынужлает по-особому выбирать путь соответственного интегрирования в плоскости комплексного переменного у прн аналитическом продолжении дифференциаль. ного уравнения (4.3) на эту плоскость. Подробное исследование всех этих вопросов дано в цитированной выше работе Лина.
Для проведения числовых вычислений в этой работе используется метод построения асимптотических решений уравнения (4.3), ваключающнйся в следующем. Первые два независимых решения строятся путам непосредствен- 1 ного разложения решения по степеням параметра —. Полагая ай р (у) = <рз (у)+ (ай) 'рг (У) + (я й) %рз (у) + ° " (4 20) подставляя это разложение в уравнение (4.3) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях параметра, получим следующую последовательность дифференциальных уравнений второго порядка: (4,21) (ш — с)(уь — вара) — ш ра =- — Г(фа-г — 2в-'рь-г+а рл-г) (Л~~1), (4.22) Дифференциальное уравнение (4.21) нулевого приближении, отвечающее полю возмущений без учета сил вязкости, можно решить с помощью разложений по степеням параметра из.
Этим путам можно получить два независимых решения: 'ро~~~ =(гя — с)(д (у)+ аа)г (у)+ игд,(У)+ ...1, (4.23) Рвм -— -(ш — с)А(У)+ «'Дв(У)+ Я'йа(У)+ $4) 417 теченне между плглтлельнымн стенклми где "о(У) = 1 У У Дэлоэ(У) = ~ с(У(ш — с)-'л ~ (ш — с) йэл(У)о(У, О т(У) .) (м — с)я о (4,24) о У („-) Р(,),~~~~- ~У) „-1ЗУ- о о (4.25) Подставляя (4.25) в уравнение (4.3), получим для и нелинейное диф- ференциальное уравнение (оэ — с) (й я+ л' — о') — шо = = — — (но+ бнэн'+ Зйж+ 4до+к"' — 2ээ(до+а')+ во), (4,26) Будем решать это уравнение с помощью следующего ряда: й(У)=-744К (У)+й (У)+ =,— З' (У)+ „— К,(у)+ ...
ш - ° Собирая коэффициенты при одинаковых степенях параметра э(х, по- лучим последовательность уравнений с) зо = 'Юо (еэ — с) (хо+ 2конт) = — г (4йо~, + 6~ойо), (ов — с) (у, + д~ + 2 кока — о Я) — ш" = = — 1(4й',дэ+ био+ Заойтао+ Зао — 2з'ао) Последующие приближения могут быть найдены нэ уравнений (4.22) с помощью метода варнзцнн произвольной постоянной через решения (4.23). Но при вычислениях, оказывается, можно обойтись и без последующих приближений. Для построения других независимых решений уравнений (4.3) в асимптотической форме положим: хстойчивость ллминлвных твчвннй (ГЛ. Х1 Решения этих уравнений строятся без всяких квадратур.
Первые два решения представля~отся в виде не= — )У(( — с), ) 5 е"а Для определенности положим; (4.29) агд(= 2, агд(ш — с) ) 0 для тя — с ) О. я -) гы ййю-е) лг у =(ти — с)е и) яа ~Ю (4.30) У + ) тт Л~и-е1 ат = (ш — с) е 1О яе Ю Таким образом, четыре независимых решения уравнения (4.3) в первом приближении будут представляться в виде [4.23) и (4.30). Однако эти решения не могут быть непосредственно использованы, так как не выяснено поведение этих решений в окрестности точки у=у и в зависимости от этого не установлен путь интегрирования в равенствах (4.24) и (4.30). Для выяснения этих вопросов в работе Лина вводится новое независимое переменное н новый малый параметр в виде у — у =ато а=(а)С)-'ь.
(4.3 1) Представляя решение уравнения (4.3) в виде ряда по степеням нового параметра т(У) = Хрй) = йо(т1)+ еХ~ Й)+ еХг(ч)+ (432) и полате ю — с = тв'ат,+ та" ('"1) + (4. 33) Для отрицательных значений разности м — с будем полагать агн(ш — с) =+к или агй(ш — с) = — г в зависимости от обстоятельств. Обратим внимание на то, что если для уравнения (4.21) точка у = у в асимптотическом решении (4.23) была логарифмической, то для решения (4,29) она будет алгебраической точкой ветвления. Если ограничиться первыми двумя членами в разложении (4.27), то для второй пары независимых решений уравнений (4.3) будем иметь: 419 тачанки между пхтхллвльными станками можно получить следующяе четыре независимых решения уравнении (4.3) в нулевом приближении: у~п й у~п .о ' о ч 71а~= ~ Ит, ~ ф' й Н(Г~' ~ — (1т,а)Ч] Ггт„ Ф (4.34) уом = ~ П,~ р', Н.",,' ~3 (Гаа,) ~ 3тп где зг„, (4.35) з Н))' и Н~'-" ,— функции Ханкеля.
Если воспользоваться асимптотнческимн выражениями для функ. ций Ханкеля, то можно показать, что для весьма больших значений параметра а(х решения (4,34) будут совпадать с решениями (4.23) и (4,30). При этом выбор асимптотических разложений для функций Ханкеля, подчинвнный требованию совпадения решений (4.34) с (4.23) и (4.30), предопрелеляет путь интегрирования в равенствах (4.24) и (4.30). Лля этого пути интегрирования должно выполняться неравен- ство тя я б ( агй("ой) ( 6 ° (4.36) Палее в работе Лина исследуются различные случаи расположения точки у =у, на плоскости комплексного переменного у и в связи с этим выясняются асимптотические представления решений (4.30) и параллельно рассматриваются случаи, когда можно ограничиться решениями (4.23), не учитывающими действия сил вязкости.
В частности, показывается, что при расположении точки у =у, ниже действительной оси (сч с". О) эффектом вязкости пренебрегать нельзя, как бы ни были велики числа Рейнольдса. Попутно доказывается ошибочность утверждения, что если р(у) есть решение уравнения (4.21) с собственным значением г, то сопряжвнная функция р(у) будет представлять второе решение, удовлетворяющее тем же действительным условиям на действительной оси и имеющее в качестве собственного значения с, сопряжзнное с первым с. Чтобы получить какие-либо конкретные заключения о поведении разграничительной кривой (4.14), необходимо провести ряд упрощений вековых уравнений (4.16) и (4.18) для больших значений параметра а(ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
